1、112.1 正、余弦定理在实际中的应用测量中的基本术语提出问题李尧出校门向南前进 200 米，再向东走了 200 米，回到自己家中问题 1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向问题 2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东 45或东偏南 45.导入新知实际测量中的有关名称、术语称 定义 图示基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于 90)南偏西 60(指以正南方向为始边，转向目
2、标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角化解疑难2解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.测量高度问题例 1 如图，为了测量河对岸的塔高 AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D，测得 CD200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45和 30，且 CBD30，求塔高 AB.解 在 Rt ABC 中， ACB45，若设 AB h，则 BC h；在Rt ABD 中， ADB30，则 BD h.3在 BCD
3、 中，由余弦定理可得CD2 BC2 BD22 BCBDcos CBD，即 2002 h2( h)22 h h ，3 332所以 h2200 2，解得 h200( h200 舍去)，即塔高 AB 为 200 米类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将
4、可能产生偏差活学活用(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧3一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析：由题意，在 ABC 中， BAC30， ABC18075105，故 ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得 ，600sin 45 BCsin 30解得 BC300 m.2在 Rt BCD 中， CD BCtan 30300 100 (m)233 6答案：100 6测量角度问题例 2 如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 处(
5、1)n mile 的 B 处有3一艘走私船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 t， BD10 t，3在 ABC 中， AB 1， AC2， BAC120，3由余弦定理，得BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC( 1) 22 22( 1)2cos 1203 36， BC ，6且 sin ABC sin BAC
6、.ACBC 26 32 22 ABC45. BC 与正北方向垂直 CBD9030120，4在 BCD 中，由正弦定理，得sin BCD ，BDsin CBDCD 10tsin 120103t 12 BCD30.即缉私船沿东偏北 30方向能最快追上走私船类题通法解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去活学活用某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45，距离为 10 海里的
7、 C 处，并测得货船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间3解：设护航舰靠近货船所用时间为 t 小时在 ABC 中，根据余弦定理，有AB2 AC2 BC22 ACBCcos 120，可得(10 t)210 2(10 t)221010 tcos 120，3整理得 2t2 t10，解得 t1 或 t (舍去)12所以护航舰靠近货船需要 1 小时此时 AB10 ， BC10，3又 AC10，所以 CAB30，所以护航舰航行的方位角为 75.1.探 究 距 离 测 量 问 题测量距离问题分为
8、三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解5【角度一】 两点间不相通的距离例 1 如图所示，要测量一水塘两侧 A， B 两点间的距离，其方法为先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出AC， BC 的长 b， a，则可求出 A， B 两点间的距离即 AB .a2 b2 2abcos 若测得 CA400 m， CB600 m， ACB60，试计算 AB 的长度解 在 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB， AB240
9、0 2600 22400600cos 60280 000. AB200 m.7即 A， B 两点间的距离为 200 m.7【角度二】 两点间可视但有一点不可到达例 2 如图所示， A， B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且 B 点不可到达，要测出 A， B 的距离，其方法为在 A 所在的岸边选定一点 C，可以测出 A， C 的距离 m，再借助仪器，测出 ACB ， CAB ，在 ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC60 m， BAC75， BCA45，则 A， B 两点间的距离为_m.解析 ABC180754560，所以由正弦定理得 ，ABsin C ACsin
10、B AB 20 (m)ACsin Csin B 60sin 45sin 60 6即 A， B 两点间的距离为 20 m.6答案 20 6【角度三】 两点都不可到达例 3 如图， A， B 两点在河的同侧，且 A， B 两点均不可到达，测出 A， B 的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点 C， D，测得 CD a，同时在 C， D 两点分别测得 BCA ， ACD ， CDB ， BDA .在 ADC 和 BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD km， ADB CDB30， ACD60， ACB45，求 A， B 两点32
