1、1绪论及预备知识一、数学试卷形式结构及内容大纲1、试卷满分及考试时问试卷满分为 200 分，考试时间为 180 分钟。2、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不允许使用计算器。3、试卷内容与题型结构数学基础 75 分，有以下两种题型：问题求解 15 小题，每小题 3 分，共 45 分条件充分性判断 10 小题，每小题 3 分，共 30 分4、考查内容综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。试题涉及的数学知识范围有：（一）算术1、整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、
2、合数2、分数、小数、百分数3、比与比例4、数轴与绝对值（二）代数1、整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解2、分式及其运算3、函数（1）集合2（2）一元二次函数及其图像（3）指数函数、对数函数4、代数方程（1）一元一次方程（2）一元二次方程（3）二元一次方程组5、不等式（1）不等式的性质（2）均值不等式（3）不等式求解：一元一次不等式(组) ，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。6、数列、等差数列、等比数列（三）几何1、平面图形（1）三角形（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形 )（3）圆与扇形2、空间几何体（1）长方体（2）圆柱体（3）球体3、平面解析几何（1）平面直角
3、坐标系（2）直线方程与圆的方程（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式（四）数据分析l、计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数（3）组合与组合数2、数据描述（1）平均值3（2）方差与标准差 （3）数据的图表表示直方图，饼图，数表。3、概率（1）事件及其简单运算（2）加法公式（3）乘法公式（4）古典概型（5）伯努利里概型二、数学命题特点数学考试大纲内容涵盖初中和高中六年的知识，面大，量多，范围广，考生复习时很难抓住重点，同时初数的解题技巧性极强，加大技巧的训练越来越重要。三、预备知识1、 基本公式（1） 22)abab（2） 33（3） 2()（4） 3 2()abab减 加（5）
4、22ccacb（6） 2 22()ac221()()abcb2、指数相关知识（1）平方根（2）算术平方根3、条件充分性判断从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。4（1） 、充分性命题定义由条件 成立，就可以推出结论 成立（即 ） ，则称 是 的充分条件。若由条件 ，不能ABABA推出结论 成立（即 ） ，则称 不是 的充分条件。B【注意】 是 的充分条件可巧妙地理解为
5、：有 必有 ，无 时 不定。AB2、解题说明本大题要求判断所给的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，不必考虑条件是否必要。阅读条件（1）和（2）后选择：A 条件（1）充分，但条件（2）不充分B 条件（2）充分，但条件（1）不充分C 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分D 条件（1）充分，条件（2）也充分E 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分以上规定全讲义适用，以后不再重复说明。3、常用求解方法实际上，这类判断题的求解即判断下面三个命题的真假：条件（1）成立，则题干结论成立；条件（2）成立，则题
6、干结论成立；条件（1）和（2）都成立，则题干结论成立；（1）解法一 直接定义分析法（即由 推导 ）AB若由 可推导出 ，则 是 的充分条件；若由 推导出与 矛盾的结论，则 不是 的充分条ABBAB件。该解法是解“条件充分性判断”型题的最基本的解法，应熟练掌握。【例 1】方程 成立。2340x（1） （2） 2(4)0,xR（2）解法二 题干等价推导法（寻找题干结论的充分必要条件）要判断 是否是 的充分条件，可找出 的充要条件 ，再判断 是否是 的充分条件。ABBCAC即：若 ，而 ，则 。特殊地，当条件给定的参数范围落入题干成立范围时，即判断CA该条件是充分。【例 2】 是多项式 的因式。x3
