1、经济数学基础辅导 4叶挺峰第一编 第三章 导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容：一、 如何确定函数的单调区间？1、定理：设 y=f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，若 X（a,b）,有（1） f(X)0 ，f(X)在 a,b上单调增加；（2） f(X)0 ，f(X)在 a,b上单调减少；此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数 y=f(x)单调区间步骤：（1） 确定 Y=f(x)的定义域 D；（2） 求 Y；（3） 令 Y=0，求出根；（4） 用 Y=0 的根，划分 D 为几个小区间，列出表格判别；（5） 结论。例如：
2、确定函数 的单调区间。3129)(3xxf解：f(x)的定义域： ,)(61286)(2xf=6(X-1)(X-2)令 即 6（X-1） （X-2）=001f得 X1=1，X2=2列表X （-，1）1（1，2）2（2，+）Y + - +Y 注意：确定 Y的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如：0，1.5，3，代入 f(X)式中定出 y的正、负号，再用符号“” 、“”分别表示，曲线上升或下降。故 f(x)单调增加区间为（-，1,2，+)，单调减少区间为1，2 二、 函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：f(x)在点 X0处可导，点
3、 X0是 f(X)的极值点，则 f（X0）=02、驻点：使 f(X)=0 的点，称为 f(X)的驻点（或稳定点） 。注意：（1）点 X0是 f(x)的极值点（或稳定点） ，f(x)在 X0处可导，则点X0必定是驻点；（2）驻点不一定是极值点；（3）在导数不存在的点处，可能有极值。3、极值存在充分条件：设 f(x)在点 X0 的邻域连续且可导（f（X0）可以不存在） ，当 X 从X0的左侧到右侧取值时，f(X)符号：从+变-，X0 为极大值点，f(X0)为极大值；从-变+，X0 为极小值点，f(X0)为极小值；不变号，X0 不是极值点，f(X)在 X0 处无极值。用以上定理，可判别 X0是不是
4、f(X)的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如：求函数 的极值。xf32)(解：f(x)的定义域（-，+）3312)( xxf令 f(X)=0 则有 023得驻点 X=8X=0 使 f(X)无意义，X=0 是 f(X)不可导的点。列表X （-，0） 0 (0,8) 8 (8, + )y - 不存在 + 0 -y 0 4 极小值 极大值 故 X=0 是极小值点，极小值 f(0)=0x=8 是极大值点，极大值 f(8)=44、函数的最值：函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论：f(x)在a,b上连
5、续，在（a,b）内可导，且 X0 是 f(x)在（a,b）内唯一驻点，那么当 X0 是 f(x)极大值点（或极小值点）时，X0 一定是 f(x)在a,b上的最大值点（或最小值点） ，f(x 0)是函数 f(x)的最值。例如：生产某产品的总成本函数C（X）= 214x求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解：平均成本cxA0)(22 414)(x令 A（X）=0，则有 =00得 X1=20 X2=20(舍去)当 X20 时， A（X ）0X=20 是极小值点，在（0，+ ）内驻点唯一，X=20 也f(c(x)是最小值点。故当产量 X=20 时，平均成本最低，最低平均成本为A（20）= 50210
6、4三、导数在经济分析中的应用1、需求（价格）弹性设某商品的市场需求量为 q，价格为 P，需求函数 q=q(P)可导，则称 )(pqE为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少）|E p|%。例如：某种商品的需求量 q(单位：百件)与价格 P（单位：千元）的关系为：p0，10315)(epq求当价格为 9 千元时的需求弹性。解： 3153 epqEp当 P=9 时，392、三个边际函数（1） 边际成本：边际成本是总成本函数 C（q）关于产量 q 的导数，记为 MC，则有MC=C（q） 。经济意义：当产量为 p 时，再生产一个单位
7、产品所增加的成本。即边际成本是第 q+1 个产品的成本。（2） 边际收入：边际收入是总收入函数 R（q）对销售量 q 的导数，记为 MR。经济意义：当销售量 q 时，再销售一个商品所增加的收入。（3） 边际利润：利润函数 L=L（q）对销售量 q 的导数，称为边际利润，记为 ML。由于利润函数 L（q）=R(q)-c(q), 则有 L（q）=R(q)-c(q)例如：已知总成本函数为C（q）=2000+450q+0.02q销售单价为 490，求1） C（q）2） L(q)及 L(q)解：1）C(q)450+0，04q2)总收入函数R(q)=pq=490q利润函数：L(q)=R（q）-C(q)=4
