2006经济数学基础.doc

1、12006 经济数学基础习题一、单项选择题1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） A y = x2 + 3 B y = x2 + 4 C y = 2x + 2 D y = 4x2下列等式不成立的是（ A ） A B )d(exx )d(cossinC D21 1lx3若 ，则 =（ D ）.cxfx2ed)()(xfA. B. C. D. 2e1x2e41x2e41x4下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ） A Bxc)dos( xd2C Dx2in125. 若 ，则 f (x) =（ C ） cfxx11ed)(A B- C D-221x6. 若

2、 是 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) )(FfA Bdxfxa )(d)(aFxfaC D)()(afbbbb7下列定积分中积分值为 0 的是（ A ） A B xxd2e1 xxd2e1C D )cos(3 )sin(8下列定积分计算正确的是（ D ） A B 2d1x 15d6xC D 0sin2 0sin9下列无穷积分中收敛的是（ C ） 2A B C D1dlnx0dex12dx13dx10无穷限积分 =（ C ） 13A0 B C D. 2211设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.A AB B ABT C A+B D BAT12设 为同阶可逆

3、矩阵，则下列等式成立的是（ B ）,A. B. T)( T)(AC. D. 11T)(A11T)(B13以下结论或等式正确的是（ C ） A若 均为零矩阵，则有 B若 ，且 ，则 B, COCC对角矩阵是对称矩阵 D若 ，则A,A14设 是可逆矩阵，且 ，则 （ C ）.AI1A. B. C. D. B1BB()IB115设 ， ， 是单位矩阵，则 （ D ） )2(A)3(IIATA B C D63625325231 6设 ，则 r(A) =（ C ） 31420A4 B3 C2 D117设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则此线性方程bAX 00124361组的一般解中自由未知量

4、的个数为（ A ） A1 B2 C3 D418线性方程组 解的情况是（ A ） 0121xA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解319若线性方程组的增广矩阵为 ，则当 （ B ）时线性方程组无解012AA0 B C1 D2120. 设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ D ） bXnmA B C D r)(nAr)(nmnAr)(21设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（ B ） A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解22设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ C ） XOXA无解 B有非零解

5、C只有零解 D解不能确定23设 ，则 （ C ） xf1)()(xfA B C D2 x2x24下列函数中为奇函数的是（ C ） A Bxy2 xyeC D1lnsin25已知 ，当（ A ）时， 为无穷小量.ta)(xf )(xfA. B. C. D. x01x26当 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A B C D 12)ln(x21exsin27函数 在 x = 0 处连续，则 k = (C )si,()0fxkA-2 B-1 C1 D2 28曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） xyA B C D 2123)1(2x3)1(2x29曲线 在点(0, 0)处的切线方程为（ A

6、 ） xysinA. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x230设 ，则 （ B ） lg2d4A B C D12dx1dxln0ln10xd1dx31下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） (,)Asin x Be x C x 2 D3 - x32设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 Ep=（ B ） pq3)(A B C Dp3232233函数 的定义域是（ D ） 1lgxyA B C D 且x0x0x1x034下列各函数对中， （ D ）中的两个函数相等A ， B ， + 12)(fg( 1)(2fg)(C ， D ，2lnxyxln

7、xxf22cossin35函数 的定义域是（ C ） 1lA B C 且 D0x1x1x00x36当 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）A B C D sin22ex )1ln(37下列等式成立的是（ B ） A B )d(cossix)d(2ln1xxC D1lnx38设 是可逆矩阵，且 ，则 （ D ）.AIA1A B C D )(IBIB39设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ B ） bXnmA B r)( nAr)(C D40设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ ） CbAXOXA无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定41下列函数中为偶函数的是（ C ） 5A

8、Bxy2 1lnxyC Desi242设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 Ep=（ D ） pq3)(A B 322C Dpp3243下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B 0dex13dxC D 12 sin44设 A 为 矩阵， B 为 矩阵，且 有意义，则 C 是 ( B )矩阵4325TAA B C D533545线性方程组 的解得情况是（ A ） 3121xA. 无解 B. 只有 O 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解46下列函数在指定区间 上单调增加的是（ ） B(,)Asin x Be x C x 2 D3 - x47曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）

9、 AyA B C D 2123)1(2x3)1(2x48下列定积分计算正确的是（ ） DA B d1x 5d61C D 0sin2 0sinx49设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） CBA,A B 11)(11)(BAC D50.下列函数中为奇函数的是（ ） C6(A) (B) xy2 xye(C) (D) 1lnsin51.设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 （ ） Dpq23)( pE(A) (B) 32(C) (D) pp2352.下列无穷积分中收敛的是（ ） B (A) (B) 0dex12dx(C) (D) 13 1ln53.设 A 为 矩阵， B 为 矩