7、2()fxaxb5（1） （2）,ab,3ab【例 3】不等式 无解。sxx|4|2|（1） （2）s【例 4】等式 成立。12x（1） （2）33x（3）解法三 特殊反例法由条件中的特殊值或条件的特殊情况入手，推导出与题干矛盾的结论，从而得到条件不充分的选择。【注】此方法不能用在条件具有充分性的肯定性的判断上。【例 5】整数 是 140 的倍数。n（1） 是 10 的倍数 （2） 是 14 的倍数n【例 6】 成立。0abc（1）实数 在数轴上的位置如图 1-1 所示,（2）实数 满足条件 ，且c20abcbc【例 7】要使 成立。1a（1） （2）1a第一章 算术【大纲考点】1、整数（1）
8、整数及其运算 （2）整除、公倍数、公约数 （3）奇数、偶数 （4）质数、合数2、分数、小数、百分数 3、比与比例 4、数轴与绝对值6一、数的概念与性质1、自然数 （非负整数）：0，1，2，整数 ：，-2 ，-1，0，1，2，分数：将单位 1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。2、数的整除设 是任意两个整数，其中 ，如果存在一个整数 ，使得等式 成立，则称 整除 或,ab0bqabqba能被 整除，记作 ，此时我们把 叫做 的因数，把 叫做 的倍数。如果这样的 不存在，则称|aa不整除 ，记做 。|3、整除的性质（1）如果 ，
9、则 ；|,cba|c（2）如果 ，则对任意的整数 有 ；| ,mn|()cab4、常见整除的特点能被 2 整除的数：个位为 0，2，4，6，8。能被 3 整除的数：各数位数字之和必能被 3 整除。能被 4 整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4 整除。能被 5 整除的数：个位为 0 或 5。能被 6 整除的数：同时满足能被 2 和 3 整除的条件。能被 8 整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被 8 整除。能被 9 整除的数：各数位数字之和必能被 9 整除。能被 10 整除的数：个位必为 0。能被 11 整除的数：从右向左，奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被 11 整除（包括
10、0） 。能被 12 整除的数：同时满足能被 3 和 4 整除的条件。连续 个正整数的乘积能被 整除。k!k5、带余除法设 是任意两个整数，其中 ，则存在整数 使得 成立，而且 都是,ab0b,qr,0abqrb,qr唯一的。 叫做 被 除所得的不完全商， 叫做 被 除所得到的余数。qr6、奇数与偶数不能被 2 整除的数称为奇数；能被 2 整除的数称为偶数。7【注】0 属于偶数。7、质数与合数一个大于 1 的整数，如果它的正因数只有 1 和它本身，则称这个整数是质数（或素数） ；一个大于 1的整数，如果除了 1 和它本身，还有其他的正因数，则称这个整数是合数（或复合数） 。正 整 数 质 数合
11、数【质数、合数的判断方法】对于一个不大的自然数 （ ， 非完全平方数） ，可用下面的方法判断它n1是质数还是合数，先找出一个大于 的最小完全平方数 ，再写出 内的所有质数，若这些质数都不能n2k整除 ，则 是质数；若这些质数中有一个质数能整除 ，则 为合数。n8、质数与合数的重要性质（1）质数和合数都在正整数范围，且有无数多个。（2）2 是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于 2 的质数必为奇数。质数中只有一个偶数是 2，最小的质数也是 2。（3）若 是一质数， 是任一整数，则 能被 整除或 与 互质（ 与 的最大公因数是 1） 。paapap（4）设 是一质数， 是整数，若
12、，则必有 或 。,b|b|b（5）推广：设 是一质数， 是 个整数，若 ，则 一定能整除其中一个 。12,nL12|nLka（6）若正整数 的积是质数 ，则必有 或 。,abpapb（7）1 既不是质数也不是合数。（8）如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是 2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是 2。（9）最小的合数是 4。任何合数都可以分解为几个质数的积，能写成几个质数的积的正整数是合数。9、最大公约（因）数与最小公倍数设 是两个整数，若整数 满足 ，则 称为 和 的公约数。 和 的所有公约数中的最,abc,abcabab大者称为 和 的最大公约数，记为 。()分子与分母