8、90q-(2000+450q+0.02q)=-0.02q+40q-2000边际利润函数为：L(q)=-0.04q+40自测题:一、选择题：1、函数 y=x-4x+5 在区间（0，+ ）内 f(c(x)A、单调增加 B、先单调增加后单调减少C、先单调减少后单调增加 D、单调减少2、下列结论中正确的是（ ） 。A、函数的驻点一定是极值点 B、函数的极值点一定是驻点C、函数的极值点处导数必为 0 D、函数的导数为 0 的点一定是驻点3、设需求函数 q= ,则需求弹性 EP=（ ）210peA、 B、250pe 210peC、 D、二、填空题1、f(x)在（a,b）内 有 f (X)=0,则 f(X)
9、= 。2、函数 f(x)= x-1 的单调下降区间是 。3、已知需求函数 ，则需求弹性 EP= 。3210)(pq三、计算题1、 确定函数 的单调区间。32xy2、 求函数 f(x)=-X4 + x32x + 2 的极值。833、 某产品固定成本为 18（万元） ，可变成本 2x +5X（万元） ，其中 X 为产量（百台） ，求使平均成本最低的产量。4、 某产品的需求量 q=250-2P(P 为价格)，价格为多少时，可使收入最大？5、 已知某商品的需求量 q=1200-100p(件)，其中 P 是价格（元/件） ，求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、 某厂生产 X 个产品的成本为C（ X
10、）= 2X +100（元）得到收益为 R（X）=8X0.01x(元),问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少?答案：一、 选择题：1、C 2、D 3、C二、 填空题：1、C （常数） 2、 （0，+ ） f(c(x)3、 320p三、 计算题：1、 f(x)单调增加区间（，-1，3，+)单调减少区间为-1，32、 X=0 是极大值点，极大值 f(0)=23、 3(百台)4、 62.55、 q=600(件),最大收入 R(600)=3600(元)6、 q=300(个),最大利润 L(300)=800(元)经济数学基础辅导 5叶挺峰第二编 一元函数积分学四四四 一元函数积分学一、 不定积分
11、1、什么是原函数？设 f(x)是定义在区间 D 上的函数，若存在 F(x)，对任何 xD ， 均有 F(x)=f(x)(或 dF(x)=f(x)dx)则称 F(x)为 f(x)在 D 上原函数(简称 f(x)的原函数)。注意：函数 f(x)的原函数不唯一，有无穷多个。f(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如：F(X)是 f(x)的一个原函数，C 为常数，有F(x)+C=F(x)=f(x)。2、不定积分定义：对于某区间 D 上的函数 f(x)为可积函数，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将 f(x)的全体原函数记为f(x)dx ，并称它为函数 f(x)的不定积分。若 F(x)是 f(x)
12、的一个原函数， C 为任意常数，由于 f(x)的全体原函数可表示为 F(x)+C，则有f(x)dx=F(x)+C其中 C 称为积分常数。3、为什么求积与求导互为逆运算？在f(x)dx= F(x)+C 中，两边对 x 求导， 则有f(x)dx= F(x)+C=F(x)=f(x)又因F (x) dx=f(x)dx= F(x)+C上式表明：对 F(x)先导后积，结果是 F(x)加上一个常数。可见：求积与求导(或求微分)互为逆运算。4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。odx=c xndx= +C(n1)xn+1n+1 = l
13、n|x|+c a xdx= +cError!dxx axlnae xdx=ex+c sinxdx= cosx+ccosdx=sinx+c = cotx+cdxsin2x = tanx+cdxcos2x二、 基本积分方法：(一) 不定积分常用性质1、 代数和分开积f(x) g(x)dx=f(x)dx g(x)dx2、 常数因子提出来kf(x)dx = kf(x)dx (k0 常数)(二) 积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例 1：求下列不定积分(1) (3x 22x+1)dx解：原式=3 x 2dx2xdx+ dx=3 2 x+c=x 3-
14、x2+x+cx32+1 x21+1(2) ( + 2x)dx12x解：原式= dx+ 2xdx= ln|x|+ + c12 1x 12 2xln2(3) e x(1+e-x)dx解：原式= exdx+dx=e x+x+c(4) tan 2xdx解：原式= dx = dxsin2xcos2x 1-cos2xcos2x= dxdx = tanxx c1cos2x2、凑微分法(又名第一换元法)这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即fu(x)u(x)dx fu(x)du(x) u(x)=u，有
15、f(u)du = F(u)du = dF(u)故dF(u) = F(u) + c=Fu(x)+c u=u(x)注意：使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量；在结果中要回代，消去中间变量。例如：求e 2xdx解：令 2x = u ,(以便用e xdx 公式)du = (2x) dx = 2dx dx = du12原式 = e u du = e u du = e u +c= e 2x +c12 12 12 12例 1、 求下列不定积分(1) dx12x-1解：令 2x-1=u (以便用 dx 公式)1xdu = (2x-1) dx=2dxdx = du12原式 = du = du1u 12
