1、毕 业 论 文 （ 设 计 ）论文（设计）题目：经济学中蛛网模型的数学分析姓 名 王继刚 学 号 0916011010 院 系 数学与信息科学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2009 级 指导教师 崔光云 2013 年 04 月 20 日目 录摘 要 .1ABSTRACT .2第 1 章 蛛网模型研究的目的和意义 3第 2 章 西方经济学中蛛网模型的基本理论 42.1 蛛网模型的介绍 42.2 蛛网模型的分类 .4第 3 章 蛛网模型的数学分析 83.1 连续时间下的蛛网模型的数学分析 .83.2 离散时间下的蛛网模型的数学分析 103.3 模型中核心变量 的实际意义 15、第 4 章 蛛
2、网模型的优化 .174.1 优化后的蛛网模型 174.2 分析优化后模型的稳定性 18第 5 章 蛛网模型的应用 .225.1 2007 年-2010 年新乡市房地产供需情况的描述分析 .225.2 蛛网模型在新乡市房地产市场中的应用 .245.3 国家宏观调控手段 26第 6 章 总结 .28参考文献 29致 谢 30新乡学院本科毕业论文（设计）1摘 要蛛网模型是动态经济分析中的经典模型，运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况。 本文比较全面地介绍了蛛网模型的各种类型。在传统线性模型的假定下，蛛网理论可以描述为蛛网模型中的收敛、发散和闭合三种运动类型。运用差分的
3、方法，本文对传统蛛网模型的价格均衡点及其收敛性进行数学论证和分析，并详细地解释了蛛网模型中核心参数的意义。房地产市场一直以来备受人们关注，房地产市场的供求机制及其价格变动更是其核心问题。本文运用蛛网模型对新乡房地产进行研究，选取了2007-2012年的房地产数据，建立了需求函数、供应函数、供需平衡方程来分析市场供求对价格的影响。关键词 ：蛛网模型；供求关系；房地产价格；动态分析新乡学院本科毕业论文（设计）2ABSTRACTCobweb model is the classical model in Dynamics economics. It uses the elasticity theor
4、y to explain the different fluctuations of prices of goods with long productive period when the supply-and-demand lost balance. In this paper, there is a relatively comprehensive introduction of various Cobweb model. Under the hypothesis of classical linear model, the Cobweb model can explain three
5、types: the convergent Cobweb model, the divergent Cobweb model and the closed Cobweb model. it shows the derivation and analysis of the price equilibrium point and the convergence of the Cobweb model, by the method of difference. Also, in detailed, the passage explains the meaning of the core parame
6、ters in the Cobweb model. Real estate market is being focused by people all the time. Its essential issue always concentrated on its supply and demand mechanism and the price fluctuation. the paper describes and analyzes the fact analysis for the supply and demand of xinxiang real estate market with