13、互质的分数称为最简分数或既约分数。设 是两个整数，若整数 满足 ，则 称为 和 的公倍数。 和 的所有公倍数中的最,abc,abcabab小者称为 和 的最小公倍数记为 。810、互质数公约数只有 1 的两个数称为互质数。即若 ，则称 互质。(,)1ab,ab11、公倍数与公因数的性质设 是任意两个正整数，则有：,ab（1） 的所有公倍数就是 的所有倍数，即若 且 ，则 ；,ab|ad|b,|ad（2） 。特别地，当 时，有 。,(,)ab(,)1,【典型例题】【例 1】从 1 到 120 的自然数中，能被 3 整除或能被 5 整除的数的个数是（ ）个。（A）64 （B）48 （C）56 （D
14、）46 （E）72【例 2】若 是一个大于 100 的正整数，则 一定有约数（ ）nn3(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E) 以上结论均不正确【例 3】一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数 （ ）(A) 一定是 4 的倍数 (B) 不一定是 4 的倍数 (C)一定不是 4 的倍数(D) 一定是 2 的倍数，不一定是 4 的倍数 (E) 以上结论均不正确【例 4】某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘 加上右手中石子数乘 之和为 ，则右3429手中石子数为（ ）(A)奇数 (B)偶数 (C)质数 (D)合数 (E)以上结论均不
15、正确【例 5】正整数 N 的 8 倍与 5 倍之和，除以 10 的余数为 9，则 N 的最末一位数字为 （ ）(A) 2 (B)3 (C) 5 (D) 9 (E) 以上结论均不正确【例 6】9121 除以某质数，余数得 13，这个质数是（ ）(A )7 (B) 11 (C ) 17 (D) 23 (E) 以上结论均不正确9【例 7】已知 3 个质数的倒数和为 ，则这三个质数的和为（ ）9861（A）334 （B）335 （C）336 （D）338 （E）不存在满足条件的三个质数【例 8】有 5 个最简正分数的和为 1，其中的三个是 ，其余两个分数的分母为两位整数，且这两91,73个分母的最大公
16、约数是 21，则这两个分数的积的所有不同值的个数为（ ）（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）5 个 （E）无数多个【例 9】两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（ ）（A） 1 对 （B）2 对 （C）3 对 （D）4 对 （E）5 对【例 10】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足 6 岁) ，他们的年龄都是质数（素数） ，且依次相差 6 岁，他们的年龄之和为 （ ）（A）21 （B）27 （C）33 （D）39 （E）51【例 11】三个质数之积恰好等于它们和的 5 倍，则这三个质数之和为（ ）（A）11 （B）12 （
17、C）13 （D）14 （15）15【例 12】条件充分性判断1、 成立09x（1）0198()23.456(20191731)LL(2) 390x2、自然数 n 的各位数字之积为 6（1）n 是除以 5 余 3，且除以 7 余 2 的最小自然数（2）n 是形如 （m 是正整数）的最小自然数423、 可取两个不同的值10yx10（1）实数 ，y 满足条件（ =-1x9)yx（2）实数 ，y 满足条件（ =1104、 (,)30,189ab（1） （2）270b140,8ab5、 为偶数m（1）设 为整数，n(1)mn（2）在 这 个自然数中的相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成,3,
