1、第六章 控制系统的稳定性分析,控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称为系统的稳定性判据。,劳斯判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。,奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据。,波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观,从而获得广泛采用。,第一节 控制系统稳定性的基本概念,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通
2、于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。,一、稳定性概念,稳定性的定义： 控制系统在外部拢动信号作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统能以足够的精度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。,图6-1所示系统1在扰动消失后，它的输出能回到原来的平衡状态，该系统稳定。而系统2的输出呈等幅振荡，系统3的输出则发散，故它们都不稳定。,注意： 控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。,图 6-1 系统稳定性示意图,二、系统稳定性的条件,稳定性研究的问题是扰
3、动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。,设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t时，脉冲响应,即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。,设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，线性定常系统的动态特性，可用如下的常系数线性微分方程来描述：,式中，nm; an、bm均为系统结构参数所决定的定常数 。（n，m=0、1、2、3）,由于输入为脉冲函数(t) ，X(s)=1，所以,（6-2）,上式
4、的拉氏反变换为,（6-3）,为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实 数极点及r对不相同的共轭复数极点，则,如果所有闭环极点都在s平面的左半面内，即系统的特征方程式根的实部都为负，当t时，方程（6-3）式中的指数项e -pj t和阻尼指数项e -knk t 将趋近于零。即y(t)0，所以系统是稳定的。,系统稳定的充要条件： 特征方程的根均具有负的实部。 即：闭环系统特征方程式的根全部位于s平面的左半平面内。,设系统闭环传递函数为,则系统的特征方程为,例 某单位反馈系统的开环传递函数 则系统的闭环传递函数,特征方程式为特征根,因为特征方程根具有负实部，该闭环系统稳定。,特征根中只要有一个是正实
5、根，则式(6-3) 的解就发散，系统就不稳定； 当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(6-3)解呈发散振荡，故系统不稳定； 若特征根中有零根，则式(6-3)全解中的瞬态分量将趋于某个常值，相当于系统偏离平衡状态，故系统也不稳定； 若特征根中含有共轭虚根，则式(6-3的解呈等幅持续振荡，这时系统出现所谓临界稳定状态。从控制工程实践角度看，一般认为临界状态也是属于不稳定的范畴。 当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是负的，共轭复根具有负实部时，式(6-3)的解是指数衰减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。,总 结,第二节 劳斯稳定判据,判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部具有
6、负的实部，或者说特征根是否全部位于s平面的虚轴左侧。这样就面临着两种选择；,1. 解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。,2. 讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个右根。,劳斯稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。,一、劳斯稳定判据的必要条件,设系统方块图如图6-2，其闭环传递函数为,系统的特征方程式可表示为,设开环传递函数为,则,式中，s1， s2，sn-1，sn为系统的特征根。,（6-4）,将式（6-4）的因式乘开，由对应系数相等，可求得根与系数的关系为,（6-5）,从
