1、1一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.1.已知集合 21Ax ，集合 210B，则 AB 【答案】 ,0【解析】试题分析： 21=-Ax ， 2,10,B，则 AB1,0考点：集合运算2.如图，在复平面内，点 对应的复数为 1z，若 2i（ 为虚数单位） ，则 2z 【答案】 2i【解析】试题分析： -12A， ， 12zi，211i,z(2)iii考点：复数运算3.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线2xy的实轴长为 【答案】 2【解析】试题分析：由双曲线方程得， 2a，则实轴长为 2a考点：双曲线性质4.某校共有教师 200 人，男学生 800 人，女学生 60
2、0 人，现用分层抽样的方法从所有师生（第 2 题）2中抽取一个容量为 n的样本，已知从男学生中抽取的人数为 100 人，那么 n 【答案】200【解析】试题分析：男学生占全校总人数801262，那么01,20n考点：分层抽样5.执行如图所示的伪代码，当输入 ,ab的值分别为 ,3时，最后输出的 a的值为 【答案】5【解析】试题分析：第一次循环， 134,13,2abi，第二次循环，415a考点：伪代码6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为 15，甲乙下成和棋的概率为 25，则乙不输棋的概率为 【答案】45【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜” ，P（乙不输棋）=1-P（甲获胜）=4
3、5考点：概率Read ,1Whil 21End hilePrtbbai（第 5 题）37.已知直线 (0)ykx与圆 2:()1Cxy相交于 ,AB两点，若 25，则k 【答案】12【解析】试题分析：圆心 2,0C，半径为 1，圆心到直线距离 21kd，而25AB，得25()1k，解得 2k考点：直线与圆位置关系8.若命题“存在 20,4Rxax ”为假命题，则实数 a的取值范围是 【答案】 (2,)【解析】试题分析：由题意得 20,1640aaV，解得 2考点：命题真假9.如图，长方体 1ABCD中， O为 1BD的中点，三棱锥 OABD的体积为 1V，四棱锥 O的体积为 2V，则 的值为
4、【答案】12【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为 ,abc，（第 9 题）O CDBC1AB1A1D1411 2 211, ,3236VabcabcVV考点：棱锥体积10.已知公差为 的等差数列 na及公比为 的等比数列 nb满足 120,ab，则 3ab的取值范围是 【答案】 (,2)【解析】试题分析： 121111210,20,2,4abababb，3 24，则 3a的取值范围是(,)考点：等差数列与等比数列综合11.设 ()fx是 R上的奇函数，当 0x时， ()2ln4xf，记 (5)naf，则数列na的前 8项和为 【答案】 16【解析】试题分析： 12345678(4)3(2)1
5、(0)1(2)3(4)()ln1aaaffffffff考点：奇函数性质12.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ,AB分别为 x轴， y轴上一点，且 2AB，若点(2,5)P，则 ABP的取值范围是 【答案】 7,15考点：直线与圆位置关系13.若正实数 ,xy满足 2(1)(5)2y，则 1xy的最大值为 【答案】32【解析】试题分析：令1,(0)2xty，则22()(5),45(8)0yt tyt，因此2 3283071t t，当1t时，26544005126yxt，因此1xy的最大值为32考点：判别式法求最值14.已知函数 ()sin()cos()26xfxA（其中 A为常数， (,0)
6、） ，若实数 123,满足： 123， 1， 123()fxffx，则 的值为 【答案】 36考点：三角函数图像与性质二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,ab，向量 (cos,in),(cos,in)ABAm（1）若 cosabB，求证： /n；（2）若 mn, ，求 t2A的值【答案】 （1）详见解析（2）tan1【解析】试题分析：（1）因为 /sicosincAB，所以由正弦定理得cossinaAbB，得证（2）由coi0cs()0mn，又 ab得 2AB，从而tata124试题解析：证明：（
7、1）因为 csoaAbB，所以 sincosiAB，所以 /mn. 7 分（2）因为 m，所以 osis0，即 cos()0AB，因为 ab，所以 ，又 ,(0,)A，所以 (,)，则 2，12 分所以tnta124AB. 14 分考点：正弦定理，向量平行与垂直16.如图，在三棱锥 PABC中， 90BAC， PB，点 D， F分别为7BC， A 的中点（1）求证：直线 /DF平面 PAC；（2）求证： DFCPA B【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位