7、 the data collected from 2007 to 2012. From the result, the paper draws the conclusion that the Guangzhou real estate market is not stable and has periodical fluctuation.Key words: Cobweb model；supply and demand mechanism ；real estate price；dynamic analysis 新乡学院本科毕业论文（设计）3第1章 研究蛛网模型的目的和意义在高鸿业的西方经济学（
8、微观部分）第四版中，蛛网模型是这样定义的：蛛网模型引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如农产品、畜牧产品这类生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的时机波动过程及其结果。但这个模型还是一个很简单的和有缺陷的模型。本文的研究目的就是通过对传统蛛网模型进行多次改进，使蛛网模型在经济领域的运用与实际情况更加的吻合。房地产产品的长期生产周期，较符合蛛网模型的条件，运用蛛网模型分析房地产市场具有适用性。本文将运用经济学供求理论中的蛛网模型分析新乡房地产市场的规律和特征 1。新乡学院本科毕业论文（设计）4第 2 章 西方经济学中
9、蛛网模型的基本理论2.1 蛛网模型的介绍蛛网模型又称蛛网理论，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是利用市场均衡状态分析的一种理论模型。蛛网理论是 20 世纪 30 年代出现的一种关于动态均衡分析法。许多商品特别是某些生产周期较长的商品，它们的市场价格、数量会随时间的变化而发生变化，呈现时涨是时跌、时增时减交替变化的规律。1930 年美国的舒尔茨、荷兰的丁伯根和意大利的里奇各自独立提出，由于价格和产量的连续变动用图形表示犹如蛛网，1934 年英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论命名为蛛网理论。蛛网模型理论是在现实生活中应用较多较广泛的动态经济模型，它在一定的范围内揭示了经济
10、的规律，对实践具有一定的指导作用。根据产品需求弹性与供给弹性的不同关系，将波动情况分成三种类型：收敛型蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网。近年来，许多学者对经典的蛛网模型进行了广泛的研究并做了一些改进，建立了更符合实际经济意义的蛛网模型。这些研究中，对蛛网模型的的假设基本上是基于单一商品市场上，将时间离散后，从差分方程的角度入手，研究蛛网模型的稳定性，得到了蛛网模型稳定的条件。价格是影响商品需求量、供给量的重要因素，但并非唯一因素，例如人们对某种商品的需求量不仅与商品的价格有关，也与当期人们的可支配收入有关；另外，由于市场信息的滞后作用，生产者在进行市场价格与供给预测时，不仅会考虑前一期的价格，还会
11、考虑前几期甚至更长一段时间商品价格的综合趋势，所以分析时滞效应的非均衡蛛网模型更具有实际意义。本文建立了蛛网理论的数学模型，给出了相应的数学分析与论证，使蛛网模型有了一个更加完备的理论基础，并且蛛网模型的分析提供了新的思路 1。2.2 蛛网模型的分类新乡学院本科毕业论文（设计）5蛛网模型考察的是生产时周期较长的商品。蛛网膜型的基本假定 1是：商品的本期产量 由前一期的价格 决定，即供给函数为 ，商品本期的需求stQ1tP)(1tstPfQ量 ，由本期的价格 决定，即需求函数为 ， 、 、 、 分别表dt t )tdtgttdtstQ示 时刻的价格、数量、需求量、供给量。 蛛网模型是一个动态模型
12、，它分析了商品的价格和产量波动的三种情况：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”。在此利用图解法来加以说明。2.2.1 收敛型蛛网第一种情况：相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会恢复到原来的均衡点。相应的蛛网称为“收敛型蛛网” 1。见图2-1假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平 减少为 。 根据需求曲线，消费者愿意支付 的价格购买全部产量 ，eQ1 1p1Q于是实际价格上升为 。根据第一期较高的价格水平 ，按照供给