7、式（6-5）可知，要使全部特征根s1， s2，sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：,（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（6-5） 。此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。,（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才能满足式（6-5），按着惯例， ai一般取正值（如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它们都变成正值）。,上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即ai0。,要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：1 .特征方程的各项系数ai(
8、i=0，1，2， ，n)均不为零。2. 特征方程的各项系数ai符号一致。,以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件，因为此时还不能排除有不稳定根的存在。,劳斯稳定判据的必要条件,特征方程系数的劳斯阵列如下：,二、劳斯稳定判据的必要条件,在上面的劳斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：,劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上产生第四行，这样计算直到只有零为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。,把an，an-1，b1，c1，d1，e1 称为劳斯阵列中的第一列元素。
9、,劳斯稳定判据的必要且充分条件是： （1）系统特征方程的各项系数皆大于零，即ai0； （2）劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。 第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：闭环系统的特征方程式,劳斯阵列为,例6-1 某一系统的闭环传递函数为,由于特征方程式的系数以及第一列的所有元素都为 正，因而系统是稳定的。,例6-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为,试确定K值的闭环稳定范围。,解：其单位反馈系统的闭环传递函数为,特征方程式为,劳斯阵列为,例6-3设单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问
10、值 应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情 况又如何？,由稳定条件得因此K的稳定范围为,解：系统的特征方程式为s3+9s2+18s+18K=0 令u=s+1得如下u特征方程,劳斯阵列为,所以 5/9K14/9闭环特征方程式的根的实部均小于-1,由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2 。,若要求实部小于-2，令u=s+2 得如下新的特征方程,劳斯判据判断系统的相对稳定性。,三、劳斯判据的特殊情况,例6-4 设有特征方程为试判断系统的稳定性。,1某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况 如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零则在计算下一行的各元素
11、值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数来代替零元素，然后继续进行计算。,由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号 有两次变化，表明特征方程在s平面的右半平面 内有两个根，该闭环系统是不稳定系统。,解：劳斯阵列：,此时第三行第一列元素为零，用一无限小代替0， 然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上，观察第一列各项数值，当0时，则,2某行全部元素值为零的情况 说明系统的特征方程式的根中存在以下情况：,1）存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定） ；,2）存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定） ；,3）
