1、一、等差数列1.定义： )(1常 数dan2.通项公式： 13.变式： dmnan)(nam4.前 n 项和： 或 21SnndSn2)1(15.几何意义： 即 类似 dadan 11)( qpanqpxy 即 类似 nS22BAS2 BA26. 等差na daanqp nnnn 1127.性质 则 mqpnmaa 则 pn22 311 nna 、 、 等差mS-22m-S 等差,有 项,则 na1nS1偶奇 21Sn 奎 屯王 新 敞新 疆（3）对于任意的非零实数 b，数列 是等差数列，则 是等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆nana（4）已知 是等差数列，则 也是等差数列 奎 屯王 新 敞新
2、 疆nb（5） 等都是等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆, 231312nnaa（6） 是等差数列 的前 n 项和，则 仍成等差数列，即nSkkkSS23, 奎 屯王 新 敞新 疆)(32mm（7）若 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆 （8）若 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆)(nmS0nSpSqp, )(qpqp（9）若 = ， = 则 =0paqpaq（10） 的前 n 项和 ， 是等差数列，则反之也成立 奎 屯王 新 敞新 疆bbn2n（11） （ 和 是 an 和 bn 的前 n 项和）BAn12 n推广： 从而dma)(mad5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数
3、n1an1Nna列 （2） 等差中项：数列 是等差数列)2(21- 21nna数列 是等差数列 （其中 是常数）。bknak,（4）数列 是等差数列 ,（其中A、B是常数）。2S6等差数列的证明方法 定义法：若 或 (常数 ) 是等差数列dan1dan1Nna7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，1dnaS其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即ad知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项 1()nad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；2,2aadd偶数个数成等差，可设为， ,（注
4、意；公差为 2 ）33(5) 若 是等差数列，则 ，也成等差数列 n22,nnnSS（6）数列 为等差数列,每隔 k(k )项取出一项( )仍为等差na*N23,mkmkaa数列三 等比数列1 奎 屯王 新 敞新 疆相关公式：（1）定义： 奎 屯王 新 敞新 疆（2）通项公式： 奎 屯王 新 敞新 疆)0,1(1qna 1nqa（3）前 n 项和公式： 奎 屯王 新 敞新 疆1q 1)(aSnn（4）通项公式推广： 奎 屯王 新 敞新 疆mnnqa（4）等比中项： .21四 等比数列 的一些性质na（1）对于任意的正整数 n，均有 奎 屯王 新 敞新 疆12an（2）对于任意的正整数 ,如果
5、，则 奎 屯王 新 敞新 疆srqp, srqpsrqpa（3）对于任意的正整数 ，如果 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆22r（4）对于任意的正整数 n1,有 奎 屯王 新 敞新 疆1nna（5）对于任意的非零实数 b， 也是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆（6）已知 是等比数列，则 也是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆nbn（7）如果 ，则 是等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆0aloga（8）数列 是等差数列，则 是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆lnn（9） 等都是等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆, 231312nn(10) 是等比数列 的前 n 项和，Sa当 q=1 且 k 为偶数时， 不
6、是等比数列 .kkkSS232,当 q1 或 k 为奇数时， 仍成等比数列k32,（7）设数列 是等差数列，d 为公差， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是na奇S偶SnS前 n 项的和1.当项数为偶数 时，2121352nnnaS a奇 246 1a 偶 11=nnad偶 奇S奇偶2、当项数为奇数 时，则12n21(21)(1)1nSnaSnaSn+奇 偶 奇 奇奇 偶 偶 偶（其中 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） a+（8） 、 的前 和分别为 、 ，且 ，nbnnAB()nf则 .21()()nnf（9）等差数列 的前 n 项和 ，前 m 项和 ，则前 m+n 项和aSnSm
7、nS(10)求 的最值法一：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但n要注意数列的特殊性 。*N法二：（1） “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和n即当 由 可得 达到最大值时的 值， 0da01naSn（2） “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由 可得 达到最小值时的 值，11nn或求 中正负分界项na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值） 。若 S p = S q则其对称nS轴为 2pq注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量