13、曲线，生产者将p第二期价格 ，于是实际价格下降为 。根据第二期较低的价格 ,生产者将第三2 2p2期的产量减少为 ；在第三期，消费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是3Q3 3Q实际价格上升为 。根据第三期的较高的价格 ，生产者又将第四期的产量调整为p。 4新乡学院本科毕业论文（设计）6图2-1 封闭性蛛网模型如此循环下去，实际价格和实际产量的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点所代表的水平。由此可见，图中均衡点 状态是稳定的。也就是说，由于外在的EE原因，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态 时，经济体系中存在着自发eQP、的因素，能使价格和产量自动的恢复均衡状态。在图 中，产量与价格变化的
14、路径2-1就形成了一个蜘蛛网似的图形，这也就是蛛网模型名称的由来。从图 中可以看到,当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时，2-1即供给曲线比需求曲线较为陡峭时,才能得到蛛网稳定的结果,相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”。2.2.2 发散型蛛网第二种情况：相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值。当市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，最后会偏离原来的均衡点，相应的蛛网称为“发散型蛛网” 1。见图2-2图2-2 发散性蛛网模型假定在第一期由于某种原因的干扰，实际产量由均衡水平 减少为 。 根据需eQ1求曲
15、线，消费者愿意支付价格 购买全部产量 ，于是实际价格上升为 ，根据1p1 p第一期较高的价格水平 ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为 ；在第2二期，生产者为了出售全部产量 ，接受消费者支付的价格 ，于是实际价格下降2Q2新乡学院本科毕业论文（设计）7为 ， 根据第二期较低的价格 ,生产者将第三期的产量减少为 ；在第三期，消2p2p3Q费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是实际价格又上升为 ；根据第三期3 3Qp的较高的价格 ，生产者又将第四期的产量调整为 。4如此循环下去，实际价格和实际产量的波动幅度越来越大，最后偏离均衡点所代表的水平。由此可见，图中均衡点 所代表的均衡状态是不稳
16、定的。EE从图 可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的2-绝对值时，即相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果。所以供求曲线的上述关系是蛛网不稳定的条件，相应的蛛网称为“发散型蛛网”。2.2.3 封闭型蛛网第三种情况：相对于价格轴，当需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会按照同一幅度围绕均衡水平上下波动，既不偏离，也不趋向均衡点，相应的蛛网称为“封闭型蛛网” 1。见图2-3不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似，故略。从图 可看出，2-3当相对于价格轴，需求曲
17、线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，供求曲线具有相同的陡峭与平缓程度时，蛛网以相同的幅度上下波动，相应的蛛网称为“封闭型蛛网”。图2-3 封闭型蛛网新乡学院本科毕业论文（设计）8第3章 蛛网模型的数学分析3.1 连续时间下的蛛网模型的数学分析在连续时间的条件下,建立起微分方程形式的蛛网模型,研究蛛网模型的稳定性,并对模型结果进行了经济解释。我们考虑基于单一商品的市场的蛛网模型，并假设:时间是连续变量,价格、商品数量随时间连续变化。设某商品价格是时间 的函数 ，供给量 由供给函数 决定,记tptSSfp做 。供给是由多种因素决定的 , 这里我们略去价格以外的因素, 只讨