18、98L的运算式的结果是 。6、有偶数位来宾 （ ）（1）聚会时所有来宾都在一张圆桌周围，且每位来宾与邻座性别不同。（2）聚会时，男宾是女宾的 2 倍。二、数的分类1、实数包括有理数和无理数2、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。x-1 10实数与数轴上的点一一对应。11数轴上的点从左到右的顺序，就是对应的实数从小到大的顺序。对于任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数；令 ，称 是 的整数部分， 是xxxxx的小数部分。x3、实数的基本性质（1）若 ，则在 中有且只有一个成立；,abR,ab（2） ，则 。204、实数的运算任意两个实数的和、差、积、商（除数不等于零）仍然是实数。（
19、1）四则运算加法交换律 ab加法结合律 ()()c乘法交换律 乘法结合律 ()()ab分配率 ca与 互为相反数a与 互为倒数(0)1（2）乘方与开方运算若 ，则 称为 的 次方（或 次幂）, 称为 的 次方根。 的正的 次方根记作 。nxaxnxananna【性质】正数的任何次方都是正数；0 的正数次方都是 0；负数的奇次方是负数；负数的偶次方是正数；正数的奇次方根是正数；正数有两个偶次方根，它们互为相反数；0 的 次方根为 0；n负数的奇次方根是负数；负数没有偶次方根；【运算规律】 01()a1namnamna12 mna()mna()nab()nab5、集合（1）集合的概念集合：将能够确
20、切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素。（2）常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作 。正整数集：非负整数集内除 0 的集合，记作 或 。*整数集：全体整数的集合，记作 。有理数集：全体有理数的集合，记作 。Q实数集：全体实数的集合，记作 。R【注】自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数 0。非负整数集内排除 0 的集，记作 ， 等其它数集内排除 0 的集，也是这样的表示，例如，整*,数集内排除 0 的集，表示成 。（3）集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。规定：
21、空集是不含任何元素的集合。（4）元素与集合的关系属于：如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ；aAaAa不属于：如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 ；A（5）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可；互异性：集合中的元素没有重复；无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） ；【注】集合通常用大写的拉丁字母表示，如 等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如,ABCPQ等；,abcpq 的开口方向，不能把 颠倒过来写。“a13【典型例题】【例 13】一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正、向西为
22、负，且知该车的行驶公里数依次为10，6，5，8，9，15，12，则将最后一名乘客送到目的地时，该车的位置（ ）(A)在首次出发地的东面 1 公里处 (B)在首次出发地的西面 1 公里处(C)在首次出发地的东面 2 公里处 (D)在首次出发地的西面 2 公里处(E)仍在首次出发地【例 14】下列各式正确的是（ ）（A）两个无理数的和是无理数 （B）两个无理数的乘积是无理数 （C）两个无理数的乘积是有理数 （D）一个有理数和一个无理数的乘积是无理数（E）一个有理数和一个无理数相加减，其结果是无理数【例 15】 的值是（ ）11()()()234900.L（A） （B） （C） （D） （E）828
23、1239【例 16】 （ ）11()()()239L（A） （B） （C） （D） （E）509759747847509【例 17】已知 ，那么（ ）,10ab(A) (B) (C)2b2ab2ab(D) (E)以上结论均不正确【例 18】 有一个正的既约分数，如果其分子加上 24，分母加上 54 后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（ ）（A）24 （B）30 （C）32 （D）36 （E）38【例 19】 把无理数 记作 a，它的小数部分记作 b，则 等于（ ）5a1（A） 1 （B）-1 （C）2 （D）-2 （E）以上答案均不正确14【例 20】 等式 成立的条件是（
