1、1数理统计习题答案第一章1.解： 122521222940361090435016534nii iXxSx 2. 解：子样平均数 *1liiXmxn8340626子样方差 22*1liiSmxn22228403410646460.7 子样标准差 2.3S3. 解：因为 iixayc所以 ii1nix1niiiiacy1nicay所以 成立xcy221nxiisx 221221niiniiniiacycy因为 所以 221nyiis成立2xysc17281203.4.21enenMXR04. 解：变换 20iiyxi1 2 3 4 5 6 7 8 9ix1939 1697 3030 2424 2
2、020 2909 1815 2020 2310iy-61 -303 1030 424 20 909 -185 20 3101nii 63014209185203924.21nyiisy222222640.340.1304.92.9.185.7034 利用 3 题的结果可知22.197xys5. 解：变换 08iixi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13ix79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02iy-2 4 2 4 3 3 4 -3 5 3 2 0 211ni
3、iyy 243453203.0221nyiisy2222.03.05.034.035.7利用 3 题的结果可知12480.15371yxs6. 解：变换 iiy*ix23.5 26.1 28.2 30.4iy-35 -9 12 34im2 3 4 11liiyn35291430.=26.8571yx221lyiismyn222235.91.541.534.04.2 1.xys7 解：身高 154 158:158 162 162 166:166 170 170 174:174 178 178 182:组中值 156 160 164 168 172 176 180学生数 10 14 26 28 1
4、2 8 2*1liixmn 5601462176821780222*1liismxn222220564606418612781783.4 28 解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1 ，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.211728123.4.21enenMXR9 解： 12112nijxxx12nx2112niisx10.某射手进行 20 次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：环数 10 9 8 7 6 5 4频数 2 3 0 9 4 0 2试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。解：环数 10 9 8 7 6
5、 5 4频数 2 3 0 9 4 0 2频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.120.14637.7599101xFxx 11.解：区间划分 频数 频率 密度估计值154 158:10 0.1 0.025158 162 14 0.14 0.035162 166 26 0.26 0.065166 170 28 0.28 0.07170 174:12 0.12 0.03174 178 8 0.08 0.02178 182 2 0.02 0.0050501001502001 2 3 4 5 6 7 8 9身高学 生 数312. 解：ixP:iExiDx1,2in1122nniiiii
6、iXDxxn13.解： ,ixUab:iabE21ibaD1,in在此题中1,i0ix3ix,2i1123nniiiiiiEXEDxDx14.解：因为 ,iN:0iX1iXD所以 01iX1,2in由 分布定义可知2服从 分布22211nniii iXY2所以 :15. 解：因为 0,iN,2in 1230,XN:123XE13D所以 1230,N:42131X:同理 2456由于 分布的可加性，故2221345633XXY:可知 C16. 解：（1）因为 20,iN:1,2in1iX所以 221niiYn:1 112Y yFyPy20yfxd211 21YYyfyFf因为 2200nxefx
