1、控制工程基础 第五章,第五章 控制系统的稳定性分析 5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据） 5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5 乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性 5.8 李雅普诺夫稳定性方法,5.2 系统稳定的充要条件 对于 上图所示控制系统，有,撤除扰动，即 按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即 当 时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。,对应闭环系统特征根的实部，因此对
2、于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在s平面的左半面。,5.3 代数稳定性判据-劳斯稳定性判据 这一判据基于方程式的根与系数的关系而建立。 设系统特征方程为 式中， 为系统的特征根。,由根与系数的关系可求得,从上式可知，要使
3、全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件。（1）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例， 一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即 0。但这只是一个必要条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。,同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。劳斯阵列为,其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为
4、止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d, e等各行的系数，,这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例1: 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。,例2： 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：首先，
5、由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。 二阶系统特征式为 ，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是,三阶系统特征式为 ， 劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是,例3： 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传递函数为,特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为0K6 见光盘课件（第五章第三节）,例4： 设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：
6、首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。各系数排成如下的行列式,由于故该系统稳定。,5.4乃奎斯特稳定性判据 5.4.1米哈伊洛夫（）定理 米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为： 设n次多项式D（s）有P个零点位于复平面的右半面，有q个零点在原点上，其余 个零点位于左半面，则当以s=j代入D（s）并令从0连续增大到时，复数D（j）的角增量应等于,证：（1）设S1为负实根，对于矢量 （S-S1）, 当S：0j变化时图5-4 负实根情况,图5-5 具有负实部的共轭复根情况因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（n-p-q）/2,设S2、S3为具有负实部的共轭复根，S2=-
7、a+jb (a0,b0)S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S：0j变化时,设 Sm为正实根，对于矢量（S-Sm）, 当S：0j变化时图5-6 正实根情况,设Sm+1、Sm+2为具有正实部的共轭复根，Sm+1=c+jd (c0,d0)Sm+2=c-jd 对于矢量（S- Sm+1）和（S- Sm+2）, 当S：0j变化时因此， p个左根的总角变化量为p(-/2)。,另外，原点根不引起角变化量。 综上，推论：如果n次多项式D(s）的所有零点都位于复平面的左半面，则当以s=j代入D（s）并命从0连续增大到时，复数D（s）的角连续增大,5.4.2 乃奎斯特稳定性判据设反馈控制系统
8、前向通道和反馈通道传递函数分别为 , 则其开环传递函数为,分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。,（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则,（2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个零点在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，,则 或开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为 ，系统闭环后就是稳
9、定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当从0连续增大到时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90。,这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。 设开环特征多项式在右半平面有p个零点，原点处有q个零点，其余（n-p-q）个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当从0到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为时，系统闭环后稳定。,例5: 某反馈控制系统如图所示。试问k为何值时，系统稳定。解： 系统开环传递函数,故p=1,q=0。当K1时，频率特性为直径大于1的半圆，其频率特性如上图所示，可
10、见此时系统稳定。当0K1时，频率特性为直径小于1的半圆，其频率特性如上图所示，可见此时系统不稳定。 见光盘课件（第五章第四节）,例6： 某反馈控制系统开环传递函数为当K为不同值时的频率特性，如图所示，试判别其稳定性。,解：因为p=0,q=1, 故使系统稳定的条件应为显然，对于K10的频率特性，满足上式，系统稳定。对于k=40的频率特性，当0变化时，所以，这时系统不稳定。,乃奎斯特稳定性判据的另一表述 令从-增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到十得出的乃氏图以实轴对称的，例如图所示的乃氏图。,当开环特征式具有零根时，对应的乃氏曲线不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成左根，如下图所示，其中为