24、 ）22()a（A） 是任意实数 （B） （C） （D） （E）0a0a0a0a【例 21】已知 ，则 的值为（ ）32,2ab2b（A） （B） （C） （D） （E）-14432【例 22】 为有理数，且等式 成立，则 的值等于（ ）,abc256abcabc（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 （E） 以上结论均不正确【例 23】条件充分性判断1、 3x（1） （2）8215412x2、 0ab（1） （2） 是有理数， 是无理数，且1,()2ab,ab0ab3、 分别表示不超过 的最大整数，则 可以取值的个数是 3 个,xyz,xyzxyz（1） （2）531531三、绝对值
25、1、绝对值的定义实数 a 的绝对值定义为： 0().a（ ） 即：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、零的绝对值还是零2、绝对值的几何意义实数 a 的绝对值的几何意义：数轴上实数 a 所对应的点到原点的距离（如图 1-2 所示） 。153、绝对值的性质,0,a 200aa， ， 22，xaxa或 1(0)a ()abb， |a4、绝对值不等式（三角不等式）（1） ：bab当且仅当 且 时，左边等号成立；0当且仅当 时，右边等号成立。（2） ：abab当且仅当 且 时，左边等号成立；0当且仅当 时，右边等号成立。（3） ：abab当且仅当 时，左边等号成立；0当且仅当 时，右边等号成
26、立，【典型例题】【例 24】已知 是实数， ，若 ，则 等于（ ）,xy234690xy3axya(A) (B) (C) (D) (E) 141774016【例 25】已知 ，求 log 。0)2(|1| yxyxxy【例 26】求适合下列条件的所有 的值（1） （2） （3）8|3|x8|x8|x【例 27】已知 ， ，则有（ ）1|a|y（A） （B） （C）|y 1|ay2|ay（D） （E）A、B、C 、D 都不正确|【例 28】已知 ，则 的取值范围是（ ）321xx（A） （ (B) ) (C) (D)（ (E) ， )21,(21，（ ） 21【例 29】若 ，则下列不等式成立的
27、是（ ）|0acb|ABcCabcDabcEabc【例 30】 满足条件 ，则 等于（ ）,xyz221|45|2xyzy410zxy()1()()()()6ABCDE 以 上 均 不 正 确【例 31】已知 ，则 的值为（ ）1bac2013abcacb（A）1 （ B）-1 （C） （D） （E）不能确定13【例 32】设 ，则下列结论正确的是（ ）2yx(A)y 没有最小值 (B)只有一个 x 使 y 取到最小值17(C)有无穷多个 x 使 y 取到最大值 (D)有无穷多个 x 使 y 取到最小值(E)以上结论均不正确【例 33】条件充分性判断1、 成立。2ay（1） 1x （2） 1y
28、x2、 成立|ab（1） （2）00b3、函数 的最小值为)(xf1（1） （2）125)(xf 416)(2xf4、方程 =1 有且仅有一个实根)(xf（1） （2）|1|1|)(xf5、 2ab（1） （2）0,0,ab6、方程 无根x（1） （2）(,1)(1,0)x四、比、比例、均值1、比两个数相除，又称为这两个数的比。即 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。相除所得.:a商叫做比值。记作 ，在实际应用中，常将比值表示成百分数，称为百分比，如:/abk183：4=75%。2、几个重要关系原值 现值 ；%pa 增 长 了 (1)ap原值 现值 ； 下 降 了 甲比乙大 ；甲是乙的
29、；(%)p甲 -乙 甲 乙乙 %pp甲 乙【注】甲比乙大 不等于乙比甲小 ，不要混淆。先减小 ，再增加 并不能等于原数值。p3、比例相等的比称为比例，记作 或 。其中 和 称为比例外项， 和 称为比例内项。:abcdadbc当 时，称 为 和 的比例中项，显然当 均为正数时， 是 和 的几何平均值。:abc ,bca4、正比若 ( 不为零) ，则称 与 成正比， 称为比例系数。ykxyxk【注】并不是 和 同时增大或减小才称为正比。比如当 时， 增大时， 反而减小。0xy5、反比若 ( 不为零) ，则称 与 成反比， 称为比例系数。/ykxyxk【注】同正比也不是反向增大或减小才称为反比，如
