1、MATLAB 在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了 Taylor 级数展开Laplace 变换和 Fourier 变换之后而使其显得更为重要了。使用 MATLAB 来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及 MATLAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的 Taylor 展开（Laurent 展开 Laplace 变换和Fourier 变换） 。1 复数和复矩阵的生成在 MATLAB 中，复数单位为 ，其值在工作空间中都显示为)1(sqrtji。i0.1.1 复数的生成复数可由 语句生成，也
2、可简写成 。ibazbiaz另一种生成复数的语句是 ，也可简写成 ，)exp(thirz )exp(itharz其中 theta 为复数辐角的弧度值，r 为复数的模。1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如： )3exp(2),6exp(9,32,53 iiiiA（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：；)2,3(rande；imireco1546.0721.568.0297. 334 iiiicom注意 实、虚矩阵应大小相同。2 复数的运算1复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数 real 和 imag 实现。调用形
3、式返回复数 的实部)(xrealx返回复数 的虚部img2共轭复数复数的共轭可由函数 conj 实现。调用形式返回复数 的共轭复数)(xconjx3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数 abs 和 angle 实现。调用形式复数 的模)(xabsx复数 的辐角ngle例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（1） （2） （3） （4）i3i1i2)5(4ii218由 MATLAB 输入如下：22148,2/)5()43(),1/),23/(1 iiiiia iiii 0.3.0.3.0.25.8.0. %实部)(arelns0.2308 1.5000 3.5000 1.0000
4、%虚部)(aimgns0.1538 2.5000 13.0000 3.0000%共轭复数)(acojns0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i 3.5000+13.0000i 1.0000+3.0000i%模)(absn0.2774 2.9155 13.4629 3.1623%辐角)(aglens0.5880 1.0304 1.8228 -1.24904复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。例 复数的乘除法演示。 )3/exp(4i3i461.30.2)5/exp(yi7634.12.)5/exp(yi7634.12.yx/ansi5423.018./yxans
5、I3260.194.0由此例可见， 相当于 ，和 不相等。i5/)( )5/(i i5/)(5复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数 sprt 实现。调用形式返回复数 的平方根值)(xsprtx6复数的幂运算复数的幂运算的形式为 ，结果返回复数 的 次幂。nxn例 求下列各式的值 )6/1(ans40.8660+0.5000 i7复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和 log 实现。调用形式返回复数 x 的以 e 为底的指数值)exp(返回复数 x 的以 e 为底的对数值log例 求下列式的值（参见参考资料【4】P.68.215） 。)l(iansi5708.1)43lo
6、g(ansi213.609.8复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表函数名 函 数 功 能 函数名 函 数 功 能)sin(x返回复数 的正弦函数值x)sin(xa返回复数 的反正弦值xco返回复数 的余弦函数值 co返回复数 的反余弦值)ta(x返回复数 的正切函数值x)ta(x返回复数 的反正切值xc返回复数 的余切函数值 c返回复数 的反余切值)se(x返回复数 的正割函数值x)se(x返回复数 的反正割值x5)cs(x返回复数 的余割函数值x)cs(xa返回复数 的反余割值xinh返回复数 的双曲正弦值 oth返回复数 的双曲余切值)cos(x返回
7、复数 的双曲余弦值x)(secx返回复数 的双曲正割值xta返回复数 的双曲正切值 返回复数 的双曲余割值9 复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数 solve 实现。见下面的例子.例 求方程 所有的根（参见参考资料【4】P.32.116） 。083x)(solvean 2)2/1(3i3 留数留数定义：设 a 是 的孤立奇点，C 是 a 的充分小看邻域内一条把 a 点包含在其内部的)(zf闭路，积分 称为 在 a 点的留数或残数，记作 。在dfi21)(zf ),(RezfsMATLAB 中，可由函数 residue 实现。residue 留数函数（部分分式展开）函数返回留数，
8、极点和 2 个多项式比值),(,ABresiduKPR的部分分式展开的直接项。)(/s6)()()2()1()( sKnPsRsPsRAB如果没有重根，则向量 B 和 A 为分子、分母以 s 降幂排列的多项式系数，留数返回为向量 R、极点在向量 P 的位置，直接项返回到向量 K。极点的数目。如果 ，则直接项系数)()(1)(lengthletlength )()(AlengthBlet为空；否则 。如果存在 M 重极点即有1ABK则展开项包括以下形式)()(mjPj mjPsRjPsRjs )()(1)(2有 3 个输入变量和 2 个输出变量，函数转换部分因,KreiduAB式展开还为系数为