11、间的距离6解 ADC ADB CDB60， ACD60， DAC60， AC DC .32在 BCD 中， DBC45，由正弦定理，得BC sin BDC sin 30 .DCsin DBC 32sin 45 64在 ABC 中，由余弦定理，得AB2 AC2 BC22 ACBCcos 45 2 .34 38 32 64 22 38 AB km.64 A， B 两点间的距离为 km.64随堂即时演练1若 P 在 Q 的北偏东 4450方向上，则 Q 在 P 的( )A东偏北 4510方向上B北偏东 4550方向上C南偏西 4450方向上D西偏南 4550方向上解析：选 C 如图所示，点 Q 在点
12、 P 的南偏西 4450的方向上2海上有 A， B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B， C 间的距离是( )A10 海里 B. 海里310637C5 海里 D5 海里2 6解析：选 D 如图， C180607545， AB10，由正弦定理得 ，10sin 45 BCsin 60 BC5 (海里)，故选 D.63如图，线段 AB， CD 分别表示甲、乙两楼， AB BD， CD BD，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角为 30，测得乙楼底部 D 的俯角 60，已知甲楼高 AB24 米，则乙楼高
13、CD_米解析：过 A 作 AE CD(图略)，垂足为 E， ED AB24 米，则 AE 8 (米)EDtan 60243 3在 Rt ACE 中， CE AEtan 308 8(米)，333 CD CE ED82432(米)答案：324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A， B，望对岸的标记物 C，测得 CAB45， CBA75， AB120 米，则河的宽度为_米解析： ACB180457560，在 ABC 中， .ABsin ACB BCsin CAB BC120 ，sin 45sin 6012023河宽为 BCsin CBA sin 7520( 3)米. 12023 3答案：2
14、0( 3)35.如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值解：如题中图所示，在 ABC 中，AB40， AC20， BAC120，由余弦定理知，8BC2 AB2 AC22 ABACcos 1202 800 BC20 .7由正弦定理，得 ABsin ACB BCsin BACsin ACB sin BAC .ABBC 217由 BAC120，知 ACB 为锐角，则 cos ACB .277由 AC
15、B30，得 cos cos( ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30 .2114课时达标检测一、选择题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A B C 90 D 180解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图知 ，故应选 B.2两灯塔 A， B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km)，灯塔 A 在 C 北偏东 30， B 在C 南偏东 60，则 A， B 之间的距离为( )A. a km B. a km2 3C a km D2 a km解析：选 A ABC 中， AC BC a km， ACB90，
16、AB a km.23有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A5 B10C10 D102 3解析：选 C 如图，设将坡底加长到 B时，倾斜角为 30，在 ABB中，利用正弦定理可求得 BB的长度9在 ABB中， B30， BAB753045， AB10 m，由正弦定理，得BB 10 (m)ABsin 45sin 30102212 2坡底延伸 10 m 时，斜坡的倾斜角将变为 30.24一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的M 处，下午
17、2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )A. 海里/小时1762B34 海里/小时6C. 海里/小时1722D34 海里/小时2解析：选 A 如图所示，在 PMN 中， ，PMsin 45 MNsin 120 MN 34 ， v (海里/小时)6832 6 MN4 172 65.如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按2固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里；当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 海里，则乙船每小时
18、航行( )2A10 海里 B20 海里2 2C30 海里 D30 海里2解析：选 D 如图，连接 A1B2，在 A1A2B2中，易知 A1A2B260，又易求得 A1A230 10 A2B2，213 210 A1A2B2为正三角形， A1B210 .2在 A1B1B2中，易知 B1A1B245， B1B 40020022010 200，2 222 B1B210 ，乙船每小时航行 30 海里2 2二、填空题6某人从 A 处出发，沿北偏东 60行走 3 km 到 B 处，再沿正东方向行走 2 km 到3C 处，则 A， C 两地距离为_km.解析：如图所示，由题意可知 AB3 ，3BC2， ABC
19、150.由余弦定理，得AC227423 2cos 15049， AC7.3则 A， C 两地距离为 7 km.答案：77(四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于 _m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 37 0.80， 1.73)3解析：过 A 作 BC 边上的高 AD， D 为垂足在 Rt ACD 中， AC92，在 ABC 中，由正弦定理，得 BC sin BAC sin 37 ACsin ABC 92sin 67