8、线性质，本题点 D， F分别为BC， A的中点，故 /DFAC再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，P， 为 B的中点， PB，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件 及 ，转化到 平面 A，再转化到 CPF，因此得到F平面 AC，即 DF试题解析：证明（1）点 ， 分别为 C， 的中点， /D，又 平面 P， 平面 PA，直线 /F平面 AC 6 分（） 90B， A， ，又 P， ,在平面 PAB内， C平面 B， 8 分 F平面 A， CF， ， 为 的中点， ， P， ， AB， ,C在平面 AB内
9、，8 PF平面 ABC， 12 分 D平面 ， DPF 14 分 DFCPA B考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.一个玩具盘由一个直径为 2米的半圆 O和一个矩形 ABCD构成， 1米，如图所示小球从 A点出发以 v的速度沿半圆 轨道滚到某点 E处后，经弹射器以 6v的速度沿与点 E切线垂直的方向弹射到落袋区 BC内，落点记为 F设 O弧度，小球从 A到 F所需时间为 T（1）试将 T表示为 的函数 ()T，并写出定义域；（2）求时间 最短时 cos的值 FOCBADE【答案】 （1）1()56sinTvv，,4 3（2）2cos3【解析】试题分析：（1）小球从 A到 F所
10、需时间为 T分两段计算：A56EFv，；而 A，EF 必过圆心 O，所以1sinE，从而A1()5sinvv，又由矩形9GFOCBDAE限制得定义域,4 3（2）利用导数求函数最值：先求导数 22 21cos6in5cos(cs3)(os)()5i300inTvvv，再求导函数零点0cos3，列表分析得结论当2cos3时，时间 T最短试题解析：解：（1）过 O作 GBC于 ，则 1OG，1siniGOF，1sinEF， AE，所以A()56i6Tvv，,4 37 分（写错定义域扣 1 分）（2）()56sinvv，22 21co5cos(cs3)(os)()i30i0inT v，9 分记 0c
11、s3， 0,4 ， 0(,)003(,)4()T- 0 +AA故当2cos3时，时间 T最短 14 分考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知数列 ,nab满足 2()nnSab，其中 nS是数列 na的前 项和 （1）若数列 是首项为 3，公比为 1的等比数列，求数列 b的通项公式；10（2）若 nb， 23a，求数列 na的通项公式；（3）在（2）的条件下，设 ncb，求证：数列 nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积【答案】 （1） 2nb（2） 1na（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得12()()33nnna，再根据等比数列前 n项和公式得2
12、1()3()2nnnS，代入 2()nnSab得1()2123nnba（2）由题意得 n，因此利用 n与 关系得11()nnS， 11()2nnaa即 1()2na，()a，利用累加法得21243111n nnaa（3）因为1nc，所以由kt确定 k,t，解不定方程，首先先分离()kt，再根据整数性质，可取 1n，则 (2)tn.试题解析：解：（1）因为1()2()33nnna，21()3()2nnnS， 2 分11所以1()232nnSba 4 分（2）若 n，则 na， 11()2nnSa，两式相减得 11()2na，即 ，当 时， n，两式相减得 11()()()nnaa，即 12na，
13、 8 分又由 12Sa， 24S得 2， 3，所以数列 n是首项为 ，公差为 3的等差数列， 故数列 的通项公式是 1na 10 分（3）由（2）得 nc，对于给定的 *N，若存在*,ktntN，使得 nktc，只需1nkt， 即1()kt，即1nkt，则(1)nkt， 12 分取 kn，则 (2)， 对数列 nc中的任意一项1nc，都存在 12nc和221ncn使得21n 16 分考点：等比数列通项公式及前 项和公式，累加法求和，不定方程正整数解19.如图，在平面直角坐标系 xOy中， 已知圆 :24xy，椭圆 :C21xy， A为椭圆右顶点过原点 O且异于坐标轴的直线与椭圆 C交于 ,B两
14、点，直线 AB与圆 O的另一交点为 P，直线 PD与圆 的12另一交点为 Q，其中 6(,0)5D设直线 ,ABC的斜率分别为 12,k（1）求 12k的值；（2）记直线 ,PBC的斜率分别为 ,PQBCk，是否存在常数 ，使得 PQBCk？若存在，求 值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线 A必过点 xyDQPCAOB【答案】 （1） 214k（2）5（3）详见解析13试题解析：解：（1）设 0(,)Bxy，则 0(,)Cxy，2014y所以2200012 14ykxx 4 分（2）联立12()4y得222111()()0kxk，解得12 21()4,PPkxx，联立12()4yx得222