18、论供给与tS价格的关系。考虑到商品生产者对商品信息了解到商品价格的调节有个时间滞后，假定供给是某一时期价格 的线性函数:pt0Stpt， 1其中, 、 是大于零的常数, 可表示商品的边际供给量。0S，在传统的蛛网理论中，需求是价格的函数，价格作为影响需求的唯一因素，这对正确反映商品价格变化规律具有一定局限性，为更好的反映商品价格变化过程，考虑影响需求的其他因素如价格上涨等。假设需求与价格及价格的上涨率都有关系，需求与价格、价格上涨率负相关.为此建立的需求函数为：0.dPDttt2其中, 、 是大于零的常数， 表示商品的边际需求量。 的大小反映了商品需0D求对价格上涨率的依赖程度。需求量与供给量
19、之差 称为过量需求，即需求大于供给的部分。供给者时S新乡学院本科毕业论文（设计）9刻都在确定价格 ，根据商品市场在正常的情况下, 商品供需的变化引起价格的tP变动, 价格的涨速与第 段时间过剩的需求正相关, 即00,tdpDSuSdt 3所以有2.tdt 其中， 为价格的调节系数 , 反映价格依据超额需求的变动而进行调节时的调整0速度和幅度的度量参数。将 式、 式代入 式可得1232 0.dpptptDStt4在 式中，令 ， ，则有4()txyt0, 5.dtytxtxtDS当 时，系统 有唯一平衡点 .当需求量等于供给量，即市场出清0DS50,DS时的价格为均衡价格，即 为均衡价格。0_p
20、系统 在 处线性近似系统为：50,S,+.dutvAtButCvtt 6其中， 系统 的特征方程为：,ABC620.tAeB7新乡学院本科毕业论文（设计）10令 ， 式可化为 ，zt72+=0zzmne其中， ， ， .记 ，mCtnAt2Bt2, +zHzhtzmne显然 具有主项 。2,hzz令 ,则+HiFiG2cosin,Fnmi+.由于函数 的所有零点都是实数，2si+csGnm又因为，20,则对于 的每一个零点 都有不等式 成立：GkkkFG如果 ， ，那么系统 的平衡点 是局部渐进20,50,DS稳定的。通过对系统 的分析,可得到如下结论:如果边际商品供给小于边际商品需求，5边际
21、商品需求不大于 ,并且商品需求对商品价格上涨率的依赖程度 满足一定条2 件,那么无论时滞 多么大,商品价格随着时间的变化 ,稳定的趋于均衡价格t。也就是说，无论供给者从了解商品需求到调控生产量的时间滞后有多_0DSp长，对价格的调整有多么不同,只要这些调控的幅度不是很大,商品的价格总是能够回到使供需相等的均衡价格水平；反之，如果边际商品供给大于边际商品需求,边际商品需求不大于 ,当时滞 取一定值时，系统会出现 分支,也就是说,价格2tHopf会围绕均衡价格上下波动，而且商品的价格最终不能回到均衡价格 13 。3.2 离散时间下的蛛网模型的数学分析新乡学院本科毕业论文（设计）11最简单的市场经济
22、模型是单一商品市场模型,在时间离散化后的条件下，假设商品的供给量、需求量,只与该商品的价格有关,由需求量等于供给量建立的方程,即均衡方程,求得其解即是均衡价格。若进一步假定需求、供给是价格的线性函数,可以得到传统线性蛛网模型。最后在需求、供给是价格的非线性函数的条件下,可以得到非线性蛛网模型。3.2.1 蛛网模型的线性分析由蛛网模型的基本假设条件,本期的需求量是本期价格的线性函数，即, 表示商品价格减少 个单位时需求量的上涨幅度；而本期的供给量ttPQd 1是由上一期的价格决定的,为上一期价格的线性函数,即 ， 表示商1sttPQ品价格增加 个单位时供给量的上涨幅度。1该模型可以用以下三个联立
23、的方程式来表示：d,ttQP 8s1tt 9ds.tt 10式中， 、 均为常数，且均大于零。 为第 期的需求量, 为第 期的供、和 dtQstQ给量, 为第 期的价格, 为第 期的价格 1。tP1tPt将前面的 式和 式代入 式可得8901-.ttP 1由此可得第 期的产品价格为t 232211tttttPPP新乡学院本科毕业论文（设计）122101t tP 01tt0.t tP 12又因为在市场均衡时，均衡价格为 ,所以，由 式可得均衡价格为1tteP1e 13均衡价格是一种理想状态，即在此价格水平下，每个人的需求都得到满足，而且不会有商品卖不出去。将 式代入 式可得132etetett