12、存在一对共轭纯虚根；（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；,4）以上几种根的组合。,在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断，为了构造完整的劳斯阵列，以具体确定使系统不稳定根的数目和性质，可将全为零元行的上一行的各项组成一个“辅助方程式A(s)”。将方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数，然后继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余下各行直至计算完（n+1）行为止。由于根对称于复平面的原点，故辅助方程式的次数总是偶数，它的最高方次就是特征根中对称复平面原点的根的数目。而这些大小相等、符号相反的特征根，可由辅助方程A(s)=0求得。,例6-5 设某一系统的特
13、征方程式为,试判断系统的稳定性。,解：特征方程各项系数为正，列出劳斯阵列表如下：,（各元素除以2后的值）,（各元素除以2后的值）,取出全部为零元素前一行的元素，得到辅助方程为,将A(s)对s求导得到,以上式的系数代替全部为零的一行，然后继续作出劳斯阵列表为,（各元素除以4后的值）,从劳斯阵列表的第一列可以看出，各项并无符号变 化，因此特征方程无正根。但因s3行出现全为零的 情况，可见必有共轭虚根存在，这可通过求解辅助 方程A(s)得到 此式的两对共轭虚根为这两对根，同时也是原方程的根，它们位于虚轴上 ，因此该控制系统处于临界状态，等幅振荡。,系统的特征方程为 s3+as2+(2+K)s+(1+
14、K)=0，列出Routh表如下：,练习题：系统的传递函数方框图如图所示。试确定K和a取何值时，系统将维持以角频率=2s-1的持续振荡。,解：由已知条件知，系统一定存在一对共轭纯虚根s1,2=j2。由方框图得， 系统的传递函数为,显然，只有劳斯表中s 行的元素全为0时，该特征 方程才会有一对共轭纯虚根。令 ，而其辅助方程为,解得一对共轭纯虚根联立方程 和 ，解得,一、奈奎斯特（Nyquist）稳定判据 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据简称为奈氏判据，它是利用系统开环奈奎斯特图判断闭环系统稳定性的频率域图解方法。它是一种几何判据。,第三节 奈奎斯特稳定判据,1. 利用奈氏判据也不必求取闭环系统的
15、特征根，而是通过系统开环频率特性(j)H(j)曲线来分析闭环系统的稳定性。,2. 由于系统的频率特性可以用实验方法得，所以奈氏判据对那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。,3. 奈氏判据还能表明系统的稳定裕度即相对稳定性，进而指出改善系统稳定性的途径。,稳定性判据 如图6-2 的闭环系统，其传递函数为 ，,奈奎斯特稳定判据为：在开环传递函数G(s)H(s)中，令s=j，当在-至+范围内变化时，可画出闭合的极坐标图（奈奎斯特图），它以逆时针方向绕（-1，j0）点的圈数为N，假定开环极点在s右半平面的个数为P，当满足于N=P的关系时，闭环系统是稳定的。,如图6-3 a)所示系统的
16、开环极坐标图，其开环传递函数为,当频率由-变化到+时，以逆时针绕（-1，j0）点2圈，即N=2，由上面G(s)H(s)可以看出，开环传递函数有2个极点在s右半平面，即P=2。由于极坐标图的转向是逆时针的，又由于N=P，所以对应的闭环系统是稳定的。,b)图的开环传递函数为,由图可见，N=-2、P=1，即NP，所以对应的闭环系统是不稳定的。,P=0（开环极点在s右平面没有根），闭环系统如若稳定，必须N=0。又因为变化时，频率由-变化到0，再由0变化到+时，所对应的奈奎斯特图是对称的，所以只取0到+时这一频率段研究即可。其判据又可叙述如下：,如果系统在开环状态下是稳定的，闭环系统稳定的充要条件是：
17、开环极坐标图不包围（-1，j0）点，如图6-4a所示。反之，若曲线包围（-1，j0）点，则闭环系统将是不稳定的，如图6-4c所示。若曲线通过（-1，j0）点，则闭环系统处于临界状态，如图6-4b所示。,最小相位系统系统时奈奎斯特稳定判据,例6-6 已知两单位反馈系统的开环传递函数分别为：,其开环极坐标曲线分别如图6-5(a)、(b)所示，试用奈氏判据分别判断对应的闭环系统的稳定性。,解: (1)系统1：由开环传递函数G1(s)的表达式知，p=0开环稳定。由图6-5(a)可见，开环奈奎斯特图没有包围（-1，j0）点。因此闭环系统稳定。,(2) 系统2：由开环传递函数G2(s)的表达式知，p=0开
