1、1理论力学复习指南第一部分 静力学第 1 章静力学基本概念和物体的受力分析1静力学基本概念力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。力对物体的作用决定力的三要素：大小、方向、作用点。力是一定位矢量。刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体抽象化的力学模型。等效 若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成。2静力学基本公理力的平行四边形法则给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则,也是一个力分解成两个力的分解法则。二力平衡公理是最简单的力系平衡条件。加减平衡力系
2、公理是研究力系等效变换的主要依据。作用与反作用定律概括了物体间相互作用的关系。刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。 3. 约束类型及其约束力限制非自由体位移的周围物体称为约束。工程中常见的几种约束类型及其约束力光滑接触面约束 约束力作用在接触点处，方向沿接触面公法线并指向受力物体。柔索约束 约束力沿柔索而背离物体。铰链约束 约束力在垂直销钉轴线的平面内，并通过销钉中心。约束力的方向不能预先确定，常以两个正交分量 Fx 和 Fy 表示。滚动支座约束 约束力垂直滚动平面，通过销钉中心。球铰约束 约束力通过球心，但方向不 能预先确定，常用三个正交分量 Fx，F y，F z 表示。止推轴承约束 约束
3、力有三个分量 Fx ，F y ，F z 。4. 受力分析对研究对象进行受力分析、画受力图时，应先解除约束、取分离体，并画出分离体所受的全部已知载荷及约束力。画受力图的要点（1） 熟知各种常见约束的性质及其约束力的特点。（2） 判断二力构件及三力构件，并根据二力平衡条件及三力平衡条件确定约束力的方向。（3） 熟练、正确表出作用力与反作用力。受力分析三步曲：分离物体、画主动力、画约束力（约束个数、约束类型、用约束力代替约束）2第 2、3 章平面力系1. 力矩力矩是度量力对物体转动效果的物理量。平面问题中力 F 对 O 点之矩记为M O(F )= F h平面问题中力矩是代数量。 合力矩定理 平面汇交
4、力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和，即)()(OROM2平面力偶系的合成和平衡条件（1）力偶与力偶矩 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力 F, F 组成力偶，力偶是一特殊力系。力偶对物体只有转动效应，它与一个力不等效，不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶平衡（习题 213） 。力偶对物体的转动效应决定于力偶矩，即FdM),(力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶对任意点之矩等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶等效条件 同平面内的两个力偶，如力偶矩相等，则两力偶等效。力偶的等效性表明: 只要力偶矩不变，可任意改变力的大小和力偶臂的长短；力偶也可在作用面内任意移转。（
5、2）平面力偶系的合成 同平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和iM（3）平面力偶系的平衡条件 力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩等于零，即0iM一个独立的平衡方程，可解一个未知量。3力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。4平面力系向平面内一点简化力系向任一点 O（称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力
6、偶。力的大小、方向决定于力系的主矢量，力偶的矩决定于力系对简化中心的主矩。力系中各力的矢量和称为力系的主矢量(简称主矢)。即FR3主矢量与简化中心位置无关。力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即)(FOM主矩与简化中心位置有关。5主矢和主矩的解析式如以简化中心为原点，建立直角坐标系 Oxy 则主矢与主矩的解析表达式分别为jiFYXR)()(iiOXyxM式中 X i，Y i 为力系中各力在坐标轴上的投影，x i，y i 为力 F i 作用点的坐标。6平面力系平衡的必要和充分条件力系的主矢和主矩都等于零，即：0)(FORM平面力系平衡方程的三种形式基本形式 二 力 矩 式
7、三 力 矩 式0)(FMYXO 0)(FMXBAA、 B 连线与 x 轴不垂直0)(FMCBAA、 B、 C 三点不共线例 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B 的支反力。解 研究 AB 梁； 受力如图； 取 Axy 直角坐标； 列平衡方程求解： 00AX , 02 aPmaqRFMBA )(0YA 解得：)kN(.120816202PaqRB4)kN(2418.02BARqaPY例 已知：分布载荷 ，力偶矩 ， ，不计拱自重求 C 处的反力。2/KNmMKm L线性分布外力（例题 38，习题 34）例桁架结构 0 力杆（习题 2-55）第 4
