1、1. 直线方程（一）直线的位置关系1. 已知集合 ， ，若123),(axyA15)()1(,2yaxyxB，则 的值为_ Ba2若直线 与直线 平行，则 04)1(ymx 043ymxm33. 已知 m1，0，1 ，n 1，1 ，若随机选取 m，n，则直线 恰好不经10xny过第二象限的概率是 4已知实数 ， 满足约束条件 则 的最大值为 xy3xy ， 25zxy25. 已知两条直线 的斜率分别为 ，设 的夹角（锐角）为 . 21,l )0(,2121kk21,l（1）求证： 21tank（2）求直线 与直线 的夹角0yx03yx6. 求函数 的最小值.145227. 求函数 的最小值.5
2、134xxy8. 若 ，则 的最大值为_.2x2y9. 已知直线 过不同的两个点 ， ，则直线 的倾斜角的取值范围是l )sin,(coA)1,0(Bl_. ,43,0（二）直线应用题1. 如图所示，有两条道路 与 ， ，现要铺设三条下水管道 ，OMN06OA， （其中 ， 分别在 ， 上） ，若下水管道的总长度为 ，设OBABOMN3km， ()akm()bk（1）求 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；a（2）已知点 处有一个污水总管的接口，P点 到 的距离 为 ，到OMH34km点 的距离 为 ，问下水管道P7能否经过污水总管的接口点 ？若ABP能，求出 的值，若不能，请说明理a由
3、解：建系，检验是否三点共线即可2. 如图在矩形 ABCD 中，已知 AB=3AD，E，F 为 AB 的两个三等分点，AC，DF 交于点G（）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG DF；（）设点 E 关于直线 AC 的对称点为 ，问点 是否在直线 DF 上，并说明理E由证明：（）如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，设AD 长度为 1，则可得 ， ， ， ， 2 分(0,)A(,1)D(,0)E(2,)F(3,1)C所以直线 AC 方程为 ， 3yxBAbO PaMNH直线 DF 方程为 ， 4 分12yx由解得交点 6 分6(,)5GEG 斜率 ，又
4、DF 斜率 ，Ek12DFk ，即有 EG DF 8 分1GDF（）设点 ，则 中点 M ， 1(,)xy1(,)2xy由题意得 11 分1,23,yx解得 14 分4(,)5E ，312点 在直线 DF 上 16 分3. 如图，O 为总信号源点， A，B，C 是三个居民区，已知 A，B 都在 O 的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C 在 O 的北偏西 45 方向上，CO = kmk 52km（1）求居民区 A 与 C 的距离；（2）现要经过点 O 铺设一条总光缆直线 EF（E 在直线 OA 的上方） ，并从 A，B，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF假设铺设每条分光
5、缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为 m（m 为常数） 设AOE = （0 ） ，铺设三条分光缆的总费用为w（元） 求 w 关于 的函数表达式； 求 w 的最小值及此时 的值tan（第 18 题） FE北O A BC在平面直角坐标系中，直角梯形 AOBC 的位置如图所示，OAC90，ACOB，OA4，AC 5， OB6M、N 分别是线段 AC、线段 BC 上的动点，当MON 的面积最大且周长最小时，点 M 的坐标为 _ .2. 圆的方程1. 在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆 交xOy360xy22(3)(1)xy于 ， 两点，则直线 与直线 的倾斜角之和为 ABAB2. 已知 集合 ,
6、若,xyR2(,)1,(,)1,0xyxy ab只有一个元素，则 应满足的关系为_AB,ab3. 已知 ，集合 ，若0r22(,)1,(,)MxyNxyr，则 的最大值为_；若 则 的最小值为MNr_ 21，4. 已知圆 与直线 相交于 ， 两点，若22:()()1(0)Cxaya3yxPQ，则实数 09PQ变式 1 “ ”改为所求三角形 CPQ 面积最大，则实数 a=_.0变式 2“ ”中 900 改为 600，则实数 a=_.09PCQ变式 3“ ”中“=”改为“” ，则实数 a 的取值范围为_.5. 一类存在性问题探究例：（2013 年苏锡常镇徐连一模）若对于给定的正实数 ，函数 的图像
7、上总存k()kfx在点 ，使得以 为圆心，1 为半径的圆上有两个不同的点到原点 的距离为 2，则 的C O取值范围是 解法 1：可转化为双向不等式的有解问题，即 ，解得：312xk290k解法 2：可利用图像研究其充要条件为： ，解得：92k90原型：（2012 年江苏高考题）在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 C 的 方 程 为 ，xOy28150xy若 直 线 上 至 少 存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则2ykxk 的最大值是 _6. 已知圆 C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为 ， (1,)A(3,5)B（）求圆 C 的方程；（）若过点 M
