1、2.2.2 椭圆的几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b 以及 c，e 的几何意义， a、b、c、e 之间的相互关系 .3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题1若椭圆的标准方程为 1 (ab0) x2a2 y2b2(1)方程中 x、y 的取值范围分别为_(2)椭圆关于_、_和_都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做_(3)椭圆的四个顶点坐标为_ 长轴长为_，短轴长为_2椭圆的焦距与长轴长的比 e_，叫做椭圆的离心率，离心率 e 的范围_当 e 越接近 1，椭圆_，当 e 越接近于_，椭圆就越接近于圆
2、一、填空题1椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为_2P 是长轴在 x 轴上的椭圆 1 上的点，F 1、F 2 分别为椭圆的两个焦点，椭圆x2a2 y2b2的半焦距为 c，则 PF1PF2 的最大值与最小值之差一定是_3.已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点.满足 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心MF1 MF2 率的取值范围为_4设 0b0)的顶点与焦点，若ABC90 ，则该椭圆的离心率为x2a2 y2b2_6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P(5,4)，则椭圆的55方程为_7直线 x2y20 经过椭圆 1 (ab0)的
3、一个焦点和一个顶点，则该椭圆x2a2 y2b2的离心率为_8椭圆上 1 上到两个焦点 F1，F 2 距离之积最大的点的坐标是_x29 y225二、解答题9.如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，x2a2 y2b2O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x (c 是椭圆的半焦距) 与 x 轴的交a2c点，若 PFOF，HBOP ，试求椭圆的离心率 e.10.已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程能力提升11若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等
4、差数列，则该椭圆的离心率为_12已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1( ，0)，且右顶点为 D(2,0)设点 A 的坐标是 .3 (1，12)(1)求该椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程1椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围4在与
5、椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系22.2 椭圆的几何性质知识梳理1(1) a，a、b，b (2)x 轴 y 轴 原点 椭圆的中心 (3)A 1(a,0) 、A 2(a,0)、B1(0，b)、B 2(0，b) 2a 2b2. 0c 恒成立，由椭圆性质知 OPb，其中 b 为椭圆短半轴长，bc，c 22c2， 2b0) ，将点( 5,4)代入得 1，x2a2 y2b2 25a2 16b2又离心率 e ，即 e2 ，解之得 a245，b 236，ca 55 c2a2 a2 b2a2 15故椭圆的方程为 1.x245 y2367.255解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线
6、 x2y20 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b1，c2，从而a ， e .5ca 2558(3,0)解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆定义可知PF1PF 22a 10，所以 PF1PF2 2(PF1 PF22 ) 225，(102)当且仅当 PF1PF 2 时取等号；由Error!解得 PF1PF 25a ，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两个端点，即 P(3,0)9解 依题意知 H ，F(c,0)，B(0，b)( a2c，0)设 P(xP，y P)，且 xPc，代入到椭圆的方程，得 yP .P .b2a (c，b2a)HBOP， kHBk
7、 OP，即 .abc 2.b 00 a2cb2ace ，e 2 e 2 1.ca bc a2 c2c2e 4e 210.0e1 ，e .5 1210解 (1)由Error!得 5x22mxm 210.因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220(m 21)0.解得 m .52 52故 m 的取值范围为 . 52，52(2)设直线与椭圆交于 A(x1， y1)、B(x 2，y 2)，由(1)知，5x 22mx m 210，x 1x 2 ，x 1x2 (m21) 2m5 15设弦长为 d，且 y1y 2(x 1 m)(x 2m)x 1x 2，d x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x224m225 45m2 1 .2510 8m2当 m0 时，d 最大，此时直线方程为 yx.11.35解析 由题意知 2bac ，又 b2a 2c 2，4(a 2 c2)a 2c 22ac.3a 22ac5c 20.5c 22ac 3a 20.5e 22e30.e 或 e1(舍去)3512解 (1)a2，c ，b 1.3 a2 c2椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)设 P(x0，y 0)，M(x，y)，由中点坐标公式，得Error! Error!又 y 1， 21，x204 20 2x 124 (2y 12)即为中点 M 的轨迹方程