8、章空间任意力系1计算力在空间直角坐标轴上的投影有两种方法一次直接投影法 cos, FZYX二次（间接）投影法。 sincosincosi FZFYxy2力对轴之矩力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量，是代数量，可按定义或解析式计算。当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。3力对点之矩力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量，是定位矢量。表为FrMO5力对点之矩在过该点某轴上的投影等于力对该轴之矩。 FMzO有 kjFiFMzzzO4合力矩定理力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对该点之矩的矢量和，即 )(ORO5力偶矩矢力偶矩矢是表示力偶三要素的自由矢量，它完全决定了力偶对物体的作用。若两
9、力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。6空间力系的合成空间汇交力系合成为通过汇交点的一个合力，其合力矢 FR空间力偶系合成为一合力偶，其合力偶矩矢 iM空间任意力系向任一点 O 简化，得到作用在简化中心 O 的一个力和一个力偶，力的大小、方向决定于力系的主矢量，力偶矩矢决定于力系对 O 点的主矩，即FR)(7空间力系平衡的必要和充分条件 空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即0R)(MO8. 空间力系平衡方程的基本形式 空间汇交力系 空间力偶系 空间平行力系 空间任意力系0ZYX0)(FzyxM0)(FyxMZ0ZYX0)(FzyxM9. 物体的重心 重心是物体重
10、力的合力作用点。均质物体的重心与几何中心形心重合。重心坐标的一般公式是; 对于均质物体PzzyyxPxiCiiC VdzydVxCC6P3O A B C D 例 边长为 l、重量为 的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图所示。设平台距地W面高度为 l，处载荷 沿 边，试求各杆内力。FABP l lA B D C F E H G l P l lA B D C F E H G l F1 F2 F3 F4 F5 F6 W 解： 取研究对象：平台。 分析受力，如图所示，六根支承杆均为二力杆。 列平衡方程求解： ， 0GCM026Fl F26： ， B 21lWl 1W： ， 0HG02 2：
11、， FB65lFl F5： ， 0HDM02323： ， AB 254lWl 4W【例】边长为 的立方框架上，沿对角线 AB 作用一力，其大小为 P；沿 CD 作用另一力，其大a小为 ，此力系向 O 点简化的主矩大小为（ ） 。3/P3/a第 5 章摩擦1.基本概念动滑动摩擦、静滑动摩擦当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小 F 与相互接触物体之间的正压力大小与正比。2.基本计算动滑动摩擦、静滑动摩擦的计算【例】物 A 重 100KN，物 B 重 25KN，A 物与地面的摩擦系数为 0.2，滑轮处摩擦不计。则物体 A 与地面间的摩擦力为?7第二部分 运动学第 6 章点的运动1矢量法点位置确定
12、Mr运动方程 = t轨迹：矢端曲线速度 方向沿轨迹切线rdtvt 0lim加速度 vat2直角坐标法点位置确定Mzyx,运动方程 )( ,)( )(tfztftf 321轨迹 运动方程消去时间参数 t，即可得到 轨迹的曲线方程。速度 kzjyixvvzyxzv,cos,22加速度 kzjyixaazyx,cos,223. 自然法前提：点的轨迹已知弧坐标的建立：在轨迹上确定 点，规定“+” ， “-”0M点位置确定：弧坐标 sM运动方程 )(tf速度 svs加速度 na2切向加速度 法向加速度s 2san2nant8【例】题 5-7，5-8例 在曲柄摇杆机构中，曲柄 与水平线夹角的变化规律为 ，
13、设OA24t， ，求 点的运动方程和 时 点的速度和加速度cmOA10cB241st1BBoo1B 1 O O v 45 n a a 解法 1 自然法点的运动方程 Bs2034t速度 tv6加速度 a24322tsn时t16va23n解法 2 直角坐标法（坐标建立如图）B 点的运动方程： 21 8cos42scostBOxinity速度： xvB28s6tyco加速度： 2228cos38sin6tttxaB incoy时 st18sin6Bxvs6Byv jiv8cos6sjyxiB98cos23sin6Bxa 8sin23co6Bya jaiBx第 7 章刚体的基本运动1平动刚体平动的特点
14、是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。2定轴转动描述定轴转动刚体的位置用角坐标 。运动方程 tf角速度 dt角加速度 或 为 在 z 轴上的投影；k为 在 z 轴上的投影。 定轴转动刚体上各点速度 v 及加速度 a 的计算： 速度 ，或 ，R 为点到转轴的距离。r加速度 a其中 , 或 切向加速度；, 或 法向加速度。vnn2第 8 章点的合成运动1定系和动系理论上讲，若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
15、2动点和牵连点动点为研究的对象，是本章的主角。牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点，弄清牵连点的概念十分重要。3三个运动的关系绝对运动动点相对于定系的运动；相对运动动点相对于动系的运动；牵连运动动系相对于定系的运动。（1）速度合成定理 reav（2）加速度合成定理 Cre10. v 其中 reCva2当动系平动时 ， 0e【例】：正方形板以等角速度 绕 O 轴转动，小球 M 以均速度 沿板内半径为 R 的v圆槽运动。则 M 的绝对加速度为 2vR-4应用例 摇杆滑道机构已知 h、 、 v 、 a 求: OA 杆的 , 。解： 选取动点、动系