8、 的直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的方程.(2,0)解：（）由题意得圆心 ， 2 分(,)半径 ， 4 分1RAC所以圆 C 的方程为 6 分22()()10xy（）显然直线 l 不可能垂直 x 轴，设直线 l 的方程为 ，(2)ykx因为直线 l 与圆 C 有且只有一个公共点，所以圆心到直线的距离 ， 9 分2|10kd解得 或 12 分3k1所以直线 l 的方程为 或 14 分60xy320xy7. 若圆 与圆 相交，则实数 m 的取值范围为 22()xym281 （1，11）8. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0） ，B（0，1） ，则满足 且在圆24PA
9、B上的点 P 的个数为 224xy9. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： 关于直线 l：248190xy对称的圆 C2 的方程为 50210. 已知圆 O 的方程为 x2 y2 r2（r 为正的常数） ，设 P（m，n）为平面内的一个定点，求证：存在定点 Q，使得对圆 O 上的任意一点 M，均有 为定PQ值11. 已知 ，且 ，求证： . 圆构成的区域的Ryx, 022yx 0862xy包含关系.12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F 与 F，圆 ：214xy235xy（1）设 M 为圆 F 上一点，满足 ，求点 M 的坐标；1F（2）若 P 为椭圆上任
10、意一点，以 P 为 圆 心 ， OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT，证明：点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值3. 动态问题研究1. 已知圆 M： ，过 轴上的点 存在一直线与圆 M 相交，交22(1)(3)4xyx(,0)Pa点为 A、B ，且满足 PA=BA，则点 P 的横坐标 的取值范围为 解：取 中点 ，连接 、 ，设 则 相减得C2ABm223CrP， ，即2284Pmr0r28436m(1)36a MyoxPAB（第 17 题）TQPF HOy xF2. 已知 A = (x，y) | x2 y2 4 ，B = (x，y) | (x a)2 (y a)22a 2，
11、a 0 ，则AB 表示区域的面积的取值范围是_ （0，2）3. 分别在曲线 与直线 上各取一点 与 ，则 的最小值为 xe1eMN12e专题思考：两条曲线，两个动点问题的研究很不容易；所以研究这类问题我们的想法是能不能先定一个点，只研究一个动点问题；变式 1：（2012 年新课标全国理科卷）设点 在曲线 上，点 在曲线Pxey21Q上，则 的最小值为_ 两函数互为反函数；)2ln(xyPQ )2ln1(变式 2：在椭圆 与圆 各取一点 M,N，则 MN 的最小值为124xy1(2yx）_16变式 3：已知 是双曲线 图像上两点，则 MN 的最小0),(),(2121xyNxMxy3值为_. 6
12、改编自 2011 年江苏高考题：在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线与函数oy的图象交于 两点，则线段 长的最小值为 xf2QP,P背景：在双曲线中，两个实轴顶点间的距离为所求最小值变式 4：如果 是函数 图像上的点， 是函数 图像上的点，且M)(xfyN)(xgy两N,点之间的距离 能取到最小值 ，那么将 称为函数 与 之间的距离.d)(xfy)(y按这个定义，函数 和 之间的距离是 xf)( 34)(2xg 1274. 在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 ： 和 ： 的距离xOy(,)Pab1lyx2lyx之和为 ，则 的最大值为 22ab8解：由题意得： 42（1） 此时 的最
13、大值为 ；（2） 此时 的最大值为.3,2ab2ab18.1,2ab2ab10；（3） 此时 的最大值为 10；（4） 此时 的最大值为 .1,2ba2ab.3,2ba2ab185. 在平面直角坐标系 中，已知圆 O： ，点 ，M，N 为圆 O 上不同xy216xy(,)P的两点，且满足 若 ，则 的最小值为 0PMNPQMNQ35妙解： ，由题意得 ，可得点 所在的轨迹方程为：PRQ2162ORR，可得最小值427)1()2(yx6. 已知 A = (x，y) | x2 y2 4 ，B = (x，y ) | (x a)2 (y a)22a2，a 0 ，则 AB 表示区域的面积的取值范围是_7
14、. 已知圆 C：x 2 y2 1，点 P(x0，y 0)在直线 x y 2 0 上，O 为坐标原点，若圆 C 上存在点 Q，使OPQ 30，则 x0 的取值范围是 8. 已知实数 a，b，c 成等差数列，点 P( 1，0) 在动直线 上的射影为 M，0axbyc点 N（2，1） ，则线段 MN 长的取值范围是_ 9. 过点 (,)P的直线 l 与圆 2:()4Cxy交于 A，B 两点，当ACB 最小时，直线 l 的方程为 10. 点 P 为单位圆 O 外的一点， PA，PB 为圆 O 的两条切线，则 的最小值为 PAB11. 设 m， ，若直线 与圆 相切，则 的最大值是nR(1)+()2=0
15、mxny2+1xy+mn_.12. 曲线 C： 与 轴的交点关于原点的对称点称为“望点” ，以“望点”为圆心，|yxy凡是与曲线 C 有公共点的圆，皆称之为“ 望圆”，则“望圆”面积的最小值为 13. 设 ，对于一切 x，y ，y0， 的最小值为22(,)()xFxyyR,Fxy_ 14. 已知集合 224(,)|3()5A，(,)|2|4|Bxyy，若 AB，则实数 的取值范围是_.变式：（2008 浙大自主招生）已知集合 ，54)2()1(,2yxy，若 ，则实数 的取值范围是_. ayx21),( a2a15. 在平面直角坐标系 中，已知点 在圆 内，xO(3,0)P22:480Cxymxy