24、PP)(100 143.2.2 蛛网模型三种情况分析第一种情况，当 时 ,若 ,则 。这说明 ,价格 随着时间的推移,其t1etPtP波动幅度愈来愈小,最终趋向于均衡价格 。事实上,此时因需求弹性, ,e deP供给弹性 ,当 时,可推得 ,即供给弹性的绝对值小于需求弹性sPe1ds的绝对值，蛛网模型是收敛的.在收敛性蛛网中,价格变动引起的需求量变动大于价格变动引起的供给量的变动,因而任何超额需求或超额供给只需较小的价格变动即可消除.同时价格变动引起的下一期供给量的变动较小,从而对当期价格发生变动的作新乡学院本科毕业论文（设计）13用较小,这意味着超额需求或超额供给偏离其均衡量的幅度以及每期成
25、交价格偏离均衡价格的幅度,在时间序列中将是逐渐缩减的,并最终趋向其均衡产量 和均衡价格eQ。eP第二种情况,当 时,若 则 。这说明,需求曲线斜率的绝对值(t1， tP)小于供给曲线斜率的绝对值( )时,或供给弹性较大而需求弹性较小时 ,市场价格将振荡至无穷大,蛛网模型是发散的。在发散型蛛网中,价格变动引起的供给量的变动大于价格变动引起的需求量的变动。当出现超额供给时,为使市场上供给者卖出所有的产品,要求价格大幅度下跌,这将会导致下一期的供给量减少,以致该期出现大量的供给短缺,供给的严重不足导致价格大幅度上扬,由此导致下一期供给量大幅度增加和价格大幅度下跌。在这种情况下,一旦失去均衡,以后各期
26、的供给过剩或短缺的波动幅度以及成交价格波动的幅度,都将离均衡价格 越来越远。eP第三种情况,当 时，若 ，则为常数.这说明,相对于价格轴,需求曲线t1斜率的绝对值( )等于供给曲线斜率的绝对值( )时,即市场价格一旦偏离均衡状态,则以后各期的价格及产量的变动序列就表现为围绕均衡值循环往复地上下振荡,既不进一步偏离,又不进一步逼近均衡价格 。这就是“封闭型蛛网”的情形。eP从上面的讨论，我们可以看出，均衡点最终能否趋于稳定状态关系到该模型的分类，因此我们有必要对均衡点趋于稳定的条件作进一步讨论 1。3.2.3 蛛网模型的非线性分析记第 时段商品的数量为 ,价格为 ,自然数 表示时段, 。这里把时
27、间t txtyt,21t离散化为时段,每个时段相当于商品的一个生产周期,蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。价格与产量紧密相关，可以用一个确定的关系来表现，即设 该函数反映消费者对这种商品的需求关系，称为商品数量越多 ,格就越.ttyfx低，所以 是单调递减函数。因此用一条下降曲线 表示它 ,称为需求曲线。又假设f下一个时段的产量 是生产者根据上一时期的价格决定的，即设 该函1tx 1.ttxgy新乡学院本科毕业论文（设计）14数反映生产者的供应关系,品的价格越高,供给量就越大, 是单调增加函数。用一条g上升曲线 表示它， 称为供给曲线。g为了表现出 和 的变化过程,我们可以借助已
28、有的函数 和 ,当供需相等时,txty f如图 所示求函数 与供给函数 相交于 , 即是市场出清的均衡状态。1-3fg0yxP图3-1 需求函数与供给函数在进行市场经济分析时， 取决于消费者对某种商品的需求程度和消费水平等f因素， 取决于生产者的生产、经营等能力，当知道具体的需求函数与消费函数时，g可以根据 、 曲线的具体性质来判定在平衡点 的稳定性。一旦需求曲线f 0,yxP和供应曲线确定下来, 商品数量和价格是否趋向稳定状态, 就完全有这两条曲线在平衡点 附近的形状决定 。 建立差分方程：0,yxPttxfy15ttg1 6设 点满足： ， ,设 ， 在0,yxP0xfy0y0fx0.gy
29、点附近取 、 的一阶泰勒展式，线性近似为0,fg00xytt 17新乡学院本科毕业论文（设计）15001yxtt 18合并 、 两式，并消去 可得178ty10.ttxx9上式是关于 的一阶线性差分方程，它是原来方程的近似模型，这是客观实际问题tx的近似模拟，解这个一阶线性差分方程得： 10 21 01 021 0010- 11.ttt tt tt ttxxxxxx 由此可得,当 时, ,即 点稳定条件是 ,即 ，需求曲txt0,yP1线 在点 的切线斜率绝对值小于供给曲线 在该点的切线斜率绝对值；反f0,yxPg之， 点不稳定的条件是 ,即 ，需求曲线 在点 的切线0, 1f0,Pyx斜率绝
