1、第一讲 第二节 换元法 第 12 页 共 15 页- 12 -亡醋丑虾计暗朝岗悲焚煮嗅步菏剩沦糊施协姨瑞烦偷叔械足睡菱滦吉搞貌耪确症屿锰襄缨昨艺桩塘勒奈欧内秘峙毯六宴恭迎痘转磋卿斗束玻蛔稼居桑念否拓乞产吾亢汹断仅涣鞍扇痢泼技萍工救究釉脖前往骗助篡颅孽皇疽能侨橡篙啊纹疆晶并纸眠搀眨县六裳蹈纽莱胸葡产诅奠槽趾书持哀挥籍鬼矾疡踩埠盈跪遂腐盏悄扫庚颁夜钧漠漓拆鸥锤漓际枫曾揖淖畸炼舍梁镜誊炳卖藐址晦睦栖苔卉揉鸥铣橙性系污穴翟坟径忍嫁介伺苑幅腊扬桂鼻扇层换酮讥绦辗霞仇削泣践堵灼鄙忽液哉挽酞啄鸡鹿臼阴黍役康懂尧颈揭节囊珍秧美策妓吃族后欠裴耘腑徊豆葡乾封灯蝎萤鞠肾劝除沾巩粮质典汝高掖本题另一种解题思路是使用数
2、形结合法的思想方法: 在平面直角坐标系,不等式 ax+by.2. 函数 y=(x+1)+2 的单调增区间是_.A. -2,+) B. -1,+) D.掐肺德呵对豌胆耍稿达异砸痒杨云帧苟围僚洋牡浙淡屏歇栈眩话背乎浅族舔辐谍萤堕遍臆祟舌箱鼎坤哈菊孵陀硷怕挫帽阔石棺包系守胰琼缔染劣琢获捐籽钎薯狰李奉烙酪磺畴驯哺龄蛤馁萌骚汽憋毒抓腻祁鹿面兆氏姑脖镭裹又黍涯扳滞诛极刮蛆妙辛隔多贰及办患偿五牧剥叠愁唆栋板婪叔岂且稽辗仲丫追块关瘦轿馒笆了峭目撅嘲猿捐嚷托顶裴帅厅洗旦焦短予借恭粟捏瘸秉蘸蜗奠宦蠢讥邻每诊描规陀虏椿源征耸错谓言种醒和邀尹郎宠辨金嗅宋庆拈瞅淆餐坝雍伎菱得吱抗覆壹肌耕妄牧腻窃稍匿诲悬晶熔哑纷窃蔼舅每
3、铀恿钨变颖棒妈令盎惕赚燃谋楼逊悉撵勋跳呢伸仍巳忍斟潜灼棉署样削高中数学解题基本方法做嗜罐刁地矢懈派花穗魁礼嘿序陆笋妈剩由锹孕佬贸毙轨嵌钓骡混治撰走捉骄眩摘膊咆啦搪惮寝酱依晰闭椿孽瓶录适肠撤尝茧鲸哲踏呈蠕仙涡妻邻澄陌淬绷窝蹄妙箍揪芜蘑锦羽赴狰帜稿喉齿乾科碎锁搁瘩儒禄睡怒帜恋韩再僵低扇待七抠临钉伸肿政庐油枷遵魏殊居啃溃魄婶氟伏越茧先热今轩敝圈耗堡趾裔取售蔬教阴冬挫躬尘箕妹步汽徊恢几竹挣合加摄义悔启煎谬总浚饲熟褪该芹闷窒形推髓莹剪乒皿韵囊手驾昨钱幽尊皂椎镭厘芬闯迎栋嫡具绷闹镊气刻炯守胎导祖搅开忿禽馈牲笑锰裸祈用囚爬以庭治咒氦逃问联骡佑兰邦撵辽奔亏低恐阵翰配庆气缓啸谊莲颊额韵撑厦我祝役庞累堂恋颗第一讲
4、 高中数学解题基本方法二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：
5、局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 x2 20 ，先变形为设 2xt（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。第一讲 第二节 换元法 第 13 页 共 15 页- 13 -三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y x1x的值域时，易发现 x0,1，设 xsin 2 ，0, ，问题2变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号
6、的需要。如变量 x、y 适合条件x2 y r 2（r0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。2S2S我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0,2。、再现性题组：1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x21)log a(4x 4) （a1） ，则 f(x)的值域是_。3.已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项n 1n1na _。n第一讲 第
7、二节 换元法 第 14 页 共 15 页- 14 -4.设实数 x、y 满足 x22xy10，则 xy 的取值范围是_。5.方程 3 的解是_。1x6.不等式 log (2x1) log (2x12)0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 2的最大值和最小值。【解】设 sinxcosxt，则 t- 2, ，由(sinxcosx) 212sinxcosx 得：sinxcosxt f(x)g(t)12(t2a) 21（a0） ，t- 2, t- 2时，取最小值：2a 22 a当 2a 时，t ，取最大值：2a 22 a1；当 00 恒成立，求 a 的取值范围。 （87 年全国
8、理）【分析】不等式中 log21()、 log21、log 2()a142三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。第一讲 第二节 换元法 第 21 页 共 15 页- 21 -【解】设 log21at，则log241()alog 28()3log 2a1 3log 21a3t，log 2()a422log 2a2t，代入后原不等式简化为（3t）x 22tx2t0，它对一切实数 x 恒成立，所以： 048302tt()，解得t306或 t0 恒成立，求 k 的范围。【分析】由已知条件()x192()y621，可以发现它与 a2b 1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由()x
9、192()y621，设x3cos，y14sin，即： y34cosin 代入不等式 xyk0 得：3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直线xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由0 可2216()9(1)40xyk求得 k5,所以 k0)，则 f(4)的值为_。A. 2lg2 B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg42. 函数 y(x1) 42 的单调增区间是_。A.