16、、静系：动点: 杆 BC 上销子 D 点,动系: 固连摇杆 OA ，静系: 固连地面(机架)。2. 三种运动分析：3. 三种速度分析:由速度合成定理 ： sini,cosvvvarae hODve2 )cos/(/ 加速度分析:因牵连运动为定轴转动，故有 ?已 知已 知已 知已 知已 知方 向大 小 rkrneea vODa2sinco2,c)(s322vhvarkne 作加速度矢量关系图求解：将上式投影到沿切线的 轴上，得：keaacs11A B C D E F 1C 2C cossinco2sahvake 22ihOD第 9 章刚体的平面运动1刚体平面运动定义刚体作平面运动的充要条件是：刚
17、体在运动过程中，其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。2平面运动方程刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：)(tytxA其中 A 为基点。如果以 A 为原点建立平动动系 Axy，则平面运动分解为跟随基点（动系）的平动和相对于基点（动系）的转动。3平面运动刚体上各点的速度分析（1）基点法-应用速度合成定理： BABv（2）速度投影定理（由基点法推论）：刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。ABB）（）（ v（3）瞬心法（由基点法推论）瞬心是瞬时速度为零的点，把瞬心作为基点求速度的方法，为瞬心法。【例】图示系统中，ABCD 为一平行四连杆机构，某瞬时杆 EF 平行
18、于 CD，求杆 EF 的速度瞬心（F 点）124加速度分析 只推荐用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度。 OMnOMaa例 曲柄肘杆压床机构 已知: OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB 水平。求该位置时的 ， 及ABDv解： 运动分析： OA,BC 作定轴 转动, AB,BD 均作平面运动 研究 AB;速度分析，用速度瞬心法求 vB 和 AB ： rad/s103nm 5OAvP为 AB 杆速度瞬心 rad/s 16.73.026sin5.1BPA 2.57co1 Bv 研究 BD;速度分析，用速度瞬心法求 vD 和 BD
19、：P2 为其速度瞬心, BDP2 为等边三角形 DP2=BP2=BD rad/s 13.507BPv)(m/s 713502BDDv13第三部分 动力学第 10 章质点运动微分方程1牛顿第二定律牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力，即Fam它是解决质点动力学的基本定律。2质点运动微分方程矢量形式 r直角坐标形式 自然坐标形式 ZzmYyXx bnFvmdt02一般在研究自由质点的运动时，常采用直角坐标或极坐标形式的微分方程，研究非自由质点动力学问题时常采用自然坐标形式的微分方程。3质点运动微分方程的应用运用质点运动微分方程，可解决质点动力学两类问题，即（1）已知质点
20、的运动规律，求作用在质点上的力，通常是未知的约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。（2）已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分过程，或求解过程。 对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题，对于这种问题一般首先解除约束以相应的约束力代替，根据已知的主动力及运动初始条件，求解质点的运动规律；然后在运动确定的条件下再求解未知约束力，约束力一般包括静约束力和附加动约束力两部分。 利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时，视问题的性质，可采用两种分离变量的方法对微分方程进行积分，即 dtva或 2vdsts质点的运动规律还决定于初始条件，利用运动的初始条件，可确
21、定定积分的下限或不定积分的积分常数。视问题的性质，也可以用解微分方程的方法求解。4解决质点动力学问题的步骤（1）分析质点的受力，分清主动力与约束力。对非自由质点需解除约束，以约束力代替。主14动力一般为已知，约束力通常是未知的，但其方向往往可根据约束的性质确定。画出质点的受力图。（2）分析质点的运动，画出质点的运动分析图，一般包括广义坐标，加速度、速度在坐标上的分量等。 （3）列写质点运动微分方程。列方程时要注意力及运动量在坐标上投影的正负号。 （4）微分方程的求解及问题的进一步讨论。【例】已知物体的质量为 m，弹簧的刚度为 ，原长为 ，kOL静伸长为 ，则对于以弹簧静伸长末端为坐标原点，铅直
22、向st下的坐标 OX，重物运动微分方程应为 x【例】习题 9-18第 11 章动量定理1质点系动量的计算质点系的动量为质点系中各质点动量的矢量和，即 vpm在直角坐标系中可表示为kjip)()()( zyxvm质点系的动量还可用质心的速度直接表示，即CM 2质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系，可表示为如下几种形式：质点系动量定理)(edtFp质心运动定理)(eCMa3动量定理的应用应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：（1）质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，OL st O m X 15只需将外力表示