15、111(4)64()0kxk，解得21 21(),BBky， 8 分所以124BCykkx，2112456()65PQkykx，所以5PQB，故存在常数 2，使得 2PQBCk 10 分（3）当直线 与 x轴垂直时，68(,)5，则28156AQkk，所以直线 AC必过点 Q当直线 P与 x轴不垂直时，直线 P方程为：1256()4kyx，联立1256()4kyx，解得2112(6)6,QQkkxy，14所以122116()4AQkkk，故直线 AC必过点 Q 16 分（不考虑直线 P与 x轴垂直情形扣 1 分）考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系20.已知函数 42fa， (0,)x，
16、 gxffx(1)若 0，求证：（） fx在 ()f的单调减区间上也单调递减；（） g在 ,上恰有两个零点；(2)若 1a，记 x的两个零点为 12,x，求证： 1244xa【答案】 （1） （i）详见解析（ii）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1） （i）先确定导函数的单调减区间：因为3()4fxa，所以 ()fx的递减区间为1(0,)23a，再确定1(0,)23xa时，2)4(fx， （ii）33211040()gxxx，变量分离得321(,)a，利用导数研究函数3214)得当 (0,)x时，1()x单调递增，值域为 (0,)；当 (2,)x时， 1()x单调递增，且 1(4)，
17、 1()x值域为(,)；因此10ya与 1有两个交点，所以 1x在 0,上恰有两个零点 （2）由零点存在定理确定 12,x取值范围： 1 1(0)()()2a，1511219(4)0()()xa，所以 102x， 294x， 54试题解析：证：（1） （i）因为420fxax，所以3()4fxa，由32(4)10axx得 ()f的递减区间为1(,3a， 2 分当0,时，32()4()0faxx，所以 fx在 f的递减区间上也递减 4 分（ii）解 1：42343211()gfxfaxaxax，因为 0x，由4320a得320，令321()x，则21()8xax，因为 0a，且()0，所以 ()
18、必有两个异号的零点，记正零点为 0x，则(,)x时， x， ()单调递减； 0,)x时， ()x， ()单调递增，若 在 上恰有两个零点，则 0()， 7 分由2001()38xax得200138ax，所以 007()99，又因为对称轴为4,3x所以81()02，所以 0873x，所以 003217()()0xa，又2221()4(8)(1)axax，16设1,8a中的较大数为 M，则 ()0， 故 0gx在 (,)上恰有两个零点 10 分解 2：42343211()ffxaxaxax，因为 0x，由4320g得320，令321()ax，若 gx在 0,)上恰有两个零点，则 ()x在 0,)上
19、恰有两个零点，当 2时， 由 ()x得 0a，此时12在 (,)上只有一个零点，不合题意；当 2x时，由321()4xx得3214xa， 7 分令321 8()，则221 57()(5)4) 0xx ，当 (0,2)x时， ()x单调递增，且由28,2yxyx值域知值域为 ,；当 (2,)时， 1()单调递增，且 1(4)0，由284yxyx值域知 x值域为 ,)；因为 0a，所以10a，而 2ya与 1()有两个交点，所以 1()x在 0,)上恰有两个零点 10 分（2）解 1：由（2）知，对于32()4xx在 (0,)上恰有两个零点 12,x，17不妨设 12x，又因为 (0)1，1()6
20、7)028a，所以 12x，12 分又因为 (4)10，91()6570)28a，所以 294x，所以 124x 16 分解 2：由（2）知32xa，因为 0,)x时， 1()x单调递增，17()2， 111(0)()()2xa，所以 12， 12 分当 (,)x时， 1()x单调递增， 198()20， 11219(4)()()xa，所以 294，所以 1254xa 16 分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A（几何证明选讲，本题满分 10 分）如图,圆 O是 ABC的外接圆,点 D是劣弧 BC的中点,连结 AD并延长,与以 C为切点的切线交于点 P,求证: .BPDOA
21、C18【答案】详见解析【解析】试题分析：由弦切角定理得 PCDA,因此 PCD A，从而PCDA，又等弧对等弦，所以 B,即 . 试题解析：证明：连结 CD，因为 P为圆 O的切线，所以 PA, 又 是公共角，所以 A， 5 分所以 C ,因为点 D是劣弧 B的中点,所以 CDB,即PDAC. 10 分考点：三角形相似，弦切角定理21.B（矩阵与变换，本题满分 10 分）已知矩阵125Mx的一个特征值为 2,求 2M.【答案】26451M【解析】试题分析：由矩阵特征多项式得2(1)(5)0x一个解为 2，因此 3x，再根据矩阵运算得26451试题解析：解： 2代入2(1)(5)0x，得 3x