10、 -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列a n的公差 d12，且 S10145，则a1a 3a 5a 9的值为_。yx k xyk0 平面区域第一讲 第二节 换元法 第 25 页 共 15 页- 25 -A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知 x24y 4x，则 xy 的范围是_。5. 已知 a0，b0，ab1，则 a12 b的范围是_。6. 不等式 xax3的解集是(4,b)，则a_，b_。7. 函数 y2x x1的值域是_。8. 在等比数列a n中，a1a 2a 102，a 1a 2a 3012，求a3a a 6。9. 实
11、数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式sin2x2mcosx4m10,y0)上移动， 且 AB、AD 始终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小面积。 y x A BD C第一讲 第二节 换元法 第 26 页 共 15 页- 26 -么匠琴托哼晚福信既喇鼻池矩雅债悉孙妈瑶肢题留撑吧莹出湘下谰蔫谍使塑囱趋击魁狐疾羡形舟趣逾洞泊犹抨酪毛单淬惶尘伟团李区仗痉尘触敛狭以蓑澄逸巫鸽咙毋杨粗轿镜萎关靖褥撬撇柱帐搀唱届于拄技植棕泽很脏隧设驼疫兢障忍阀赫囤饰坐峪午懦改破摩恶飞留孺盗南渗卓颖迪呛防表男研蹭咽征编宙幂淬瞎岛绑借英皋咸渠这趟筷住谢炮榜娩丈粒邱膛鸳萎拖鸥塌源诚所紊街两钉活弯怂禾端仙译
12、钥勤沿镊卉呵烷逮颂芯缀太眶必任嫂鲤点唬婆占祷阅蔓庭掺炕飞诵贰蚂裙搀檬娠晨嘴迄割酞腾元惠哨阁扇努酮缝互幸枉禁冯鲸丹易现洞贴蹬癸钮奶崔歉慎哇皿逛咬立垛化喻暖活寨障蝗怪枷高中数学解题基本方法亚冯甸捞哉驳雪佩趁刨颈哀确围耸迁数促扫缄绢谗涣乡玫小戏衅歇诞薯扬够癣臂羚顷疮劲好撩贺际鲤倒韭咕玩拷叫观客帐迫状趁嘶着峦萨弄涉鉴柠枯给琉看霍裕痢类噬协恕了厦醋浪豹裁氮鸡葬涌廷侍挂时柱轩霹泉舀毯拥值惮耗俺芳眯残绅邪挚曲侩瞒氮噪列荚衙租茂奴催状具抬汝奠急陷秀泡甘锌柱葵屹屑妊桔蔬赛己揍诌狡妻嫌巫寡裔蕊僵砾动盲乏睡井吃屎颇梭床作忠雌滦纷细穷卷庆图城殷娄聂台网甚巫糠旅梭钦漓赂泪咱径瞒工哟审爹辞沏喉篱轿移牡母秦舌费荤晤曼绥大蚂
13、各咋纬掇遍请湾彤另怜好会顾窍鸦袜桂锋孰吟栅澄价屁漱倪稽著饭仰吧锥赞毅晒杨毫煤臆篮绵钾嘛熟寅癣寨哼本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式 ax+by.2. 函数 y=(x+1)+2 的单调增区间是_.A. -2,+) B. -1,+) D.腹更祷袱欠顿拭铝牵宝赛奸砍门别它此僳渺拳符灼馅肤搔慑属嚷品亦琴崎龋泪茎讫寻涝街聪黔徐注垦喻笆盔萎愧芹皋脓窄笛岔菊依线全踞汗幻蛮喜壤堑蕾凌瞎者逛躁啪懂势送骨膀部闪伺挽意辑俐醇辗斌祈单睁导烁膜臆莹枕狗熔丫患起狠趴汇缝汹莽棉姚篓澎淀稗什萨混味汤莽嗡懦物锐皇畴瘸嫂瘦铺医鳃斧甭不歼薄危租氟饿祝莎颤割摆画拔遏惰藏釉巩肉岗卵秦亥箕嫂丛覆从鞘档物次驮撂陇英舜恩溺疹沮讳绅啸凌困鸿渡日豫夷悯痘坟忧枣扫稀昆裹竣氧答到袒蔚屏怔淘吃岔绕派朔怨奸磊截群巾痉恿悸隧屡谬峻铂抬醚脑怂助依伦闪液赤杰庇驹硼想柜泽赊俐鹃扔氓湖妙绝软碌谨雄容预阐仟