18、环稳定。由图6-5(b)可见，开环奈奎斯特图括入了(-1，j0)点。根据奈氏判据该系统闭环不稳定。,例6-7 四个单位负反馈系统的开环系统奈氏曲线如图6-6ad所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数P，试判别各闭环系统的稳定性。,图6-6 例6-7图,解：图6-6a、b两个系统的P=0，故由奈氏判据判定，系统的闭环稳定。 图6-6c 开环系统奈氏曲线包围(-1，j0)点，故由奈氏判据可判定，其闭环系统不稳定。 图6-6d由于P=2，而是从0变化的，当从-+变化时，N=2，故由奈氏判据知，闭环稳定。,几点注意：,1. 要仔细确定开环右极点的数目P，特别注意，虚轴上的开环极点要按左极点处理；,2
19、.要仔细确定开环奈氏曲线围绕点(-1，j0)的圈数N，这在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰地看出，为此引出“穿越”的概念。,所谓“穿越”，即奈氏曲线G(j)H(j)穿过点(-1，j0)左边的实轴(-1，- )。若奈氏曲线由上而下穿过点(-1，j0)左边的实轴时，称“正穿越”(相角增大)，用N+表示，若奈氏曲线由下而上穿越时，称“负穿越”(相角减小)，用N-表示。穿过点(-1，j0)左边实轴一次，则穿越数为1，若奈氏曲线始于(图6-7a)或止于(图6-7b)点(-1，j0)以左的实轴(-1，-)上，则穿越数为1/2，称“半次穿越” 。,图6-7 半次穿越,正穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j
20、)绕点(-1，j0) 逆时针转动一圈；负穿越一次，对应着奈氏曲线 G(j)H(j)绕点(-1，j0)顺时针转动一圈。,据此可以判定图6-7a所示系统，虽然开环不稳定，但闭环稳定 (N+-N-=1/2-0=P/2) 。图6-7b所示系统，虽然开环稳定，但闭环不稳定(N+-N-=0-1/2P/2) 。,3.当开环传递函数含有积分环节1/s( 即含有落在原点的极点)，其开环奈氏曲线不和实轴封闭，难于说明在零附近变化时的奈氏曲线的变化，以及它们是否包围了临界点(-1，j0)，如图6-8中实线所示。为此，可以作辅助圆(如图中虚线所示)，这就很容易看出图中曲线是否包围临界点(-1，j0) 。辅助圆的作法是
21、以无穷大为半径，从G(j0)H(j0)端实轴起顺时针补画无穷大半径圆心角为90的圆弧至 G(0+)H(0+) 。,例6-8 若系统开环传递函数为,试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。,解: 画出开环系统奈氏图，如图6-8所示。从图6-8可知，N=-1；而由G(s)H(s)表达式可知P=0。根据奈氏判据有P-2N=0-2(-1)=2 所以，闭环系统不稳定。,图6-8 例6-8图,二、稳定裕度,系统参数对系统稳定性是有影响的。适当选取系统某些参数，不但可以使系统获得稳定，而且可以使系统具有良好的动态响应。 由奈奎斯特稳定判据可以推知：,在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。而对于系统
22、稳定的程度如何及是否具有满意的动态过程，劳斯判据无法确定。,1. 对于开环稳定(P=0)的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点(-1，j0)越远，则闭环系统的稳定性越高；,2. 曲线距点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。,由奈奎斯特稳定判据可以推知：对于开环稳定(P=0)的闭环稳定系统，开环频率特性的奈奎斯特曲线距点(-1，j0)越远，则闭环系统的稳定性越高；曲线距点(-1，j0)越近，则其闭环系统的稳定性越低。,图6-9 极坐标图与之对应的响应曲线,1. 当开环频率特性的极坐标曲线包围(-1，j0 )点时，对应闭环系统单位阶跃响应发散，闭环不稳定(图6-9(a)；,2.
23、当开环奈奎斯特曲线通过(-1，j0 )点时，对应闭环系统单位阶跃响应呈等幅振荡(图6-9(b)；,3. 当开环奈奎斯特曲线不包围(-1，j0 )点时，闭环系统稳定(图6-9(c)、(d)。,4. 由图6-9(c)、(d)可见，开环奈奎斯特曲线距(-1，j0 )点的远近程度不同，闭环系统稳定的程度也不同（图6-9(d)较(c) 的稳定性高）。这便是通常所说的系统的相对稳定性。通常以稳定裕度来表示系统的相对稳定性。,1. 稳定裕度极坐标的表示 系统的相对稳定性即稳定裕度用相位裕度和幅值裕度g 来定量描述。,图6-10 表示稳定性裕度的奈奎斯特图,1)相位裕度 在图6-10(a)和(b)中，以原点为
24、圆心，以单位值为半径，可作成单位圆，它必然通过Q(-1，j0)点，并与奈奎斯特曲线交于A点，连线于0、A点得OA， OA与负虚轴的夹角称为相位裕度，大小为：,式中c ：称为剪切频率或幅值穿越频率，这一频率对应的幅值为1。,(6-6),相位裕度的物理意义是，如果(c)再滞后时，系统才处于临界状态。因此，相位裕度又可以称为相位稳定性储备。,2)幅值裕度g 开环奈奎斯特曲线与负实轴相交于Q点，这一点的频率g时的幅值为|G(jg)H(jg)|，其倒数定义为幅值裕度g ，即：,式中g ： 相位穿越频率，对应这点的频率的相角为-180。,幅值裕度g的物理意义： 如果将开环增益放大g倍，系统才处于临界稳定状