7、x 所以 2112 00nyYefyy （2） 因为 2,iXN:1,2in1i5所以 221niiXYn:22 22 0nyYnYFyPyfxd222 2YYff故 2212 00nnyYeyfy （3）因为 2,iXN:1,2in10,nii所以 22311niiXY:23 33210ynYFyPyfxd233 21YYffn2 21 00xefx 故 23 0ynYefy （4）因为 20,iXN:1,i6所以 122410,1niiniiXNY:242 2444 10 21yYYFyPyfxdff故 24 00yYefy 17.解：因为 Xtn:存在相互独立的 ，UV0,1N:2V使
8、Xn21U:则 2XVn由定义可知 21,F:18 解：因为 20iN1,2in1,1niiX:21nmii所以 111 221nniiiimnmiiiniXYt:7（2）因为 0,1iXN:1,2inm2121niinmii n:所以 22112 21,niniiimniiiniXYFnm:19.解：用公式计算20.10.1929U查表得 .3U代入上式计算可得 20.13.62.20.解：因为 Xn:En2Dn由 分布的性质 3 可知20,1nN:2XncPc21limcntn cned故 2cPXn第 二 章1. 00,()1()xxxxefEfde令从而有 82. 1121).()()
9、kkxxEpp令 X所以有 1p） 其似然函数为11()()nixinXiLPpll10nid解之得 ipX 解：因为总体服从（a，b）所以921!()3niabnEXrS（ -）（ ） D（ ） =令 （ ） （ ） ，+（ ） 4. 解：（1）设 为样本观察值则似然函数为：12,nx1()0,lnliiniLd（ -）解之得： 1linix（2）母体 X 的期望 0()()1Efd而样本均值为： 1()nixX令 得5.。解：其似然函数为：10111()2()ln0ni ixxiiiLe令得 ：（2）由于 0 0112()()xxxxnniiiEedededE 所以 为 的无偏估计量。i6
10、. 解：其似然函数为：(1)(1)()()!kknnxxi iLeeiiilllXii1n()0nidk解得1niX(),0,fx解：由题意知：均匀分布的母体平均数 ，20方差 12)0(2用极大似然估计法求 得极大似然估计量11似然函数： niL1)( niix1)(ma0选取 使 达到最大 取 ni1由以上结论当抽得容量为 6 的子样数值 1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时即 2.,1.403.12.28. 解：取子样值为 )(,(21inxx则似然函数为： iieL1)()ixni nii11)()(l要使似然函数最大，则需 取 ,m2nx即 =),in(19. 解：取子
11、样值 )0,(2,1ixx则其似然函数 nii xnixeL11)niL1l)(lnnid1)(l xni1由题中数据可知 20)654570351250124536(10 x则 .10. 解：（1）由题中子样值及题意知：极差 查表 2-1 得 故7.452.6R429.015d 025.7429.0（2）平均极差 ，查表知 1.03.10 .15.34.12解：设 为其母体平均数的无偏估计，则应有u x又因 4)2610348(601x即知 12. 解： )1,(NX， ， 则)(ixEixD)2,1(i 2113)(EXE21243E3)(X所以三个估计量 均为 的无偏估计321, 951
12、4914)3()( 221 DXD同理可得 ，852(2可知 的方差最小也亦 最有效。313 解： )(PX)(,XDE1)( 22*niiSE )()122XnEnii)()(122ni )(即 是 的无偏估计2*S又因为 niiniinii EXEXE111)()()即 也是 的无偏估计。X又 ,0 )1()()()( 2*2* SSa因此 也是 的无偏估计2*)1(14.解：由题意： ),(2NX因为 )()()()( 211 122 iini iiii XEXDCXEC1321211 )1(0)()( nCXDCnini ii要使 只需 所以当 时 为 的无偏估计。2)(E)1(nC)
13、(215.证明： 参数 的无偏估计量为 ， 依赖于子样容量Dn则 由切比雪夫不等式,0故有limDn 1lipn即证 为 的相合估计量。16 证明：设 X 服从 ，则分布律为 ),(pNB kkNPXPC)1()(),21(N这时 PE)( )1(XD22ED例 4 中 所以 （无偏）p NE)nPPNX)1(22罗克拉美下界满足 nk PNKNPKNRLpI C0 2)1()1(1 NK KNKNLnnP0 2)1()()( KNKNPn02)1(1 )1(2)( 222 PEXPEXEX222222 )()()( NPN )1(n14所以 即 为优效估计PDnNIR)1(p17 解：设总体