10、阵，则下列运算中（ ）可以进行A23(A) AB (B) A+B(C) ABT (D) BAT54.线性方程组 解的情况是（ ） D0121x(A) 有唯一解 (B) 只有 0 解(C) 有无穷多解 (D) 无解二、填空题1 xde2 xde22函数 的原函数是 - cos2x + c (c 是任意常数) fsin)( 213若 存在且连续，则 x )(xf)f4若 ，则 .cf2)1(d) 1(x5若 ，则 = .xFfx)de(cFx)e(6 0 . e12)ln(dx7积分 0 12d)(x8无穷积分 是 收敛的 （判别其敛散性）02)(9设边际收入函数为 (q) = 2 + 3q，且

11、R (0) = 0，则平均收入函数为R72 + q310设线性方程组 ，且 ，则 时，方程组有唯bAX010236t1_t一解.11若矩阵 A = ， B = ，则 ATB= 21326412设矩阵 ， I 为单位矩阵，则 34)(I013设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 是BA,n 22)(BABA BA,可交换矩阵 .14设 ，当 0 时， 是对称矩阵.1320aa15设 均为 阶矩阵，且 可逆，则矩阵 的解 X= BA,n)(BIBAABI1)(16设 为 阶可逆矩阵，则 (A)= rn17若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b 无解 1

12、8若线性方程组 有非零解，则 -1 021x19设齐次线性方程组 ，且秩( A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 1nmXn r 20. 已知齐次线性方程组 中 为 矩阵，且该方程组有非 0 解，则 3 O53)(Ar21齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解为0AX021A(其中 是自由未知量) 4231x43,x22函数 的定义域是 (-5, 2 ) xf21)5ln()23若函数 ，则 xf )(f6x824设 ，则函数的图形关于 y 轴 对称210)(xxf25已知生产某种产品的成本函数为 C(q) = 80 + 2q，则当产量 q = 50 时，该产品的平均

13、成本为3.6 26已知某商品的需求函数为 q = 180 4p，其中 p 为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) = 45q 0.25q 2 27. 1 .xxsinlim28已知 ，当 时， 为无穷小量 fi)(0x)(xf29. 已知 ，若 在 内连续，则 2 .1)(2xaxf f(),a30曲线 在点 处的切线斜率是 y),( (1)0.5y31函数 的驻点是 .x312x32需求量 q 对价格 的函数为 ，则需求弹性为p2e10)(pqEp233已知 ，则 74)2(xxf _xf 32x34曲线 在点 处的切线斜率是 1y)2,( 135 4 12dsin(xx36设 ，当

14、3 时， 是对称矩阵.120aAA37设线性方程组 有非 0 解，则-121x38函数 的定义域是 -5，2 0,5)(2xf39函数 的定义域是 )ln(1xf ),2(),5(40函数 的间断点是 .()ex041若 ，则 . cf2d)(xfxx4ln42设 ，则 1 31A)(Ar943设齐次线性方程组 ，且 r (A) = 2，则方程组一般解中的自由未 知量个数为 OXA1533 44函数 的定义域是 -5, 2) 20,1)(2xxf45求极限 1 .xsinlim46若 存在且连续，则 )(f )(dxf)(xf47设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 BA,n 22B

15、ABA BA48设齐次线性方程组 ，且 r (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 01nmXn-r 49.函数 的定义域是 24)(xf ),2(,(50.函数 的间断点是 .1ef 0x51.若 ，则 cxF)(d)(fd)e(cFx)e(52.设 ，当 0 时， 是对称矩阵1320aAaA53.若线性方程组 有非零解，则 21x1三、计算题1 xd24解： = =x(2)dx21c2计算 xd1sin2解： cxx1os)(dsini2103计算 xd2解： cxx2ln)(4计算 xdsin解： cxxxsincodcso5计算 x1)l(解： = d)ln( xxd1

16、)(2ln1)(22= cx4)ln2(26计算 xde21=x21 212121e)(xx7 2e1dlnx解： =xl12e )lnd(1l2e1x= =2e1lnx)3(8 dcos20解： = -x20sinxdsin1= = co4x9 xd)1ln(e0解法一 xxd1)1ln()l(e0e0 解法二 令 ，则xu11uuxd1lndl)1ln( eee0 =e1u11设 ，求 xy2tan3yd解：因为 )(2ln)(cos32 xx 2lncos32x所以 xyxd)l(d3212计算积分 cos20解： = - xd2020in1xdsin1= =co4213设矩阵 A =