9、B 和 A 的多项式比的形式。注意：数值上讲，分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。如果分母多项式 是一个近似有重根的多项式，则在数值上的一点微小变化，包括)(SA舍入误差都可能造成极点和留数结果上的巨大变化。因此使用状态空间和零点极点表述的方法是可取的。例 求如下函数的奇点处的留数。 z21在 MATLAB 实现如下 )0,2,(, residukpr1.50000.5000p270k 所以可得 。5.0),(Re;5.12),(Rezfszfs例 计算下面的积分 Cdz4其中 C 为正向圆周 。 （参见参考资料【4】P.158.例 2）2|解：先求被积函数的留数 )1,0,1(
10、, residukpr0.25000.25000.25000.0000 i0.250+0.0000 ip1.00001.00000.0000+1.0000 i0.00001.0000 i0k 可见在圆周 内有四个极点，所以积分值等于2|z。0)5.0.5.(2pi84 Taylor 级数展开Taylor 级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。函数 在 点的 Taylor 级数开展为)(xf0 !3/)0(!2/)0()( xfxfxf在 MATLAB 中可由函数 taylor 来实现。taylor 泰勒级数展开返回 函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有 3 个附加参)
11、(ftaylorf数。返回 次幂多项式。),(nftlr1返回 点附近的幂多项式近似。ayo使用独立变量代替函数 。),(xrtl )(ffindsym例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12） 。（1） （2） ；10,/2z 4/0,piztgMATLAB 实现为： ),/(xtaylor 5)1(64)1(53)1(421(32 xxx)/,(tanpixylrs 3/10)4/1(3/82)4/1(2/12 pixpixi 55/64)(px例 再看下面的展开式 )10,/(sintaylor9ans 83620/1504/12/16/1 xxxx 展开式
12、说明 是此函数的伪奇点！0这里的 展开式运算实质上是符号运算，因此在 MATLAB 中执行此命令taylor前应先定义符号变量 ，否则 MATLAB 将给出出错信息！zxsm,5 Laplace 变换及其逆变换1Laplace 变换返回以默认独立变量 T 对符号函数 F 的 Laplace 变换。函数)(FlapceL返回默认为 s 的函数。如果 ，则 Laplace 函数返回)(st 的函数 。其中定义 L 为对 t 的积分)(tL。inf),0expin)(tsFs以 t 代替 s 的 Laplace 变换。 等价于,(tFlapceL ),(tFlapce。,)e()i() ifxtxL
13、以 z 代替 s 的 Laplace 变换（相对于 w 的积分） 。,(zwlce等价于 。),(Flapce inf),0exp()(int)(zFzL例如：syms a s t w x)5(lpcens6/120)(expsalcans10)/(1at,sintxwlpce)2/(t,twxconslape)2/(t,/3tsymxlapcen)2/5()/1(4/tixFsydflapcens)0(),(sl2Laplace 逆变换返回以默认独立变量 s 的数量符号 L 的 Laplace 变换，默认)(LilapceF返回 t 的函数。如果 ，则 ilaplace 返回 x 的函数)(
14、tL。 定义为对 s 的积分)(xF；其中 c 为inf)if,)ep(int cts选定实数，使得 的所有奇点都在直线 的左侧。Ls以 y 代替默认的 t 的函数，且有 等价于),(LilapceF ),(yLilapce。这里 y 是inff,)exp()int( syF11个数量符号。以 x 代替 t 的函数， 等价于),(yLilapceF ),(xyLilapce，对 y 取inf)if,)e()in( yxyLF积分。例如： yxwtsym)1/(ilapcens)x(t)12/ilapcens)i(xilaplace ,2/5symtan)/3(*)/1(3/4xpiilapla
15、ce ,2ywyanscos )*(xilaplace( ),)(xsFlapcesymanF( )x6 Fourier 变换及其逆变换121. Fourier 积分变换F=fourier(f) 返回以默认独立变量 x 对符号函数 f 的 Fourier 变换，默认返回 的w函数。如果 ，则 fourier 函数返回 t 的函数 F=F(t)。定义 F( )int(f( )*exp()(wf x为对 的积分。in,)*xi xfourier 以 代替默认值 的 Fourier 变换，且有 fourier 等价于 FF(vf w(),vf= int 。()v inf),),*ep)xixfour
16、ier 以 代替 且对 积分，且有 fourier =F （ ）= int,ufvu),(vufv。 if),),e(*)(i例如：symtvwxfourier（1/ ）an )()(*wHeavisdeavisdpi,2xtfourns)*4/1ep()/(tifourier ),(xvtHaisdesymtans1/ )*1(vifourier ),(wxFsydfan),(*fouriewi132 Fourier 逆变换.返回以默认独立变量 对符号函数 F 的 Fourier 逆)(Fifoure w变换，默认返回 的函数 Fourier 逆变换应用于返回 的函数，即由 F=F 推出x
17、x)(w。如果 F=F ，则 ifourier 函数返回 的函数 。定义)(f)( t)(tf，对 的积分。inf),),*ep(int*2/1wxiwFpx以 代替 的函数，且有 ifourier 等价于),(uiforeu),(uF对 积分。if),e(it/)( iuf以 代替 的 Fourier 逆变换，且有),(vFifre vw= ，积分针对 。),(ifo inf),*exp()int(*)2/(1uiFpuf v例如：symtuwx)(*)3ep(*wHeavisdsymiforans2)/(21tiuwifoure,ans )*)exp(2/1)(*)xp(2/1 uHavisdeuHeavisdifourier(v/(1+w ,u)2ansi/(1+w *Dirac(1,u)ifourier(sym( fourier(f(x),x,w) ),w,x)14ans=f(x)
