1、线性系统理论基础 第四章,Lyapunov稳定性分析,内容与要点,一、 Lyapunov稳定性概念,1、平衡状态（平衡点）在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称为平衡状态。 系统 的平衡状态的计算线性系统 的平衡状态：,一、 Lyapunov稳定性概念,例: 单摆,两个平衡点,一、 Lyapunov稳定性概念,一、Lyapunov 稳定性概念,2、 Lyapunov 稳定性定义,一、Lyapunov 稳定性概念,一、Lyapunov 稳定性概念,3、 Lyapunov 渐近稳定性定义平衡点称为渐近稳定的，如果满足：1） Lyapunov 稳定性；2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状
2、态：,一、Lyapunov 稳定性概念,4、Lyapunov大范围（全局）渐近稳定性定义 平衡点称为渐近稳定的，如果满足： 1） Lyapunov 稳定性； 2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态； 3）条件2）对于任意初始状态成立。,一、Lyapunov 稳定性概念,5、Lyapunov 不稳定,二、Lyapunov 稳定性判据,1、Lyapunov 稳定性判别的基本方法间接法（第一方法）通过求出系统的解来判断 直接法（第二方法, Lyapunov函数方法）通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数）并利用系统向量场f(x)来判断。,二、 Lyapunov 稳定性判别,2、Lya
3、punov函数（广义能量函数） Lyapunov函数的定义,二、 Lyapunov 稳定性判别,二次型Lyapunov函数,对称矩阵,二、 Lyapunov 稳定性判别,标量函数的定号性,二、 Lyapunov 稳定性判别,二次型函数的定号的判断 Sylvester判据,二、 Lyapunov 稳定性判别,特征值判据,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,3、Lyapunov 稳定性判别定理,二、 Lyapunov 稳定性判别,例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,4、 Lyapunov渐
4、近稳定性判别定理,二、 Lyapunov 稳定性判别,推论,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,二、 Lyapunov 稳定性判别,5、Lyapunov 不稳定性判别定理,二、 Lyapunov 稳定性判别,稳定性小结与作业,概念 平衡点 Lyapunov稳定 Lyapunov渐近稳定 Lyapunov全局渐近稳定 Lyapunov不稳定 Lyapunov函数 Lyapunov函数的正（负）定 二次型,Lyapunov稳定性定理 Lyapunov稳定性 Lyapunov渐近稳定性 Lya
5、punov全局渐近稳定性 Lyapunov不稳定性作业 P182-182 1(1) 补充,小结与作业,三、连续时间线性系统稳定性判别,1、线性时不变系统稳定判据的间接法,三、连续时间线性系统稳定性判别,三、连续时间线性系统稳定性判别,2、线性时不变系统稳定判据的直接法,三、连续时间线性系统稳定性判别,三、连续时间线性系统稳定性判别,三、连续时间线性系统稳定性判别,三、连续时间线性系统稳定性判别,3、应用MATLAB求解李雅普诺夫方程 P =lyap(A,Q) 解方程 AP + PA = -Q,A=0 1;-1 -1; A=A; 将A转置 Q=1 0;0 1; P=lyap(A,Q)P =1.5
6、000 0.50000.5000 1.0000,注意：应先将A矩阵转置后再代入lyap()函数。,四、离散时间线性系统稳定性判别,1、离散时间线性系统稳定判据的间接法,四、离散时间线性系统稳定性判别,2、离散时间线性系统稳定判据的直接法,四、离散时间线性系统稳定性判别,四、离散时间线性系统稳定性判别,四、离散时间线性系统稳定性判别,本章小结,稳定性概念 李亚普诺夫稳定 李亚普诺夫渐进稳定 李亚普诺夫大范围(全局)渐进稳定 李亚普诺夫不稳定,本章小结,稳定性判断 李亚普诺夫稳定性第一法 李亚普诺夫稳定性第二法 线性（定常、离散）系统李亚普诺夫稳定性作业 P182: 3(1),(3), 5,附 录
7、: Lyapunov,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov（18571918），俄罗斯数学家、力学家和物理学家。 Lyapunov 在微分方程、位势理论、系统稳定性理论以及概率论等领域做出了重大贡献。编辑了欧拉（Euler）文集第18、19卷。 Lyapunov 是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。,附 录: Lyapunov,1892年，莫斯科大学的博士学位论文：“运动稳定性的一般问题”（The General Problem of The Stability of Motion） Lyapunov稳定性理论对于现代控制理论的发展具有非常重要的意义，为此国际控制界于1992年还举行了该论文发表100周年的纪念活动。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。,
