1、1第 22 练 解三角形明考情高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的 17 题位置.知考向1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017天津)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 asin A4 bsin B， ac (a2
2、 b2 c2).5(1)求 cos A 的值；(2)求 sin(2B A)的值.解 (1)由 asin A4 bsin B 及 ，得 a2 b.asin A bsin B由 ac (a2 b2 c2)及余弦定理，得52cos A .b2 c2 a22bc 55acac 55(2)由(1)，可得 sin A ，代入 asin A4 bsin B，255得 sin B .asin A4b 55由(1)知， A 为钝角，所以 cos B .1 sin2B255于是 sin 2B2sin Bcos B ，cos 2 B12sin 2B ，45 35故 sin(2B A)sin 2 Bcos Acos
3、2 Bsin A .45 ( 55) 35 255 2552.如图，在 ABC 中， ABC90， AB ， BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90.3(1)若 PB ，求 PA；12(2)若 APB150，求 tan PBA.解 (1)由已知得 PBC60， PBA30.在 PBA 中，由余弦定理，得 PA23 2 cos 30 ，14 3 12 74 PA .72(2)设 PBA ，由已知得 PBsin ，在 PBA 中，由正弦定理得 ，3sin 150 sin sin30 化简得 cos 4sin ，故 tan ，即 tan PBA .334 343.在 ABC 中， a， b，
4、 c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 .1a b 1a c 3a b c(1)求角 A 的大小；(2)若 ， a ，求 b 的值.cb 12 3 15解 (1)由题意，可得 3，即 1，a b ca b a b ca c ca b ba c整理得 b2 c2 a2 bc，3由余弦定理知，cos A ，b2 c2 a22bc 12因为 0 A，所以 A . 3(2)根据正弦定理，得 cos Acb sin Csin B sin A Bsin B sin Acos B cos Asin Bsin B sin Atan B ，32tan B 12 12 3解得 tan B ，所以 sin B
5、 .12 55由正弦定理得， b 2.asin Bsin A1555324.设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bsin A acos B.3(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，sin C2sin A，求 a， c 的值.解 (1) bsin A acos B，3由正弦定理得 sin Bsin A sin Acos B.3在 ABC 中，sin A0，即得 tan B .3 B(0，)， B . 3(2)sin C2sin A，由正弦定理得 c2 a，由余弦定理 b2 a2 c22 accos B，即 9 a24 a22 a2acos ， 3解得 a ，
6、c2 a2 .3 3考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B bcos A) c.(1)求角 C 的大小；4(2)若 c ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长.7332解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csi
7、n(A B)sin C，故 2sin Ccos Csin C.因为 0 C，所以 cos C ，所以 C .12 3(2)由已知， absin C ，又 C ，所以 ab6，由已知及余弦定理得，12 332 3a2 b22 abcos C7，故 a2 b213，从而( a b)225，可得 a b5.所以 ABC 的周长为 5 .76.在 ABC 中，已知 C ，向量 m(sin A， 1)， n(1，cos B)，且 m n. 6(1)求 A 的大小；(2)若点 D 在边 BC 上，且 3 ， AD ，求 ABC 的面积.BD BC 13解 (1)由题意知 mnsin Acos B0，又 C
8、 ， A B C，所以 sin Acos 0. 6 (56 A)所以 sin A cos A sin A0，即 sin 0.32 12 (A 6)又 0 A ，所以 A ，56 6 ( 6， 23)所以 A 0，即 A . 6 6(2)设| | x，由 3 ，得| |3 x，BD BD BC BC 由(1)知， A C ，所以| |3 x， B . 6 BA 23在 ABD 中，由余弦定理，得( )2(3 x)2 x223 xxcos ，1323解得 x1，所以 AB BC3，所以 S ABC BABCsin B 33sin .12 12 23 9347.(2017全国) ABC 的内角 A，
9、 B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .B(1)求 cos B 的值；(2)若 a c6， ABC 面积为 2，求 b.解 (1)由题设及 A B C，得 sin B8sin 2 ，B故 sin B4(1cos B).5上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)或 cos B .1517故 cos B .1517(2)由 cos B ，得 sin B ，1517 817故 S ABC acsin B ac.12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6，得 b2 a2 c22 accos
10、B( a c)22 ac(1cos B)362 4.172 (1 1517)所以 b2.8.(2017延边州一模)已知函数 f(x)sin 2x sin 2( x 6)，函数 f(x)的图象关于直线 x 对称.(x R， 为 常 数 且12 1)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a1， f ，求 ABC 面积的(35A) 14最大值.解 (1) f(x) cos 2x cos cos 2x12 12 12 12cos(2 x 3) 12 (2 x 3) 12 cos 2 x sin 2 x sin .14 34 12
11、 (2 x 6)令 2 x k，解得 x ， kZ. 6 2 3 k2 f(x)的对称轴为 x ， kZ.3 k2令 ，3 k2解得 ， kZ.2 3k6 1，126当 k1 时， ，56 f(x) sin .12 (53x 6) f(x)的最小正周期 T .253 65(2) f sin ，(35A) 12 (A 6) 14sin .(A 6) 12 A . 3由余弦定理得，cos A ，b2 c2 a22bc b2 c2 12bc 12 b2 c2 bc12 bc， bc1. S ABC bcsin A bc ，12 34 34 ABC 面积的最大值是 .34考点三 解三角形的综合问题方法