30、对值大于供给曲线 在该点的切线斜率绝对值。g这个非线性分析使传统的线性蛛网模型的分析有了进一步的推广。西方经济学家认为，蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型,对理解某些行业产品的价格和产量的波动提供了一种思路。但是，这个模型还是一个很简单的和有缺陷的模型。实际上在大多数情况下, 商品生产数量并不只是根据前一时期的价格决定的,具有相当管理经验的生产经营者在决定产品数量 时不会仅仅只参考前一期的价格 ,可能还会对更前几期的价1tQtP格做一定的比较和分析,尤其像生产者始终只是简单地把上一期价格作为本期价格预期并以此作为决定产量的依据，这种非理性假
31、设与现实是极不相符的 4。3.3 模型中核心变量 的实际意义、新乡学院本科毕业论文（设计）16(1)需求函数 的斜率 （取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上dtQ涨幅度；供给曲线 的斜率 表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应的增加st量.因此， 的数值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购的状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么， 就会比较大；反之，若这种商品为非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则 较小。(2)供给曲线的斜率 表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应的增加量。的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果
32、他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么， 就会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则 会较小 5。新乡学院本科毕业论文（设计）17第4章 蛛网模型的优化西方经济学家认为，蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型还是存在着一定的缺陷，需要优化。4.1 优化后的蛛网模型一般地需求不仅与价格有关，还与人们现期的可支配收入有关，当然还与其他的因素有关。现在加以改进，需求一般与价格反向变动,与收入同方向变动（至少对正常商品如此），故 时刻商品的需求可设为：t,tttDmP0.20式中， 代表除货币以
33、外的其他所有可能引起需求变动的因素。为了简化推导，是货币收入和价格水平取了对数以后的值，因而 等价于实际货币收入Pm、 量 的对数 ,参数 代表需求量对实际货币收入 的反应系数。P在实际生活中，由于市场的不完全信息，或者获取信息的成本过大，生产者并不能准确地知道价格水平 ，而只能对此加以估计，今用 表示产品供给者对价格Pe水平的估计，根据供求法则，一般产品的供给与价格同方向变动，则 时刻商品的供t给函数可设为：e,ttSP0.21接下来的问题是，生产者如何对价格水平加以估计? 假设做出经济决策的经济主体是理性预期者，为了追求最大利益，他们总是力求对未来做出准确的预期，且在预期时不会犯系统性错误
34、，人们对价格的变动采取适应性方式, 即根据价格的波动来修正自己对未来价格的预期，经济主体会随时随地根据得到的信息来修正预期的错误，当预期值高于正确值时，它会降低预期值；当预期值低于正确值时，它会提高预期值。但预期价格和实际价格往往不一致，从而供给者会根据前一期的实际新乡学院本科毕业论文（设计）18价格 和预期价格 的差 来调整当期的价格预期 ，产品供给者对当1tPe1tPe1tt etP期价格水平的估计可用下述方程表示为eet11t,ttbP01.b2式中， 分别为第 期和第 期预期价格，产品供给者对 时期价格的估计由e1ttP、 t两部分组成：一部分是上一期的价格预期 ；另一部分是生产者根据
