1、 1函数的概念与表示知识领航1函数的定义一般地：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合 A 中的任意一个数 ,在集合 B 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 A 到集合 B 的x ()fx():fxAB一个函数，记作： .(),yfx注意：函数概念中的关键词(1) A，B 是非空数集.(2)任意的 A，存在唯一的 B 与之对应.xy2. 函数的定义域、值域其中， 叫做自变量， 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，xy函数值的集合 叫做函数的值域.()|fxA3. 函数的三要素定义域、值域和对应法则.4. 相等函数如果两个函
2、数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念设 是两个实数，而且 .我们规定：,abab（1）满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 .xx,ab（2）满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 .()（3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ， .x ,)ab(,这里的实数都叫做相应区间的端点.实数 可以用区间表示为 .“ ”读作“无穷大”， “ ”读作“负无穷大”，“R(,)”读作“正无穷大”，我们可以把满足 ， ， ， ，的实数 的集合分别表示为xaxbx，,)a， ， .(,b(,)6. 函数的表示法（1）
3、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).7. 求函数的解析式的方法（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.（2）换元法: 适用于已知 的解析式,求 .()fgx()fx（3）消元法: 适用于同时含有 和 ，或 和 .1()f()f28. 分段函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.9. 映射的概念设 A，B 是两
4、个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合 A 中的任意一个元素 ,在集x合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 为从集合 A 到集合 B 的一个()fx():fxB映射。 注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A、B 必须是非空数集. e 线聚焦【例 1】下列图象中不能作为函数的是( ).A B C D解：答案为 B. 因为 B 中存在 ，使得有两个 与之对应.xy【例 2】已知函数 .1()32f(1)求函数的定义域.（2）求 , 的值.(3)f6f(3）当 时，求 , 的值.0a()a1)f解：（1）使得 有
5、意义的实数 的集合是 ，xx|3x使得 有意义的实数 的集合是 ，12|2所以，这个函数的定义域就是 .|x且（2） (3)13f25668（3）因为 ，所以 ， 有意义，0a()fa)f1()32f311(1)32faa【例 3】已知 的定义域为 ，求 的定义域.x0,2()fx解：由题意知， ，所以02所以 的定义域为(1)fx【例 4】求下列函数的值域.（1） y（2） 246,15xx（3）（4） y解：（1）因为 ，所以 ，0x1x所以 的值域为 . （观察法）,)（2）配方，得 2()y又 ，所以 ，1,5x1y所以 的值域为 . （配方法）246,5x2,1（3）因为 ，所以30
6、x1y所以 的值域为 . （分离常数法）|（4）设 ，则 且21uu所以 即所以 的值域为 . （换元法）21yx【例 4】下列函数中哪个与函数 相等( )yxA. B. C. D.2()yx322xy解：函数 的定义域为 ，对应法则为 .RA 中 的定义域为 ，所以 与 不是同一个函数；2()0,)2()xB 中 的定义域为 ，且 ； 与 的定义域和对应法则都相同，所以3yx3y3yx为同一函数；31|2x33yy2ux2(1)y,4C 中 的定义域为 ，但 ，所以 与 不是同一个函数；2yxR2|yx2yxD 中 的定义域为 ，所以 与 不是同一个函数.|0x所以，应选 B.【例 4】某种
7、笔记本的单价是 5 元，买 个笔记本需要 元.试用函数的三种表示法(1,2345)xy表示函数 .()yfx解：这个函数的定义域是数集 1,234用解析法表示为 ,yx列表法表示如下：笔记本数 x1 2 3 4 5钱数 y5 10 15 20 25用图象法可将函数表示如下图：注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。（2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。【例 5】已知 ，求 和 . (1)23fx()fx1)f解：令 ，则 ，tt所以 ，f所以 ，()x所以 .12()1f注意：此方法为换元法.【例 6】已知 是一次函
8、数， ，求 的解析式.()fx()41fx()fx解：设 ，0kb则 2()()()41fxfkxbkxbx对比系数得 解得 或241b135所以函数 的解析式为 或 .()fx1()23fx()21fx注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).【例 7】已知 ，求 的解析式.13()2(0)ff()f解：用 代替 得1xx所以 消去13()2ffx1()fx解得 ()(0)5f注意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有 和 ，或 和 .()fx1f()fx)f【例 8】已知函数 2,1(),xf（1）求 的值.1(3),(5)ff（2）若
9、，求 的值.x解：（1） ()26f14(5)3f（2）若 ，则 ，解得 ，不满足 ，舍去；x2x1x1x若 ，则 ，解得 或 ， 不满足 ，舍去；1331x所以 ；若 ，则 ，解得 ，不满足 ，舍去.x3x2x2x【例 9】画出函数 的图象.|y解： ,0|yx根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:【例 10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：6（1）5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元；（2）5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里的按 5 公里计算）.如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数
10、的图象.解：设票价为 元，里程为 公里，由题意可知，自变量 的取值范围是（0，20.yxx由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式： 2,05314,xy根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:双基淘宝 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1下列说法正确的是( )A函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B函数的定义域和值域可以是空集C函数的定义域和值域一定是数集D函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2下列说法中正确的为( )Ayf(x) 与 yf(t) 表示同一个函数Byf(x)与 yf(x 1)不可能是同一函数Cf(x)1 与 f(x)x 0 表示
11、同一函数D定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3下列函数完全相同的是( )Af(x) |x|，g(x )( )2xBf(x)|x|， g(x) x2Cf(x)|x|， g(x)x2x7Df(x) ，g(x) x 3x2 9x 34图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量 x，y 的对应关系，其中表示 y 是 x 的函数关系的有_5下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是函数的是( )AA 1,0,1，B0,1，f：A 中的数平方BA0,1 ，B1,0,1，f：A 中的数开方CAZ ，BQ，f：A 中的数取倒数DA R，B正实数，f：A 中的数取绝对值6. 下列两个函数是否表示同一
12、个函数（1） 2()|;()fxgt（2）24;fx（3） 24();()fxg（4） 2x7. 求下列函数的定义域（1） 5()|3xf（2） 12f8. 已知函数 的定义域为 ，求 的定义域.()fx(1,5()fx9. 求下列函数的值域 （1） 23,yxxR（2） 541（3） yx810已知 f(x) (xR 且 x1) ，g(x)x 22(xR )11 x(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 f(g(2)的值11已知函数 y (a0 且 a 为常数)在区间 (，1 上有意义，求实数 a 的取值范围ax 112画出下列函数的图象:（1） ()2,|2fxRx且（2） (,|3)
13、N且13已知二次函数 的图象过点 ， ，其对称轴为 ，求其解析式()fx(0,5)A(,0)B2x14. 已知 ，求 的解析式.2(1)f()fx15已知 ，求 的解析式.2()2)3fxfx()fx16已知 ，求 的值.,9()(4),xxff(15),7f17. 已知 ，求使得 成立的 的取值范围.21,0()xfx()1fxx18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨为每吨 1.80 元，当用水超过 4 吨，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户居民共缴水费 元，已知甲、乙两户的用水量分别为 、y 5x(吨).3x(1)求 关于 的函数；yx(2)若甲、乙两户该月共缴水费 26.40 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