12、技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017天津)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知ab， a5， c6，sin B .35(1)求 b 和 sin A 的值；(2)求 sin 的值.(2A 4)解 (1)在 ABC 中，因为 ab，所以由 sin B ，得 cos B .35 45由已知及余弦定理，得 b2 a2 c22 accos B13，所以
13、 b .137由正弦定理 ，asin A bsin B得 sin A .asin Bb 31313所以 b 的值为 ，sin A 的值为 .1331313(2)由(1)及 ac，得 cos A ，21313所以 sin 2A2sin Acos A ，cos 2 A12sin 2A .1213 513所以 sin sin 2 Acos cos 2 Asin .(2A 4) 4 4 722610. ABC 的三个角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，1 .tan Atan B 2c3b(1)求角 A 的大小；(2)若 ABC 为锐角三角形，求函数 y2sin 2B2sin Bcos
14、C 的取值范围.解 (1)因为 1 ，所以由正弦定理，得 1 .tan Atan B 2c3b sin Acos Bcos Asin B sin A Bcos Asin B 2sin C3sin B因为 A B C，所以 sin(A B)sin C，所以 ，因为 sin C0，sin B0，sin Ccos Asin B 2sin C3sin B所以 cos A ，故 A .32 6(2)因为 A B C， A ，所以 B C . 6 56所以 y2sin 2B2sin Bcos C1cos 2 B2sin Bcos(56 B)1cos 2 B sin Bcos Bsin 2B1cos 2 B
15、 sin 2B cos 2B332 12 12 sin 2B cos 2Bsin .12 32 12 (2B 6) 12又 ABC 为锐角三角形，所以 B 2 B ， 3 2 2 6 56所以 ysin .(2B 6) 12 (1， 32)故函数 y2sin 2B2sin Bcos C 的取值范围是 .(1，32)811.(2017咸阳二模)设函数 f(x)sin xcos xsin 2 (xR)，(x 4)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f 0， c2，求 ABC 面积(C2)的最大值.解 (1)函数 f(x)
16、sin xcos xsin 2 (xR).(x 4)化简可得 f(x) sin 2x sin 2 x .12 121 cos(2x 2) 12令 2k 2 x2 k (kZ)， 2 2则 k x k (kZ)， 4 4即 f(x)的递增区间为 (kZ).k 4， k 4令 2k 2 x2 k (kZ)， 2 32则 k x k (kZ)， 4 34即 f(x)的递减区间为 (kZ).k 4， k 34(2)由 f 0，得 sin C ，(C2) 12又因为 ABC 是锐角三角形，所以 C . 6由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C，将 c2， C 代入得 4 a2 b2 ab， 6
17、 3由基本不等式得 a2 b24 ab2 ab，即 ab4(2 )，3 3所以 S ABC absin C 4(2 ) 2 ，12 12 3 12 3即 ABC 面积的最大值为 2 .312.在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 m(2 a c，cos C)， n( b，cos B)， m n.(1)求角 B 的大小；(2)若 b1，当 ABC 的面积取得最大值时，求 ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2 a c)cos B bcos C，结合正弦定理可得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，即 2sin Acos Bsin( B
18、 C)，9又 sin Asin( B C)0，所以 cos B ，12所以 B . 3(2)由(1)得 B ，又 b1，在 ABC 中， b2 a2 c22 accos B， 3所以 12 a2 c2 ac，即 13 ac( a c)2.又( a c)24 ac，所以 13 ac4 ac，即 ac1，当且仅当 a c1 时取等号.从而 S ABC acsin B ac ，当且仅当 a c1 时， S ABC取得最大值 .12 34 34 34设 ABC 内切圆的半径为 r，由 S ABC (a b c)r，得 r .12 36例 (12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a
19、， b， c，向量 m( a b，sin Asin C)，向量 n( c，sin Asin B)，且 m n.(1)求角 B 的大小；(2)设 BC 的中点为 D，且 AD ，求 a2 c 的最大值及此时 ABC 的面积.3审题路线图 向 量 m n 边 角 关 系 式 利 用 正 弦 定 理 转 化 ABC三 边 关 系 式 余 弦 定 理 求 得 角 B 引 进 变 量 设 角 用 表 示 a 2c目 标 函 数 辅 助 角 公 式 求 最 值 求 S ABC规范解答评分标准解 (1)因为 m n，所以( a b)(sin Asin B) c(sin Asin C)0，1 分由正弦定理，可
20、得( a b)(a b) c(a c)0，即 a2 c2 b2 ac. 3 分由余弦定理可知，cos B .因为 B(0，)，所以 B .5a2 c2 b22ac ac2ac 12 3分(2)设 BAD ，则在 BAD 中，由 B 可知， . 3 (0， 23)10由正弦定理及 AD ，有 2，3BDsin ABsin(23 ) 3sin 3所以 BD2sin ， AB2sin cos sin ，(23 ) 3所以 a2 BD4sin ， c AB cos sin ，83分从而 a2 c2 cos 6sin 4 sin .3 3 ( 6)由 可知， ，(0，23) 6 ( 6， 56)所以当
21、，即当 时， a2 c 取得最大值 4 .11 6 2 3 3分此时 a2 ， c ，所以 S ABC acsin B .3 312 33212 分构建答题模板第一步 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016山东)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2(tan Atan B) .tan Acos B tan Bcos A(1)证明： a b2 c；(2)求 cos C 的最小值.(1)证明 由题意知，2 .(sin Acos A sin Bcos B) sin Acos Acos B sin Bcos Acos B化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即 2sin(A B)sin Asin B，因为 A B C，所以 sin(A B)sin( C)sin C，从而 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 a b2 c.(2)解 由(1)知 c ，所以 cos C ，当a b2 a2 b2 c22ab a2 b2 (a b2 )22ab 38(ab ba) 14 12