22、矩阵153M5 分1926451M10 分考点：特征多项式21.C（坐标系与参数方程，本题满分 10 分）在平面直角坐标系 xoy中,已知直线1:()72xtCy为 参 数与椭圆 2cs:(0)3inxaCay为 参 数 的一条准线的交点位于 轴上,求实数 a的值.【答案】 a【解析】试题分析：利用加减消元得直线 1C普通方程： 29xy，利用平方关系22cosin1消参数得椭圆 2普通方程 21(03)a，得准线：29ya，因此 29a，即试题解析：解：直线 1C： xy， 椭圆 2:2(03)9yxa， 5 分准线： 2由 29a得， 10 分考点：参数方程化普通方程21.D（不等式选讲，
23、本题满分 10 分）已知正实数 ,abc满足 231c，求证：246271abc.【答案】详见解析【解析】试题分析：由均值不等式得324624611abcabc， 2323abc，因此20246127abc试题解析：证明：因为正实数 ,abc满足 231c，所以 321c，即2317， 5 分所以7ab因此，32462461cabc10 分考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AC = 3， BC = 4， AB = 5， AA1 = 4（1）设 AD，异面直线 AC1与 CD 所成角的余弦值为 90，求 的值；（2）若点 D 是 AB 的中点，求二面角 DCB1B
24、的余弦值【答案】 （1） 5或13（2）47【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量 AC1 及向量 CD 坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出 的值（2）先根据方程组求出平面 1CDB的一个法向量及平面 1CB的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。试题解析：解：（）由 AC = 3，BC = 4，AB = 5 得 09ACB 分以 CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则(3,0
25、,0)， 1C(0,0,4)，B(0,4,0)，设 D(x,y,z)，则由 ABD得21(3,40)CD，而 1(3,04)AC，根据 2919| |58解得，15或 3分（） 13(,0)(,4)B，可取平面 1CDB的一个法向量为 1(4,3)n；分而平面 1C的一个法向量为 2(,0)n，并且 12,n与二面角 DCB1B 相等，所以二面角 DCB1B 的余弦值为 12cos,347 分（第（）题中少一解扣分；没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分第（）题如果结果相差符号扣分 ）考点：利用空间向量研究线线角及二面角23.已知 ,N*km，若存在互不相等的正整数 12,a m，使得 123,
26、a11a同时小于 k，则记 ()f为满足条件的 的最大值（） 求 (6)f的值；（） 对于给定的正整数 n，（）当 (2)(1)2k时，求 ()fk的解析式；（）当 时，求 的解析式【答案】(1) (6)f (2)(i) ()fkn (ii) ()21fkn【解析】试题分析：(1) 阅读理解题意，具体验证：取 12,a， 126a，满足题意，若3a，则必有 236a，不满足题意，即 (6)f(2)(i) 取一串数 i为：221,2,32,nn 1,2,n，满足题意，若 2n1a，则必有()jak，不满足题意，因此 ()fk， (ii) 取一串数 i为：, ,1,n，满足题意，若 2n，则必有
27、1(2)jnk，不满足题意，因此 ()2.fk试题解析：解：（1）由题意，取 12,a， 16a，满足题意，若 3a，则必有 236，不满足题意，综上所述： m的最大值为 ，即 ()f 4 分（）由题意，当 (1)2nkn时，设 1,2A ， 2,3,A，显然， 1,ia时，满足 1()(1)iank，从集合 A中选出的 i至多 个， 12,j时， 1()2j k，从集合 中选出的 ja必不相邻，又从集合 1A中选出的 i至多 n个，从集合 2中选出的 j至多 个，放置于从集合 1A中选出的 ia之间， ()fkn， 6 分（）当 )(1)2kn时，取一串数 ia为： ,2,3, 1,2,n，或写成, 12i in为 奇 数为 偶 数， （ 12in） ，此时 1()iak，( i), 1ak，满足题意，23 ()2fkn， 8 分（）当 1)(2)kn时，从 1A中选出的 个 ia： , ，考虑数 n的两侧的空位，填入集合 2A的两个数 ,pqa，不妨设 pqn，则 ()pk，与题意不符， ()2fk，取一串数 ia为： 1,2,3,n 2,1,nn或写成,2iin为 奇 数为 偶 数， （ 12in） ，此时 1()iak， （ ） ， 1ak，满足题意， ()fk， 10 分（写出（） 、 （）题的结论但没有证明各给分 ）考点：新定义，构造数列