35、经验对前期价e1t格的调整， 为调整系数.上式说明预期价格的变化值等于上期实际价格与上期预期b价格的一定比例。上式也可以更具体地表示为eet1t1,tPbP0.b2即 时期的预期价格 等于 期实际价格 与 期预期价格 的加权平均数，tet t e1tP这是对蛛网模型的进一步改进。最后要想使市场保持供需平衡的出清状态，必须满足条件为.ttDS23由此建立的数学模型，可用下边四个联立的方程表示为t ,ttmP4ettS 25,ttD6eet11t.ttPbP7式中， 均为常数，且均大于零， 为常数 6。、 和4.2 分析优化后模型的稳定性由 式、 式、 式得23425te .ttmPP 28将其代
36、入 式得20新乡学院本科毕业论文（设计）19t111t-11.ttttt tttmPmPb 当 给定时，上式整理得、 1+.t tbpp这是一个一阶差分方程.解这个差分方程可得其特征方程0,b .b对应齐次方程的通解为 用算子法易求得非齐次t-,tbPC.C为 任 意 常 数方程的特解为故该差分方程的通解为.tmt1.ttbmPC不难看出 有两部分构成：一部分为系统的长期均衡, 并等同于蛛网模型中的t均衡价格, 另一部分为系统的动态特征, 该模型的稳定性条件为，当 时，t时，即满足 该蛛网模型稳定的均衡价格为1blim0.ttbe.mP下面我们分析上式的经济学意义。当 时，即 的实际价格小于预
37、期价格时，产品供给者“吃一堑，0e1tt 1t长一智” ，在前期预期价格的基础上做出 期的预期价格 使得 。其中tetPe1tt为调节系数，这取决于供给者的信心系数， 越大，产品当期预期价格比前期0b b预期价格调整越大，则当期的供给越多。同理，当 时，即 的实际价格大于预期价格时，供给者调整当0e1ttP1t新乡学院本科毕业论文（设计）20期预期价格，使得 ，表明当期预期价格下降，供给减少。e1ttP下面具体讨论的各种情形:（1）当 即 时， 呈非摆动性收敛；0bb0tP（2）当 时， 保持在均衡价格 上；tPme（3）当 即 时， 呈摆动性收敛；01b2btP（4）当 时， 呈均衡摆动，但
38、无均衡价格；2tP（5）当 时， 呈摆动性发散，无均衡价格。bt综上所述，当 时， 收敛，有均衡价格。再进一步，假设第三期预20tP期价格 不仅与 期的实际价格有关，而且与 期实际价格有关,设第 期的预etP1t 2t t期价格为 期的价格加上 期与 期价格差的一定比例, 即 t2tet1t1.ttPP 29其中 为平滑系数，且 ，不难看出, 当 时, ,上述模型变为传001ett统蛛网模型。上式也可以表示为：et2t1,tPP.29即 时期的预期价格等于上 期实际价格与 期实际价格的加权平均，这是对传t 1统蛛网模型的再一次改进。由此建立的数学模型，可用下边四个联立的方程表示为：t ,ttD
39、mP30ettS 1,tt 2新乡学院本科毕业论文（设计）21et12t1.ttPP 3式中， 、 均为常数，且均大于零， 为常数，且 。、和 10当 给定时，由 、 、 、 整理得m、30312.tttmPP这是一个二阶差分方程.其特征方程是2 0.记该特征方程的特征根为 ，不难验证该方程的通解可表为,1i2.tttPcP其中，常数 可由初始条件确定，常数 是该差分方程的特解。21c、 由差分方程稳定性理论的 判据可知,二阶常系数线性差分方程存在渐近稳Jury定均衡点的充分必要条件是：其所对应齐次方程的特征方程的特征根满足 ，1i就能得到 点稳定的条件 68 。0P新乡学院本科毕业论文（设计
40、）22第5章 蛛网模型的应用房地产行业对于国民经济发展和带动上下游产业链具有重大的影响和意义，房地产价格的稳定是房地产市场健康发展的重要标志，房地产价格的稳定与国家经济正常运行密不可分。所以，正确判断房地产价格是否稳定具有重要的理论和实际意义。目前，随着我国社会主义市场经济的确立，城市房地产价格的市场形成机制不断完善，同时房地产市场基本以住房消费为主导，供求关系是影响房地产价格的最基本因素，从而运用蛛网模型判断住宅价格稳定性的客观条件日趋成熟。21世纪后，我国房地产经历了快速增长，2008年下半年以后的低迷，到2009年在国家大力调控下的复苏，再到现在国内城市房价的居高不下的发展过程。而新乡房
