1、2.2.2 直线与圆的位置关系,第2章 2.2 圆与方程,学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与圆的三种位置关系及判定,思考 用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？,答案 联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系. 当方程组无解时，相离；当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交.,梳理,无解,只有一解,思考辨析 判断正误 1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( ) 2.如果
2、直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( ) 3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( ),题型探究,例1 求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离.,类型一 直线与圆的位置关系的判断,解 圆的方程化为标准形式为(x3)2y24，,解答,反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定
3、的局限性，必须是过定点的直线系.,跟踪训练1 过点P( ，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_.,0，60,答案,解析,解析 由题意知，直线l的斜率必存在，,类型二 切线问题,例2 过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线方程.,解答,解 因为(43)2(31)2171， 所以点A在圆外. 若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30. 设圆心为C， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，,即15x8y360. 若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x4的距离为1， 这时直线x4与圆相切， 所以另
4、一条切线方程为x4. 综上，所求切线方程为15x8y360或x4.,引申探究 若本例的条件不变，求其切线长.,解答,解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B，则ABC为直角三角形，,又BCr1，,所以切线长为4.,反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目. (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系知，切线斜率为 ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0. (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切
5、线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.,跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_.,x2y50,解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上， 可得此圆的方程为x2y25， 所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5，即x2y50.,答案,解析,例3 (1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.,类型三 弦长问题,答案,解析,解析 方法一 (
6、交点法) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)， 即xy10.,方法二 (弦长公式) 由题意知，直线l的方程为y2(x1)， 即xy10.,消去y，得2x22x70.,方法三 (几何法) 由题意知直线l的方程为y2(x1)， 即xy10，,(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1所得的弦长为2 的圆的方程为_.,答案,解析,(x2)2(y1)24,解析 设圆的半径为r，由条件得,r2224，得r2， 所求圆的方程为(x2)2(y1)24.,(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A，B两点，截得的弦长为4 ，求直线l的方程.,解答,解 方法一 若直线l的斜率不存在， 则l：x
7、5与圆C相切，不合题意， 直线l的斜率存在， 设其方程为y5k(x5)， 即kxy5(1k)0. 如图所示，OH是圆心到直线l的距离，,OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半， 在RtAHO中，OA5，,直线l的方程为x2y50或2xy50.,方法二 若直线l的斜率不存在， 则l：x5与圆C相切，不合题意， 直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y5k(x5)， 且与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.,得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0， 10k(1k)24(k21)25k(k2)0， 解得k0.,由斜率公式， 得y1y2k(x1x2)，,两边平方，整理得2k25k20
8、，,直线l的方程为x2y50或2xy50.,反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式AB 求解. (2)弦长公式： 如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线 与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，,通常采用几何法较为简便.,跟踪训练3 已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28. (1)证明：直线l与圆相交；,证明,证明 l：kxyk20， 直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2). 又(1)2228，(1,2)在圆C内， 直线l与圆相交.,(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，
9、求直线l的方程，并求出弦长.,解答,解 由(1)知，直线l过定点P(1,2). 又圆C：x2y28的圆心为原点O， 与OP垂直的直线截得的弦长最短.,达标检测,答案,解析,1.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是_.,1,2,3,4,5,相交,直线与圆相交.,答案,解析,2.若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,(，0)(10，),解析 将圆x2y22x4y40化为标准方程为(x1)2(y2)21， 则圆心坐标为(1，2)，半径为1. 若直线与圆没有公共点，则圆心到 直线的距离大于半径，,答案,解析,解析 依题意
10、可设所求切线方程为2xyc0，,1,2,3,4,5,解得c5. 故所求切线的直线方程为2xy50和2xy50.,3.平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线方程为_ _.,和2xy50,2xy50,答案,解析,4.设A、B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则AB_.,2,1,2,3,4,5,解析 由直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)， 得AB2.,1,2,3,4,5,5.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且MN2 ，则k的取值范围是_.,(，0,答案,解析,1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较 (1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何
11、法较为简单. (2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单. 2.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时，当切线的斜率存在且不为0时，由圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.如果切线斜率存在或为0，则切线方程可直接写出.,规律与方法,(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.,