16、 12 1u= lu|u| + c = ln|2x-1|+c12 12(2) dxsin 1xx2解：令 =u du = dx1x 1x2原式sin ( )dsinuducosu + c cos + c1x 1x2 1x熟悉了凑微分法求积分，可以省略换元、回代，但要熟记下列常用的凑微分公式，公式是：(1)adx = d(ax+b) (a0 常数，b 常数)(2)xdx = dx2 (3)cosxdxd(sinx)12(4)sinxdx = d(cosx) (5) dx2d(Error!1x(6) dx d( ) (7) dxd(lnx)1x2 1x 1x(8) exdxd(e x)例 3：求下
17、列不积分(1) sin2xdx解：原式 sin2xd(2x) cos2x+c12 12(2) tanxdx解：原式 dx ln|cosx|+ csinxcosx dcosxcosx(3) dxlnxx解：原式nxdlnx ln2xc12(4) dxex1+ex解：原式 ln|1+e x|+cd(1+ex)1+ex3、分部积分法这是求不定积分另一种重要方法，是本章重点之一。在被积表达式中，出现函数之积，需要分部积分法求积。(1)分部积分公式：设 uu(x)，v = v(x)都是连续可微函数，则udvuvvdu(2)u、dv 选择的原则在被积表达式中，对出现下列情况时，u、dv 选择的原则是：xk
18、 eax dx1 xk sinax dx 选 ux k ，其他为 dvxk cosax dx2 eaxsinbxdxeaxcosbxdx 选 ue ax,其他为 dv3xklnmxdx 选 u = lnmx，其他为 dv。(3)分部积分时， dv 中函数 v 如何找？1用凑微分得到2一时无法凑微分，可用不定积分dvv + c 求得一个原函数 v，把 v 放在 d 之后，不必把积分常数 c也放入 d 之后，因为 d(v+c)=dv。例 4：求下列不定积分：(1) x 2exdx解：原式= x2dexx 2exe xdx2 = x2ex2xe xdx= x2ex2xde x = x2ex2xe x
19、e xdx= x2ex2x e x+2ex+ c = (x22x+2) e x+ c从上例可见，分部积分公式可反复使用。(2) e xcosdx解：原式= exdsinx=exsinxsinxde x = exsinxe xsinxdx=exsinx+e xdcosx = exsinx+excosxcosxde x=exsinx+excosxe xcosxdx+2c则 2e xcosxdx(sinx+cosx) ex+2c原式 (sinx+cosx) ex+c12(3) 2xlnxdx解：原式= lnxdx2 x2lnxx 2dlnx = x2lnx dxx 2lnxxdxx2x= x2lnx
20、 x2+c12自测题：一、 选择题：1、若 F( x)是 f(x)的一个原函数，则 f(3x+2)dx( )A、F(3x+2)+c B、 F(x)+c13C、 F(3x+2)+c D、F(x)+c132、若f(x)dxcos3x+c，则 f(x)( )A、3sin3x B、3cos3xC、 3sin3x D、3cos3x3、下列等式成立的有( )A、 dxd B、 dxd( )1x x 1x2 1xC、 sinxdxd(cosx) D、a xdx=lnadax4、下列等式正确的是( )A、 x2dx=d(x3) B、 dx=d(ln|x|)13 1xC、 sinxdx=d(cosx) D、 d
21、x=d(2x)2xln25、d(a -3xdx)=( )A、a -3xdx B、a -3x(-3lna)dxC、 a-3x D、a -3x+c6、若 f(x)是可导函数，则下列等式中不正确的是( )A、f(x)dx = f(x) B、f(x)dx = f(x)+cC、 df(x)dx=f(x)dx D、df(x)=f(x)二、 填空题：1、若函数 f(x)的一个原函数 F(x)=x3,则 f(x)= 。2、sin 2xcosxdx= 。3、若f(x)dx=x 2+c，则xf(1x 2)dx= 。三、 计算题：1、求下列不定积分(1) (x2 )dx (2) ( sinx)dx2x3 x-1x(
22、3) ex(3+2x)dx2、求下列不定积分(1) ex(1+ex)4dx (2) x dx1-x2(3) sin(1-2x)dx (4) cosxe sinxdx(5) cos dxcos xx3、求不定积分(1) xexdx (2) xlnxdx(3) xsinxdx (4) e xsinxdx(4) 2xln(x+1)dx答案：一、 选择题：1、C 2、A 3、B 4、B 5、A 6、B二、 填空题：1、6x 2、 sin3x+c 3、 (1x 2)2+c13 12三、 计算题：1、 (1) x3+ +c (2)xln|x|cosxc13 1x2(3) 3ex+ + c(2e)x1+ln22、(1) (1+ex)5+c (2)15 cx23)1(3) cos(12x)+c (4)esinx+c12(5)2sin +cx3、(1)xe x ex + c (2) x2lnx + c12 x24(3)xcosx + sinx + c (4) ex (sinxcosx)+ c12(5)x2ln(x+1) + xln|x+1|+ cx22