14、 X 的密度函数2)(1)(xexf似然函数为 ni xnxiii eeL1 2)(22)(2 1)( 2122)()(ninLn 02)(412nixdLiix122)因为 =dxfLn)(2dxe2)(2421)( = =)()(1428 XE4n故 的罗克拉美下界242nIR又因 niiXE122)(niiXE12)(且 niiD122)()( 4n所以 是 的无偏估计量且 故 是 的优效估计2 )(2DIR218 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，所以 近似服从nSXU)1,0(N12uP得置信区间为 nsx2()2nsux已知 s=40 95.01=1000 查表知 代入计
15、算得x96.12u15所求置信区间为（992.16 1007.84）19.解：（1）已知 则由cm01.)1,0(NnXU2uP解之得置信区间 nX2()2nuX将 n=16 =2.125 645.105.2u01.代入计算得置信区间（2.1209 2.1291）（2） 未知 )1(ntSXT2tP解得置信区间为 2(tnsX)2tns将 n=16 代入计算得753.1)()15(0.2tt 09.S置信区间为（2.1175 2.1325） 。20 。解：用 T 估计法 )1(ntSXT)1(2ntP解之得置信区间 2(tSX)2*tnS将 n=10 查表6720XS 6.9(05.t代入得置
16、信区间为（6562.618 6877.382） 。21解：因 n=60 属于大样本且是来自（01）分布的总体，故由中心极限定理知 近似服从 即)()1(pnXpni )1,0(N161)1(2upnPX解得置信区间为 2)(n)1(2unpX本题中将 代替上式中的 由题设条件知nU5.0U查表知05.)()1(2pn 96.1025.n代入计算的所求置信区间为（0.1404 0.3596）22 解： 已 知 故2)1,0(NnXU由 解得12uP置信区间为 , 2(nX)2un区间长度为 于是2uL2计算得 即为所求24ULn23解： 未知，用 估计法 )1()1(222nSn 221P解得
17、的置信区间为 ，2)1(Sn)1(2Sn（1）当 n=10， =5.1 时 查表 =23.59 =1.73S)9(205. )9(25.0代入计算得 的置信区间为（3.150，11.616）（2）当 n=46， =14 时 查表 =73.166 24.311 )4(205.)4(295.017代入计算可得 的置信区间为（10.979，19.047）24解：（1）先求 的置信区间 由于 未知)1(ntSXT2tP得置信区间为 2(tnSX)2tnS经计算 查表 n=20 203.15SX093.)1(025.t代入计算得置信区间为（5.1069 5.3131）（2） 未知 用统计量 )1()1(
18、222nSn221P得 的置信区间为 2)1(Sn)1(2Sn查表 =32.85 =8.91)19(205.)9(275.0代入计算得 的置信区间为（0.1675 0.3217）25解：因 与 相互独立，所以 与 相互独立，故1nXnX,2 1nX)1(02N又因 且与 相互独立，有 T 分布的定义知)(2nSn1)1()1(121 ntSXnXn26 解：因 ),NXi mi,2),(2NYj nj,118所以 ， ),0()(21mNX ),0()(22nNY由于 与 相互独立，则Y)(,0)()( 221 n即 又因 )1,(21NnmYX)1(2msx)1(2nsy则 )(22syx构
19、造 t 分布 =nmYX21)()2(2)()(21 nmtnmsYXyx27 证明：因抽取 n45 为大子样)1()1(22*2nsn由 分布的性质 3 知近似服从正态分布)1(2nU)1,0(N所以 2uP得 或22)1(n 222)1(unsu可得 的置信区间为2221,1unsuns28 解： 因 未知，故用 统计量2T19)2(1)(2mntnsYXTw其中 而 2)()(12s05.2mn查表 4.)(025.t计算 681X15.7Y， ， 代入得9.21s02s625.32ws97.1)(2 mnntYw故得置信区间 )4237.1,.629 解： 因 故用 T统计量21其中)