30、。06、比例的基本性质（1） :abcdabc（2） :dacba（3） （反比性质）（4） （更比性质） acbbd（5） （合比性质） cd（6） （分比性质） c（7） （合分比性质） 特别地，当 时，有 ；或者可写成,amcbd1acbdaccbd（8） （等比性质） ，其中aeacemabdfnbdfnbLL 0fnL197、增减性变化关系（ ）,0abm若 ，则 。注意，反之不一定成立。1ba若 ，则 。注意，反之不一定成立。0b8、平均值（1）算术平均值设 个数 ，称 为这 个数的算术平均值，简记为 。n12,nxL12nxxL 1nix（2）几何平均值设 个正数 ，称 为这 个
31、数的几何平均值，简记为n12,nx12 ngnxxL 1 ngix【注意】几何平均值是对于正数而言。（3）基本不等式当 为 n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即xx，,2112 (01,)nixn ， ，当且仅当 。时 ， 等 号 成 立x21特别地，当 n2 时，有 （ ） ，此时 的几何平均值 称为1212x2,R12,x12x的比例中项。12,x ，即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于 2，且当 时取得最小值时 2。(0)a a【例 34】设 ，则使 成立的 y 值是（ ）6:541:zyx74zyx(A)24 (B)36 (C)74/3 (D)37/2 （E）
32、以上结论均不正确【例 35】已知 且 与 成反比例， 与 成正比例。当 时， ，又当12y1y2x2y3x0x3y时， ，那么 的 表达式是（ ）1x2 2 236633xAyByCyxxDE （ ） （ ） （ ）（ ） （ ）20【例 36】求 3、8、9 这三个数的算术平均值和几何平均值。【例 37】将一条长为 a 的线段截成长为 和 的两条线段，使 恰是 与 的几何平均值。我们xaxax称对任意一个量 的这种分割为黄金分割，试求 。【例 38】三个实数 1, x-2 和 x 的几何平均值等于 4,5 和-3 的算术平均值，则 x 的值为（ ）（A）2 （B）4 （C）2 （D）2 或
33、4 （E）2 或 4【例 39】 的算术平均值是 2，几何平均值也是 2，则 的几何平均值是（ ）,xy 1,xy()2()()()()3ABCDE 以 上 结 论 均 不 正 确【例 40】 如果 三个数的算术平均值为 5，则 与 8 的算术平均值为（ ）23,x1 123,6xx(A) (B) (C)7 (D) (E)以上结论均不正确3469【例 41】直角边之和为 12 的直角三角形的面积的最大值为（ ）(A)16 (B)18 (C)20 (D)22 (E)不能确定【例 42】条件充分性判断1、用 表示十位是 ，个位是 的一个两位数，有 成立abab:(1):abb（1） 是 3 的倍数
34、（2） 是 9 的倍数2、某公司得到一笔贷款共 68 万元，用于下属三个工厂的设备改造。结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到 36 万元、24 万元和 8 万元。（1）甲、乙、丙三个工厂按 的比例分配贷款1:239（2）乙厂所得款额恰是甲厂所得款额与丙厂所得款额的 2 倍的比例中项213、 成 立2dcba(1),b且 均 为 正 数2ad且 均 为 负 数4、两数 的几何平均值的 3 倍大于它的算术平均值,b（1） 满足a24ab（2） 均为正数,5、某班学生的平均身高是 1.66 米（1）该班有 30 名男生，他们的平均身高为 1.70 米（2）该班有 20 名女生，她们的平均身高为 1.
35、60 米6、 的算术平均值为 8,ab（1） 为不等的正整数，且 的算术平均值为1,ab16（2） 为正整数，且 的算术平均值为,7、已知 则 。log,(logl),log(),22mmmxyaxycxycba（1） （2）,108、 的算术平均值是 14/3,而几何平均值是 4,abc（1） 是满足 的三个整数，1abcb（2） 是满足 的三个整数，,c 2第二章 应用题【备注】初数中最容易出错的地方就是应用题，因为应用题的解题技巧很强，稍不留神就会掉入命题者的陷阱里。关于初等数学的应用题有许多内容，比如：百分比问题，溶液问题，工程问题等等，要总结22有很多，在这里只是选择了几个有代表性的