23、在受力图上。（2）应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。（3）当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即常矢量 外力系的主矢量在某一轴（如 x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数常数 第 12 章动量矩定理1. 转动惯量刚体对 Z 轴的转动惯量 2mrJZ2质点系动量矩质点系对任意一点的动量矩为质点系中各点的动量对同一点的矩的矢量和，即vrLO质点系对轴 z 动量矩 zOizzm )(L平动刚体 CCOvrv定轴(z 轴)转动刚体 zJL平面运动的刚体 )(Czvm3质点系动量矩定理质点系的动量矩定理建立
24、了质点系动量矩的变化率与作用于质点系上外力的主矩之间的关系。可表示为如下几种形式：（1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于外力系对同一点的主矩，即 )()(eOeiOMFmdtL用投影式表示为 )()()()()()( , , ezeizzeyeiyyexeix MFmdtLtMFmdtL16（2）相对质心动量矩定理 质点系相对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 )()( eCeiCMFmdtL（3）刚体绕固定轴转动的微分方程 )()()( ezzezzezz dtJtJMJ 2或4刚体平面运动微分方程;)( , )(eCCeFmJYyXx5
25、动量矩定理的应用在应用动量矩定理时，应注意以下几点：（1）正确计算质点系的动量矩；（2）质点系动量矩的变化率与外力矩有关。所以，在分析问题时要明确研究对象，分清内力与外力；（3）当对固定点的外力矩为零时，质点系对该点的动量矩守恒。即时， 常矢量0)(eOMOL或对某轴（如 z 轴）的外力矩为零时，质点系对该轴的动量矩守恒。即时， 常数)(ez z 例 两质量各为 8 kg 的均质杆固连成 T 字型，可绕通过 O 点的水平轴转动，当 OA 处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承 O 的反力。解： 选 T 字型杆为研究对象； 受力分析如图示； 运动分析：刚体绕 O 轴
26、转动； 根据定轴转动微分方程求解： 502mgJO221713lll22750508989817srad. .17再根据质心运动定理有： mgYaXOCyx22)(运动学补充方程： ynx解得： N . . 32750382926437508CyOxmagYX第 13 章动能定理1.质点系动能的计算质点的动能 ： 21mvT质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和，即2i（2）刚体动能的计算平动刚体： 21cMvT定轴转动刚体： ZJ平面运动刚体： 22211ccPJv分别为刚体对固定轴，质心轴和瞬心轴的转动惯量。PcZJ;2. 力的功的计算作用在质点系上的力通常为变力，变力的元功为dsFW.
27、力在有限路程上的功为 或 如（1）重力在有限路程上的功为即决定于轨迹两端的高度差，而与轨迹形状无关。18（2）弹性恢复力在有限路程上的功为其中 为弹簧刚度系数，弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形，而与轨迹形状无关。 3. 动能定理微分形式的动能定理： WdT积分形式的动能定理： 12动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下的运动规律。4. 机械能守恒在理想约束的情况下，若作用在系统上的主动力有势,则系统的机械能守恒，即应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。常见势力的势能，（1）重力势
28、能 式中 由零势面铅垂向上为正。（2）弹性恢复力势能式中 为弹簧的变形量。以弹簧原长处为势能零点。5. 普遍定理的综合应用普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中，往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题：已知作用于系统上的主动力，需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点，考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系，在理想约束的情形下，应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后，再应用相应的普遍定理，通常是应用动量定理或动量矩定理，以求出未知的约束力。例
29、 图示系统中,均质圆盘 A、B 各重 P，半径均为 R, 两盘中心线为水平线, 盘 A 上作用矩为M(常量)的一力偶；重物 D 重 Q。问下落距离 h 时重物的速度与加速度。 (绳重不计，绳不可伸长，盘 B 作纯滚动，初始时系统静止)解： 取系统为研究对象； 计算主动力的功；19)/( )( RhQmWF 运动分析计算动能； 01T)( PQgv RgPvQRgPJvJ BABCAO7816 2312122 22 根据动能定理求解： )(12FWT由 PQhgRMvhQRPQgv 7840786 )/( )()(上式求导得： )( )(dthvtdtvg216PQRMa78)/(综合9：已知均质曲柄 OA 长为 L，质量为 ，力偶矩 M 为常数；滑块 A 光滑，质量不计；框1m架质量为 ，质心在 C 点，框架与滑道间的摩擦系数为 ，当曲柄与水平线夹角为 时，系统2mf 0由静止开始运动。求：曲柄转过一周时的角速度。例 13-9、综合13、综合1420第 14 章达朗伯尔原理刚体作平动、定轴转动、平面运动时惯性力与惯性矩的施加。补充题：