17、，计算 1201)(AI解：因为 04I且 ( I +A I ) = 120830141214123041所以 = 1)(AI 2321214求线性方程组 的一般解 53234221xx解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1302151324201001故方程组的一般解为：， 是自由未知量 1342x(x3415设矩阵 A = ，求逆矩阵 0121A解：因为(A I ) = 120830140124341234210所以 A-1= 216设矩阵 A = ，求逆矩阵 1531)(AI解：因为 021I13且 105203102115313 136所以 23560)(1AI17设矩阵 A = ， B

18、 = ，计算( BA)-1021解：因为BA= = 210302435(BA I )= 101455201253所以 ( BA)-1= 318设矩阵 ，求解矩阵方程 321,53BABXA解：因为102101325即 325所以， X = = = 15211325019设线性方程组 ，求0321x其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解：因为14210512230A30所以 r(A) = 2， r( ) = 3. 又因为 r(A) r( )，所以方程组无解. 20求线性方程组 的一般解03522412xx解：因为系数矩阵1035120A 012所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量） 4

19、32x3x421求线性方程组 的一般解1265321xx解：因为增广矩阵180941264215A 00194所以一般解为 （其中 是自由未知量） 194321x3x22设齐次线性方程组 08352312xx问取何值时方程组有非零解，并求一般解.解：因为系数矩阵15A = 6102383521501所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为（其中 是自由未知量）321x3x23当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.1542312x解：因为增广矩阵261050142A026所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为： 是自由未知量 2615321x(324已知 ，求 yxc

20、os)(y解： 2sinco()lxx225已知 ，求 ()sinlxf)(xf解： x1cosl226已知 ，求 2sicoyx)(y解： 4已知 ，求c)(in)( 2 x2cosln2sixx xy53elnxy解： )5(e)(ln3)(2 xxxy x52el31627已知 ，求 ；xycos25)(y解：因为 5lnsi2)co(5lncoscos2cs xxx 所以 lli)(s2y28设 ，求xy2cosed解：因为 212cos3)in(xx所以 xyxd23)sin(ed12co29设 ，求 xyx5sincoe解：因为 )(cos)(i4si xxin5cesin所以 x

21、xyd)sinco5se(d4i30设 ，求 xy2tan3解：因为 )(2ln)(cos132 xx 2lncos32x所以 yxd)ls(d3231设 ，求 xysinel解 )(co1sinxxxxyxd)cose1(din32计算定积分 2cos0解： = - xd2cos00in1xd2sin1= = 0co41733设矩阵 ，求解矩阵方程 321,53BABXA解：因为10532101325即 32所以， X = = = 15211325034当 取何值时，线性方程组 有解？在有解的情况下求方程组的一般4321796xx解. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 27102053147

22、96321 3194300251由此可知当 时，方程组无解；当 时，方程组有解3方程组的一般解为：， 其中 ， 是自由未知量 12594321xx3x435设 ，求 ycoslneyd解：因为 xxx tane)i(所以 yt36计算定积分 e1dlnx解： e122e1 )(lnll xx1841ed21e2ex37设矩阵 ， ，求 1430A10I 1)(AI解：因为 2I 10321004311)(IA1502 57761所以 152)(1AI38求齐次线性方程组 的一般解 03241xx解：因为系数矩阵10235120A 0123所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量） 四、应用题43

23、2x3x439 设 ，求 xyx5cos3yd解：由微分四则运算法则和微分基本公式得)(cosd)3(d55xxxcos3ln419xxdcosin5d3l4x)s(40. 计算定积分 e1l解：由分部积分法得 e122e1 )d(lnlndl xxx42e1241. 设矩阵 ，求 设矩阵210,10BA1T)(AB解：因为31201T所以由公式可得12. 求齐次线性方程组 121)(3)1()(TAB0352412xx的一般解42. ，求 解：因为系数矩阵210,10BA1T)(AB10235012所以一般解为 （其中 ，4321x3x是自由未知量）420五、应用题（本题 20 分）1设生产

24、某种产品 个单位时的成本函数为： （万元）,x xxC625.01)(求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本；10（2）当产量 为多少时，平均成本最小？ 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： xxC625.01)(， 65.0)(xC所以， 18.)(2，.61501C.)(（2）令 ，得 （ 舍去）2.x20x因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 20 时，平均成本最小. 0x x2某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 （ 为需求量， 为价格） 试求：qp1qp（1）成本函数，收入