36、应用题内容进行讲解。常用的应用题的解法有：转化法：改变思考的方式和角度，使复杂问题，转化为熟悉的、简单的基本问题，或将题中条件，加以转化，或重新组合，以便得到明确的解题思路，另外把复杂的数量关系中不同的单位制，转化为统一单位制下的简单数量关系；穷举法：这是朴素且实用的方法，对讨论对象加以分类，使问题简单化图解法：以图形表达命题，帮助我们理解题意，发现隐含条件，找到解题途径；代数法：设未知量找等量关系分别方程。除了这几种常用的解法外，还有逆推法、综合法、归纳法等等，可依据题目的类型和特点选择使用。一、比和比例、百分比MBA 联考数学试题,每年都会出有关百分比的应用题，并且相对较难，同时,还存在着
37、百分比的标准量不明确，或同一题中不同百分比各自有不同标准量，使应试者难于判断，失误率高于其他应用题的实际情况，也说明百分比问题是应用类题型的一个难点。知识点：1. 比例性质（略）2. 10%变 化 量变 化 率 变 前 量1、打折问题基本公式：售价=成本+ 利润甲比乙多 p% 乙比甲少 p%甲 = 乙(1+p%) 甲 = 1-%p乙【解题提示】要选对基准量，注意折扣的变化与利润的关系。解题之关键是要分清成本价,原销售价、 “优惠价”和利润这几个概念,有些题目还会给出利润所占的百分比,此时要注意,通常情况下毛利率这一百分比的标准量是销售价而不是成本价,这是在工商管理学的教材上明确定义的,但具体题
38、目还是会有指明以成本价计算利润率的情况,只能具体问题具体分析了,此题是已知最终售价即“优惠价”,由此逆推,依所给条件去求原价,即可知盈亏。【例 1】某商品单价上调 20%后，再降为原价的 90%，则降价率为（ ）A、30% B、28% C、25% D、22% E、20%【例 2】某商品由于进货价格降低了 15%，使得利润率提高了 21%。则现在的利润率为（ ）%A. 40 B. 35 C. 38 D. 45 E. 5023【例 3】某商店商品按原价提高 50%，7 折优惠，每售一套盈利 625 元，其成本 2000 元，问按优惠价售出与按原价售出是多赚钱还是少赚钱？.【例 4】一款手表，连续两
39、次降价 10%后，现在售价是 40.5 元，求这款手表的原价。【例 5】条件充分性判断A 公司 2003 年 6 月份的产值是 1 月份产值的 a 倍 (1) 在 2003 年上半年，A 公司月产值的平均增长率为 5(2) 在 2003 年上半年，A 公司月产值的平均增长率为 6【例 6】 某电子产品一月份按原定价的 80%出售，能获利 20%；二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，能获利 25%。那么 2 月份进价是一月份进价的百分之（ ）A、80% B、90% C、95% D、75% E、以上均不对【例 7】某工厂二月份产值比一月份的增加 10%，三月份比二月份减少 10%，那么（
40、 ）A. 三月份与一月份产值相等 B. 一月份比三月份产值多 19C. 一月份比三月份产值少 D. 一月份比三月份产值多190【例 8】 某企业 2007 年末的统计资料为：全年的生产总值增加了 10%，而企业员工的总人数减少了 10%。则该企业在 2007 年全年的人均年值增加的百分率约为（ ）A、10% B、15% C、20% D、22% E、25%2、平均成绩问题；（十字交叉）【解题提示】当一个整体按照某个标准分为两类时，根据杠杆原理得到一种巧妙的方法，即是交叉法。该方法现上下分列出每部分的数值，然后与整体数值相减，减得的两个数值的最简整数比就代表每部分的数量比。【例 9】 某乡中学现有
41、学生 500 人，计划一年后女生在校生增加 4%，男生在校生人数增加 3%，这样，在校生将增加 3.6%，那么，该校现有女生和男生各多少人？（ ）A、200 和 300 B、300 和 200 C、320 和 18024D、180 和 320 E、250 和 250【例 10】 公司职工有 50 人，理论知识考核平均成绩为 81 分，按成绩将公司职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为 90 分，非优秀职工的平均成绩是 75 分，则非优秀职工的人数为（ ）A. 30 人 B. 25 人 C. 20 人 D. 无法确定【例 11】 乙组平均成绩为 75 分，其中男同学人数比女同学多 80%