11、非常小的正数，从090。,当开环特征式有右根时，乃氏判据可表述为：如果开环特征式具有p个右根，对应封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点p圈，则系统闭环后稳定；否则不稳定。对于没有右半平面的极点，乃氏判据就变为：如果G(j）曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定。 如果G（j）曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定。,例7： 某系统开环传递函数为将 代入，得乃氏图如下图所示。开环特征式没有右根，封闭的乃氏曲线没有包围（-1，j0）点，则系统闭环后稳定。,原点根也可处理成右根，当处理成右根时，如下图所示，其中为非常小的正数，从18090。,例8：某系统开环传递函数为将 代入，得乃氏图如下图所示。开
12、环特征式有一个右根，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1圈，则系统闭环后稳定。,Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述如下：如果s沿D形围线变化一周时，G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系统是稳定的。,5.5 应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据,例9：已知系统的开环传递函数为要求判断闭环系统的稳定性。 由开环传递函数得,当s沿广义D形围线变化一周时，逆Nyquist
13、图逆时针方向包围(-1,j0) 0周, 减去逆Nyquist图逆时针方向包围原点0周,等于0。又因为右极点数p=o，所以闭环系统稳定。,并联延时环节的系统稳定性如下图所示，这时系统的开环传递函数为显然，G(s)H(s)由两项组成，直接做乃氏图往往感到困难。设系统闭环特征方程为将此方程写为于是就可研究是否包围（-11- ）的情况，进而判定闭环系统的稳定性。（-11- ）可看成扩大的（-1，j0）点，必要时可将（-11- ）简化。,例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常易产生振动，下面分析其动态特性。,1机床主轴系统的传递函数 将主轴简化为集中质量m作用于
14、主轴端部，令 P（t）切削力；y（t）主轴前端刀具处因切削力产生的变形量；c主轴系统的当量粘性系数；主轴系统的当量刚度。 主轴端部的运动微分方程为其传递函数为,12切削过程的传递函数若工件名义进给量为 ，由于主轴的变形，实际进给量为u（t），于是U（s）=Uo（s）-Y（s） 若主轴转速为n，刀具为单齿，则刀具每转一周需要时间 。 刀具在每转动一周中切削的实际厚度为u（t）-u（t-） 。令kc为切削阻力系数（它表示切削力与切削厚度之比），则,其闭环系统的特征方程为,则 ，即令这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围（-1，j0）点的问题归结为Gm（j）的极坐标轨迹是否包围Gc(j）
15、的极坐标轨迹的问题。 下面分别作出Gm（j）和Gc(j）的极坐标轨迹。,1若Gm（j）不包围Gc(j），即Gm（j）与Gc(j）不相交，如曲线，则系统绝对稳定，因此系统绝对稳定的条件是Gm（j）中的最小负实部的绝对值 。无论提高主轴的刚度km，还是减少kc(切削阻力系数），都可提高稳定性，但对提高稳定性最有利的是增加阻尼。 2若Gm（j）包围Gc(j）一部分，即Gm（j）与Gc(j）相交，如曲线，则系统可能不稳定，但在一定条件下也可稳定。如果在工作频率下，保证避开的 范围，也就是适当选择系统仍可稳定。所以，在此条件下系统稳定的条件为：选择适当的主轴转速n(在单刀铣刀时，1/n)，使Gm（j）不
16、包围点。,5.6 由伯德图判稳定性如果0型系统在开环状态下特征方程有P个根在右半平面内，并设开环静态放大倍数大于零，在所有L（）0频率范围内，相频特性曲线（）在（ - ）线上正负穿越之差为p/2次，则闭环系统稳定。当乃氏图从大于-的第三象限越过负实轴到第二象限时，叫负穿越，而当乃奎斯特图随增加逆时针从第二象限穿过负实轴向第三象限去的时候，称之为正穿越。而=0时，（0）为-，乃氏图向第三象限去的时候，称之为半次正穿越，而向第二象限去的时候，叫半次负穿越。,图5-36（a），已知p0，即开环无右特征根，在L（）0的范围内，正负穿越之差为0，可见系统闭环后是稳定的。图5-36（b），已知开环传递函数
17、中有一个右半平面极点，即P=1，在L（）0的频率范围内，只有半次正穿越，可见系统是稳定的。图5-36（c），已知P2，而在L（）0的范围内，正负穿越之差为1-2=-122，系统闭环后是不稳定的。 图5一36（d），已知p2，而在L（）0的范围内，正负穿越之差为2-11=22，故系统闭环后是稳定的。,如果系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量。如下图，向左平移虚轴，令z=s-(-), 即将s=z-代入系统特征式,得到z的方程式，类似采用劳斯判据，即可求出距离虚轴以右是否有根。,5.7 采用劳斯判据看系统相对稳定性,例： 令z=s-(-1),即s=z-1, 代入系
18、统特征式,得即 z的多项式各项系数无相反符号，且劳斯判据第一列未变号，可见，系统特征式在s=-1以右没有根。,5.8 李雅普诺夫稳定性方法对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统，通常采用李雅普诺夫稳定性判据。,李雅普诺夫(,.) 18571918 俄国数学家,李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。李雅普诺夫第
19、二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。现在已有一些典型系统寻找李雅普诺夫函数的方法，但迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。,对于系统 ，平衡状态为 满足 。如果存在一个标量函数 ,它满足 对所有都具有连续的一阶偏导数；同时满足 是正定的；则（1）若 沿状态轨迹方向的时间导数 为半负定，则平衡状态稳定； （2）若 为负定，或虽然 为半负定，但对任意初始状态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当 ，则系统大范围渐近稳定；（3）若 为正定，则平衡状态不稳定。,判断二次型 的正定性可由赛尔维斯特（Sylvester）准则来确定，即正定（记作V(x)0）的充要条件为P的所有主子行列式为正。如果P的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)0）。,例：,例：(0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。,第五章作业（p191194)5-4， 5-5， 5-6（1）（2），5-9， 5-21，选作：5-11,