25、函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解： （1）成本函数 = 60 +2000C()因为 ，即 ，qp01q10所以 收入函数 = =( ) = R()q102q（2）因为利润函数 = - = -(60 +2000) L()C= 40 - -2000 102且 =(40 - -2000 =40- 0.2q()q)q令 = 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，它是 在其定义域内的唯一驻点L() L()所以， = 200 是利润函数 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大()3某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元） ，单位销售价格

26、为 p = 14-0.01q（元/件） ，试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？21解：（1）由已知 201.4)01.4(qqqpR利润函数 22 0.qCL 则 ，令 ，解出唯一驻点 .0. . 5因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， （2）最大利润为（元）12300250.251)( L4某厂每天生产某种产品 件的成本函数为 （元）.为使平均成本最低，q986.)(qqC每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为 ()9800.536Cqq()q2().). 令 ，即 =0，得 =140， = -140（舍去）.

27、0Cq59802.q1q2=140 是 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 1()所以 =140 是平均成本函数 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为 140 件. 此时qC()的平均成本为（元/件）980(140).5361764C5已知某厂生产 件产品的成本为 （万元） 问：要使平均成本最少，应生产多qqq()25012少件产品？ 解：因为 = = Cq()2501= = Cq()2501q2501令 =0，即 ，得 ， =-50（舍去） ，q()250112=50 是 在其定义域内的唯一驻点1C所以， =50 是 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品

28、q()6投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边22际成本为 =2x + 40(万元/百台). 试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，)(C可使平均成本达到最低.解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为= = 100（万元）64d)02(xC642)0(又 = = xcC00d)()( 33令 ， 解得 .3612 6xx = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 7已知某产品的边际成本 (x)=2（元/件） ，固定成本为 0，边际收益 (x)=12-0.02x，问产量为C R多少时

29、利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？解：因为边际利润=12-0.02x 2 = 10-0.02x)()(RL令 = 0，得 x = 500 )(Lx = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500 - 525 = - 25 （元）50250 )1.0(d)2.1( xx即利润将减少 25 元. 8生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)=100-2x（万元/百台） ，其C R中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最

30、大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？解： (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x LR令 (x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 xd)10(d)(120120 20)5(12即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 9已知某产品的边际成本为 (万元/百台)， 为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，34)(qCq求最低平均成本. 解：因为总成本函数为=d)() c32当 = 0

31、时， C(0) = 18，得 c =18q即 C( )= 1832q又平均成本函数为 23qqCA1832)(令 ， 解得 = 3 (百台) 0182)(qAq该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 q = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为(万元/百台) 93)3(10设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x 为产量，单位：百吨销售 x 百吨xC)(时的边际收入为 （万元/百吨） ，求：xR215)(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？= = xd)(ee01e0)ln(1ex =1 ln解：(1) 因为边际成本为 ，

32、边际利润 = 14 2x 1)(xC)()(xCRxL令 ，得 x = 7 0)(L由该题实际意义可知， x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为=112 64 98 + 49 = - 1 （万元）8728 )14(d)214(L即利润将减少 1 万元. 11已知某产品的边际成本为 (万元/百台)， 为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，3)(qCq求最低平均成本. 解：因为总成本函数为= qCd)34() c2当 = 0 时， C(0) = 18，得 c =18q即 C(

33、)= 182又平均成本函数为 qqA3)(令 ， 解得 = 3 (百台) 0182)(q该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为24(万元/百台) 93182)3(A12某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元） ，单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？解：由已知收入函数 01.401.4(pR利润函数 222 01 qqqCL 于是得到 0.令 ，解出唯一驻点 4.10q250因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润

34、达到最大且最大利润为（元） 12305.025)2( 2L13某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元） ，单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件） ，试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解：（1）由已知 20.14).14(pR利润函数 22 0.10 qqqCL 则 ，令 ，解出唯一驻点 .q04. . 25因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， 15 分（2）最大利润为（元） 1300250.251)( L14.生产某产品的总成本为 （万元） ，其中 x 为产量，单位：百吨边际收入为xC3)(（万元/百吨） ，求：xR)(1) 利润最大时的产量；(2) 从利润最大时的产量再生产 1 百吨，利润有什么变化？解：（1）因为边际成本 ，边际利润)(xCLxR()x2145令 得 （百吨）x()07又 是 的唯一驻点，根据问题的实际意义可知 存在最大值，故 是 的最大值点，7LLx()7xL()即当产量为 7（百吨）时，利润最大 25（2） xxLd)214(d)(8787142即从利润最大时的产量再生产 1 百吨，利润将减少 1 万元