41、地产市场的状况如何呢？下面根据新乡房地产市场2007年-2010年的房地产价格数据 912 ，应用蛛网模型对其稳定性进行深入分析。5.1 2007年-2010年新乡市房地产供需情况的描述分析表5-1 新乡市2007-2010年房地产市场数据统计房产市场情况2007年 2008年 2009年 2010年投放面积（万 ）2m127.66 226.94 212.56 278.71销售面积（万 ）2135.66 104.43 194.67 248.22平均价格（元/ ）2m1846 2123 2460 3174由表5-1可以得到新乡市2007-2010年房地产投放面积、销售面积和平均价格的变化趋势图新
42、乡学院本科毕业论文（设计）230501001502002503002007 2008 2009 2010图5-1-1 投放面积表0501001502002503002007 2008 2009 2010图5-1-2 销售面积表05001000150020002500300035002007 2008 2009 2010图5-1-3 平均价格表新乡学院本科毕业论文（设计）245.1.1 四年房地产供销量发展趋势对比由图5-1-1和图5-1-2对比知2008年至2010年投放量 1012 呈“跳跃式”增长，这三年投放增幅分别为31.44% 、-6.34% 、 31.12%；2008年至2010年销
43、售量呈“先抑后仰”发展趋势，这三年销售增幅分别为-23.02% 、86.41%、27.50%，其中2010年增长缓慢。5.1.2 四年房地产销售均价与销售面积发展趋势对比由图5-1-2和图5-1-3对比知2008年至2010年销售均价逐年增加，增幅分别为15.01%、15.87%、18.74%，销售量增幅分别为-23.02%、86.41%、27.50%，由此可见，2010年价格增长呈放大趋势，而同年销售量的增长则呈放慢趋势。5.2 蛛网模型在新乡市房地产市场中的应用各项刺激和优惠措施出台后,进入 2009 年以来,房地产市场在前期强有力的政策调控下,人们的购买欲被释放,各地的房地产市场都在不同
44、程度上出现了成交量回升、价格上涨的局面。2011 年新乡市房产投放面积 306.19 万平方米，销售面积 240.98万平方米，销售均价为 3124 元/平方米 13。2012 新乡市场房地产新房投放面积379.49 万平方米，销售面积为 293.20 万平方米，销售均价为 3231 元/平方米 14。利用新乡市 2007 年-2010 年房产数据统计，选用当年新乡房产销售面积作为当年房产市场的需求量，选用当年销售均价作为本期价格，选用当年总投放面积作为本期房产市场供给量，以上一年房产销售平均价格作为本期的价格，建立新乡房地产市场的蛛网模型 15：运用最小二乘法 16对数据进行了线性回归。得到
45、回归方程如下：10.34.79sttQP2dtt新乡学院本科毕业论文（设计）25图 5-2 估计的新乡房地产供求关系可以看出，需求曲线不是向右下方倾斜，而是向右上方倾斜，房地产的价格和需求量成同方向变动，即需求量随着价格的增加而增加。这与一般商品的需求量随着价格的增加而减少完全相反。此时新乡房地产供求关系见图 5-2。由此供求关系决定的均衡点为 ， 。由于供给曲线的斜率大于需求曲线839.16eP154.63dsttQ的斜率，因此这样的价格传导机制是一种正反馈的发散机制。在这样的系统中，对均衡点的偏离，将随着时间的推移带来越来越大的振荡，供求关系越来越不稳定。这样的一种机制保持下去，有可能造成
46、市场供求关系的崩溃，将严重损害消费者和供应商的利益。利用上述模型，根据 2012 年的房地产数据来推测 2013 年的房地产价格：由 得132,tP10.34.79sttQP;467.2dsttQ又有 得：.7.2dtt 358.tP即 2013 年新乡房地产的价格估计为 3582.45 元/平方米。根据模型和已经估计出的房地产价格 ，我们可以依次的推出 2014 年、2015 年、2016 年新乡的房地产价格： 2014398P5从蛛网模型的分析结果来看，新乡房地产市场供求关系的价格传导机制并不稳定，或者说是处于一种不稳定的动态均衡中。在其他条件不变的情况下，任何偏离市场均衡的供求波动将随着时间的推移造成更大的波动，供求关系会更加的不稳定。供求关系的不稳定某种程度上表明新乡房地产市场存在一定程度的泡沫。此模型不仅可以应用于新乡的房地产市场，对新乡房地产的价格进行估计，