20、2()(2mntnsYXTwBA2)1()(12mnSSW12tP计算得置信区间为mntSXWBA 1)2(2 )1)2(2mntSXWBA 把 =0.000006571 =2.364 2 )7(2t代入可得所求置信区间为（-0.002016 0.008616） 。30解：由题意 用 U 统计量)1,0()(21NmSnX计算得置信区间为2uP20mSnuX2121( )2121mSnuX把 7.1X6.221035.038.0代入计算得 置信区间905.2u )51.,9(31解：由题意， 未知，则21,u则),(1221*2nFS 1),()1,( 1221 nFnFP经计算得 ),(),
21、( 2*1221*2121 SSP解得 的置信区间为21 2*122*121 ),(,),( nFSnF61n9245.02*1S357.0*05.查表： 8.),5(0.F 27.8.41),(),8(025.975.0 F带入计算得 的置信区间为： 。21639.,14(32. 解： 未知，则 即：)*ntSXT1)(ntTP有： 则单侧置信下限为：1)(ntP nStX*)(将 带入计算得6720X*S083.)9(5.t 471.6592即钢索所能承受平均张力在概率为 的置信度下的置信下限为 。%.33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量 n=100 为大子样。令 为样本均值，由中心
22、极限定理X又因为 所以)1,0(2NnP2S12unSpXP21则相应的单侧置信区间为 ， ()2unSX将 =0.06 X94.06)12nmS 645.105.代入计算得所求置信上限为 0.0991即为这批货物次品率在置信概率为 95%情况下置信上限为 0.0991。34.解：由题意： )1()1(222nSn1)(12nP解得 的单侧置信上限为)(21S其中 n=10， =45， 查表 3.325S9)5.0n代入计算得 的单侧置信上限为 74.035。第三章1.解: 假设: 26:,:10H由于 已知,故用统计量2.5)1,0(Nnxu的拒绝域 2uP2u2.14.5627nx因显著水
23、平 ,则05. 9.1.1025.这时,就接受 0H2. 解: (1) 已知,故 的拒绝域)1,0(0Nnxu2uP2u因显著水平 ,则2.3105.0nxu01.故此时拒绝 :76.2.35.u 0H5u22(2) 检验 时犯第二类错误的概率8.4u令 则上式变为xdennn02022001 nt0012 20124.580(4.58).)9790.1ut tneded3. 解:假设 25.3:,25.3:10H用 检验法拒绝域 , t )(2*ntsxT01.25.3x查表 6041.)(012.t .,017.*s代入计算 )(32.tT故接受 ,认为矿砂的镍含量为0H5.34 解:改变
24、加工工艺后电器元件的电阻构成一个母体,则在此母体上作假设,用大子样检验6.20拒绝域为 由)1,(Nnsxu2u01.,6.,2.,0sxn查表得 57.2 2057.3.16. unsxu故新加工工艺对元件电阻有显著影响.5 .解：用大子样作检验，假设 00:H)1,0(0Nnsxu近 似23拒绝域为 由2u 96.1,05.,162.,94.0,73.,0 2. usxn 故接收 ，认为新工艺与旧工艺无显著差异。96.183.016.0 nsx0H6.解:由题意知，母体 的分布为二点分布 ，作假设X),1(pB)17.0(:0pH此时 )(个 产 品 中 废 品 数为mnx因 很大，故由中
25、心极限定理知 近似服从正态分布。40x故 即)1,0()1(0Nnpu )1(20unpmP计算得拒绝域为 u)(020把 代入17.,96.,4,56005.2pnm 3.8.3.170p即接受 ，认为新工艺不显著影响产品质量。0H7 解：金属棒长度服从正态分布原假设 ，备择假设 5.10:0H01:H拒绝域为)1(ntsxt2t48.10)7.6.04(15x样本均方差 237.0)48.17(.(2s于是 而 因3.01527.0nsxt.)(025.t 14故接受 ，认为该机工作正常。0H248解：原假设 ，备择假设120:0H01:H，拒绝域为 将 代入计算)1(0ntsx 2tT5