25、态。因此，幅值裕度又称为增益裕度。,g(dB)=(620)dB =30 60,系统稳定条件： 稳定系统： 0，g1； 不稳定系统： 0，g1。,系统的稳定程度由 ，g两项指标来衡量，g(dB) 、 越大系统的稳定性越好。 但稳定裕度过大会影响系统的其它性能，如响应的快速性等。工程上一般取：,2. 稳定裕度波德图表示 相位裕度和幅值裕度也可以在波德图中表示，如图6-11(a)、(b)所示。,图6-11 表示稳定裕度的波德图,此时，幅值裕度g 的分贝值为：,(6-8),对于闭环稳定系统，应有0，且Kg1 即Kg(dB)0。如图6-11(a)所示。在波德图上， 必在-180线以上； Kg(dB)在0
26、dB线以下。,对于不稳定系统，有 0，Kg1即Kg(dB)0。如图6-11(b)所示。此时，在极坐标图的负实轴以上。在波德图上， 在180线以下；Kg在0dB线以上。,三、波德图判据 利用开环频率特性G(j)H(j)的波德图，也可以来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或波德判据，它实质上是奈奎斯特判据的引深。,开环波德图与开环极坐标图有如下对应关系： 1) 奈奎斯特图上的单位圆相当于波德图上的0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。因为此时20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB,2) 奈奎斯特上的负实轴相当于波德图上的-180线。因为此时相位 G(j)H(j)
27、 均为-180。,根据奈奎斯特判据和此种对应关系，波德图数判据可表述如下：,(1) 对开环稳定的系统(P=0)时，在从0变化到+时，在L()0的区间，若相频特性曲线()不穿越 -180线，则系统闭环系统稳定，见图6-11a所示，否则闭环系统稳定不稳定见图6-11b所示。,(2) 对开环不稳定的系统(P0)时，在从0变化到+时，在L()0的区间，相频特性曲线()在-180线上正负穿越次数之差为N=P/2次，则闭环系统是稳定的。,例6-9 试用波德图的稳定判据判断图6-12所示系统的稳定性。,a） b)图6-12 开环波德图,解 （1）系统(a)，根据已知条件，系统的开环右极点数P=2。由图6-1
28、2(a)知，在L()0 dB的所有频率段内相频特性曲线对-180线的正穿越次数为1次，负穿越数为2次，故总的穿越次数为1次负穿越，N=-1。根据波德图稳定判据， NP/2，故闭环系统不稳定。,（2）系统(b)，根据已知条件，系统的开环右极点数P=2。由图6-12(b)知，在L()0 dB的所有频段内相频特性曲线对-180线的正穿越次数为2次，负穿越次数为1次，故总的穿越次数为1次正穿越， N=1 。 根据波德图稳定判据， N=P/2，故闭环系统稳定。,例6-10 某系统的开环传递函数为： 试分别求K=2和K=20时，系统的幅值裕度Kg (dB) 和相位裕度 。,解1：由开环传递函数知，系统开环
29、稳定。分别绘制K=2和K=20时系统的Bode图，如图6-13(a)、(b)所示。,由图可见： 当K=2时，Kg(dB)=8(dB)；=21 当K=20时，Kg(dB)=-12(dB)，=-30 显然，K=20时闭环系统不稳定。K=2时系统是稳定的。此时相位裕度较小，小于30 ，因此系统不具备满意的相对稳定性。,图6-13 不同K值的波德图,解2：系统的开环频率特性为,其中，幅频特性,相频特性,令,有,令,或令,有,而幅值裕度,(1),(2),相位裕度,(1) 当K= 2时，代入式(1)得 增益交角频率 c=1.23 代入式(3)得 相位裕度 =25.3 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=9.5
30、2dB,(3),(2) 当K=20时，代入式(1)得 增益交角频率 c=3.93代入式(3)得 相位裕度 =-23.89 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=-10.47,练习题：某系统的开环传递函数为： 试计算其幅值裕度Kg (dB) 和相位裕度 。,解：系统的开环频率特性为,其中，幅频特性,相频特性,令,有,相位裕度,相位穿越频率,幅值裕度,利用波德图求取相对稳定性具有下列优点：,(1) 波德图可以由渐近线的方法绘出，故比较简便易行；,(2)省去了计算c 、g的繁杂过程；,(3)由于开环波德图是由各波德图迭加而成，因此在波德图上容易确定哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其参数重新加以选择或修正；,(4)在需要调整开环增益K时，只需将对数幅频特性曲线上下平移即可，这样可很容易地看出增益K取何值时才能使系统稳定。,