42、，而女同学平均成绩比男同学高 20%，则女同学的平均成绩为【例 12】 车间共有 40 人, 某技术操作考核的平均成绩为 80 分,其中男工平均成绩为 83 分,女工平均成绩为 78 分,该车间女工有( )人A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 E. 28【例 13】 用 30%和 20%两种盐溶液，配成 24%溶液 500 克，求各需多少克？【例 14】 甲乙两组射手打靶，乙组平均成绩为 171.6 环, 比甲组平均成绩高出 30%,而甲组人数比乙组多 20%, 则甲、乙两组射手的总平均成绩是( )3、比例问题（几个变量之比） ；【解题提示】根据题目所给数值先求出最简单整数比，再根
43、据份额求出对应数值。【例 15】电影开演时观众中女士与男士人数之比为 ，开演后无观众入场，放映一小时后，5:4女士的 20%，男士的 15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（ ） 。A、 B、 C、 D、 E、4:51:5:420:178:6【例 16】 一公司向银行借款 34 万元，欲按的 比例分配给下属甲、乙、丙三车间进139行技术改造，则甲车应得 （ ）A. 4 万元 B. 8 万元 C. 12 万元 D. 18 万元【例 17】条件充分性判断某公司得到一笔贷款共 68 元用于下属三个工厂的设备改造,结果甲,乙,丙三个工厂按比例25分别得到 36 万元,24 万元和 8 万元 （
44、）(1) 甲, 乙, 丙三个工厂按 的比例分配贷款1:239(2) 甲, 乙, 丙三个工厂按 的比例分配贷款6【例 18】 奖金发给甲、乙、丙、丁四人，其中 1/5 发给甲，1/3 发给乙，发给丙的奖金数正好是甲、乙奖金之差的 3 倍，已知发给丁的奖金为 200 元，则这批奖金当为：（ ）A. 1500 元 B. 2000 元 C. 2500 元 D. 3000 元【例 19】 某厂生产的一批产品经产品检验，优等品与二等品的比是 5：2，二等品与次品的比是 5：1，则该批产品的合格率（合格品包括优等品与二等品）为：( )A. 92% B. 92.3% C. 94% D. 94.6% E. 96
45、%【例 20】甲、乙、丙三人合开公司，投资比例分别为 ，他们商定在一周年店庆后按投资比例分15:32红，若丙分得红例 3 万元，则红利的总额为多少？【例 21】一大队和二大队人数之比为 ，现从一大队抽调 8 名同志到二大队执行任务，此时一大队与8:7二大队的人数之比为 ，问两个大队原有多少人？4:5【例 22】家中父亲与儿子的体重之比恰等于母亲与女儿的体重之比，已知父亲体重与儿子体重之和为125 公斤，母亲与女儿体重之和为 100 公斤，儿子比女儿重 10 公斤，则儿子的体重为（ ）公斤？A、40 B、50 C、55 D、60 E、65二、速度问题解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间
46、和路程） ，列方程求解。这种题的类型有：1. 追及相遇 基本公式： ssvttv类型一：直线型26:s乙甲等 量 关 系 vACB甲 甲乙 乙类型二：同向圆圈v乙甲设跑道周长为 ，S甲、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若给定时间内，相遇 n 次，则sns乙甲（同向加一，反向减一）1vs甲 甲 乙乙 乙 乙 乙类型三：反向圆圈甲、乙每相遇一次，路程之和为一圆若给定时间内，相遇 n 次，则 sns乙甲1vss甲 甲 乙乙 乙 乙 乙【解题技巧】在做圆圈型追及相遇题时，在求第 k 次相遇情况时，可以将 k-1 次相遇看成起点进行分析考虑。【例 23】 条件充分性判断甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向匀速行走， t 小时后相遇于途中 C 点，此后甲又走了 6 小时到达 B，乙又走了 h 小时到达 A 地，则 t, h 的值均可求。( )(1) 从出发经 4 小时，甲乙相遇(2) 乙从 C 到 A 地又走了 2 小时 40 分钟27【例 24】两地相距 351 公里，汽车已行驶了全程的 ，试问再行驶多少公里，剩下的路程是已行驶的路19程的 5 倍？ ( )A. 19.5 公里 B. 21