26、.,32,958sx故拒绝原假设即认为期望。06.)13(5.243025.0tnsx9 假设 使用新安眠药睡眠平均时间8.2:,8.: 010 HH.4).23.7.26(1x 296. )2.4.3()47(2s所以拒绝域为046.729.0nst )1(05.nt查表 故否定tt.3.1)6(05. 0H又因为 故认为新安眠药已达到新疗效。8.2.4x10 原假设 乙甲乙甲 ， :10H)1,0(Nu21近 似乙甲 nsx解得拒绝域 2u代入计算10n,4.5s.2s68x,11 03.81504.2nsx2121 查表 因96.u025. 96.03.8故拒绝原假设即两种枪弹速度有显著
27、差异。11解：因两种作物产量分别服从正态分布且 2125假设 故统计量21210:,:H)2(112ntnSYXTw其中 拒绝域为2)()(1nssSyxw 2t代入计算 063.4s 87)1()(05.212 tt代入数值 的观测植为 T 5.06.91063.4.97t因为 )18(7.285.005.tt所以接受 ，认为两个品种作物产量没有显著差异。H12 解：因两台机床加工产品直径服从正态分布且母体方差相等，由题意假设 统计量21210:,: )2(112ntnSXTw拒绝域为 数值代入计算2)()(1nssSw 2t5473.0ws因265.017.543.092,6.).(955
28、.208211tssx )13(60.25.25.tt故接受假设 ，认为直径无显著差异。0H13解：由题意设施肥，未施肥植物中长势良好率分别为 （均未知）2,1p则总体 且两样本独立假设),1(),(21pBYX 10:H既 而 均未知，则:.:0 yExHyEx)(,yDx26由题意易得)1,0(21Nnsyxu 2491.0)1(53,7.)(8093,0221ysnxs于是 查表6.5.03149.037.821nsyx 64.3.201.u故应拒绝 ，接受 即认为施肥的效果是显著的。0H（1） 14 解：假设两厂生产蓄电池容量服从正态分布。由于 未知，故假21,设 选取统计量21210
29、:,: )(1212ntnSXTw拒绝域为 2)()(1nssSw 2t)8(094,025.1tTx故接受 ，即认为两种电池性能无显著差异0:H（2）检验要先假设其服从正态分布且 2115 解：由题意假设 由于 未知。故048.:,048.:0 H拒绝域为 )1()1(2202nsn 212或 7.5,sn得 的观测值 查表得5.13048.72 14.)()(205.2n因为 故拒绝 ，认为母体标准差不正常。)(1.5.325.20H16解：由题意熔化时间服从 假设)4,N40:,40:2120H拒绝域为)1()(2202nsn 2122或代入计算40,7.4,522s 9.4)(2sn2
30、7查表 56.4)2()1(05.2n因为89.95.021 56.429故接受 ，即认为无显著差异。0H17证明：大子样在正态母体上作的假设 )1()1(:22200nsn因 很大，故由 分布的性质 知 分布近似于正态分布3)1(2n而 给定显著水平 ，则)1n(2,N,0N)1n(2即可计算u)1n(2P2 22 )1()(1)( unn或拒绝假设 0H相反： 22)1()()1(2)( unun若则接受 ，即证。018 解：（1） 未知假设 则20100:%,5.: HH)1(0ntsxT拒绝域为 tT 5.,162.3,37.,.,45.0 nsx查表 26)9(025.t因为 )9(
31、26.10.46.3%7.8025.tnsx 故拒绝假设 ，即认为0H0（2） 未知假设 2012:,4.: H)1()1(220nsn28拒绝域为 212或 025.,1,%04.,037. 22ns查表 7.2)9(01207579)(220n故 故接受)(05 04:H19解：甲品种 乙品种,21NX),(2NY假设 而均值未知，则21210:,:H10,.16.7,),(212 小大小大 小大小大 ， nssnnFs yx代入计算 查表0.1.2 54.6)9,(),(05.2FF小大而 故接受 ，认为产量方差无显著差异。)9,(5460.105.F0H20 解：甲机床加工产量 乙机床加工产量),(21N),(2N假设 未知，则21210:,:H, 1,2小大小大 nFs故 代入计算22121 396.0,64.0,7,8 大小题 计 算 知由 ssn 8712小大3.64.09F查表 )7,6(12.58.2.5)(05.2.2F小大 ，故接受 ，认为两台机床加工精度无显著差异。0H21解： 测定值母体都为正态分布BA, )(:),(: 2,21NYBNXA假设 未知，则21210:1,),(2小大小大 nFs 2221 506.,43.0,7,5 大小 sssn故 571n小大 8.432.06
