1、第 1 讲 集合一、集合的相关概念1、集合（朴素集合论中的定义）：集合就是“一堆东西” ， 记为 A、B、C 集合里的“东西”，叫作元素，记为 a、b、c2、元素的 3 个特性：(1) 确定性：对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必居其一；(2) 互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；(3) 无序性：任意改变集合中元素的排列次序,它们仍然表示同一个集合。3、集合与元素的关系（属于，不属于）符号：aA, a A 二者必居其一4、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合.记作 注意：（1）a与(a,b)都是单元素集
2、（2）0, ,之区别（3） “ ”符号具有全体之意（4）常用集合的专用字母：R:实数集Q:有理数集Z:整数集N:自然数集N*或 N+：正整数集二、集合的表示方法1、列举法,.abcd形 如2、描述法,xppx形 如 其 中 是 代 表 元 素 ， 是 属 性 .3、Venn（文氏图）：用一条封闭曲线围成的图形表示集合的方法。三、集合间的基本关系1、子集定义： A B x A 有 x B注意： A Bx A 但 xB显然：（1） A A（2） A（3）若 A B, B C 则 A C2、集相等： A=B A B 且 BA3、真子集： 456AABC显 然 ： 若 非 空 ， 则的 子 集 中 除
3、 外 ， 都 是 的 真 子 集或2212nnnn结 论 ： 一 个 集 合 有 个 元 素 ， 则 它 有 个 子 集 ， 有 个 真 子 集 ， 个 非 空 真 子 集 。第 2 讲 集合的运算一、交集： 1ABxB、 定 义 ： 且23说 明 ： 且 或实 质 上 是 、 的 公 共 部 分图示：2、 性质=ABAUA， ， ，二、并集： 1ABxB、 定 义 ： 或23说 明 ： 或 且实 质 上 是 、 凑 在 一 起图示：2、 性质=ABAU， ， ，三、补集：全集：由（所考虑的）所有元素构成的集合。通常用 U 表示。,UAxA补 集 ： C且;,Ux显 然 ： C当心：考虑补集时
4、，一定要注意全集；但全集因题而异。图示：,UUA性 质 ： CC第 3 讲 映射与函数概念1、映射 fABxfByAB 设 有 两 个 集 合 、 ， 通 过 在 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与 之 对 应 ,称 映 射 .说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有一下 4 种类型，但只有 “一对一” 、 “一对多”才构成映射关系.一 对 一 多 对 一 一 对 多 多 对 多2、函数1、 定义：非空数集 A 到非空数集 B 的映射，叫函数。31yfx例 ：;R： 叫 自 变 量 ， 的 范 围 叫 定 义 域 ， 这 里 定 义 域 为:yxy是 的 函 数 ， 的 范 围 叫 值
5、 域 ， 这 里 值 域 为 ；f： 对 应 法 则 ， 这 里 是 先 自 身 3倍 与 1之 和 .:31x将 倍 与 之 和 .-f将 倍 与 之 和2、 函数 3 个要素： .xfy 定 义 域 的 取 值 范 围 ； 对 应 关 系 ； 值 域 的 取 值 范 围3、如何判断两个函数是否为同一函数？要满足以下 2 个条件：定义域相同，对应法则相同，即经化简两函数为同一形式(即式子或数相同)简便算法：任取一个数 x将 x 分别带入两式子中看两式是否同时得一个数,得一个数：同一函数,否,则不为同一函数3、复合函数 ,yfugxyfx1、 定 义 ： 叫 复 合 函 数 .551+x例 ：
6、 可 看 成 与 复 合 而 成4、求复合函数的定义域 1fxfgx、 已 知 的 定 义 域 ， 求 的 定 义 域 .2g、 已 知 的 定 义 域 ， 求 的 定 义 域3fxfhx、 已 知 函 数 的 定 义 域 ， 求 的 定 义 域 。 fxf xgg同 一 个 里 面 的 东 西 范 围 一 致 ， 也 就 是 这 里 与 范 围 相 同 .01fxf例 1、 已 知 的 定 义 域 为 ， 求 的 定 义 域 .101xf解 ： 令 ， 得 的 定 义 域 为 232,4fx例 、 已 知 的 定 义 域 为 ， 求 的 定 义 域 .24,8310,xxf解 ： 由 的 定
7、 义 域 为抓住两点：（1）同一个 f 里的东西范围相同；（2）定义域指的是 x 的范围.第 4 讲 函数的表示法1、函数的表示方法1、 解析法 2、列表法 3、图像法2、分段函数 ,01xf例 如 ：3、求函数解析式的 3 种题型1、 知 函 数 型 用 待 定 系 数 法2fxfgx、 知 解 析 式 ， 求 得 解 析 式3()()g、 知 解 析 式 ， 求 的 解 析 式 用 换 元 法 或 配 方 法1例 、 如 下 图 ， 函 数 图 像 是 由 两 条 射 线 及 抛 物 线 的 一 部 分 组 成 ， 求 解 析 式 .222 11,22,3,3.1,0.1,.4.,3, k
8、bkykxbxyaxxaaxyx解 ： 设 左 侧 射 线 为 ， 则同 理 时设 抛 物 线 为 则 (21)54,()fxfx例 、 已 知 求 的 解 析 式121(),253)4(2txtRxftx解 ： 则 则 换 元 法令所 以 。 513(21)423fxx（ ） + ，配 方 法 。第 5 讲 函数的基本性质1、函数的单调性 121212,.,yfxAxDAxfff、 定 义 ： 设 对 于 且 时 ，如 果 那 么 在 上 增 函 数如 果 那 么 在 上 减 函 数123说 明 ： 函 数 单 调 性 ， 特 指 某 区 间 .初 等 函 数 均 分 段 单 调单 独 点
9、没 有 增 减 性 变 化 ， 所 以 考 虑 区 间 的 单 调 性 时 ， 可 以 不 包 括 端 点 .2、 函 数 单 调 性 的 判 定 方 法 直 接 法 ： 如 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 . 图 像 法 ： 1123 +fxfxfggxffffa 性 质 法 ： 当 恒 正 或 恒 负 时 ， 与 单 调 性 相 反 .若 、 单 调 性 相 同 ， 则 单 调 性 与 它 们 相 同 .与 单 调 性 相 反 ， 与 单 调 性 相 同 定 义 法 ： 步 骤 ： 取 值 作 差 变 形 定 号 判 断/ (0) .fx 导 数 法 如 果 ，
10、 那 么 函 数 在 这 个 区 间 单 调 递 增 ；如 果 ， 那 么 函 数 在 这 个 区 间 单 调 递 减1,f例 ： 判 断 在 上 的 单 调 性 ， 并 加 以 证 明 .（定义法） 12120,xx证 ： 任 意 且121211221fxfxx1220,xx且112212,0,xxx当 时 0ffff即,x在 上 是 减 函 数 ；,11,0x当 时 ，220,fxfffx， 即,在 上 是 增 函 数 .第 6 讲 函数的最值1、最值的定义：,.yfxI设001;2,.fxMIf最 大 值 ： 都 有 使则 称 是 的 最 大 值001,;2.xIfxMf最 小 值 ：
11、都 有 使则 称 是 的 最 小 值2、求函数最值得方法1、 已知函数图像，则根据图像求函数的最值.2、 函数为所学过的函数（一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数） ，则利用函数单调性、图像求函数的最值.3、 初等函数，则利用导函数求最值.第 7 讲 函数值域的求法1、常用方法2123445yxyxabcd、 单 调 性 法 比 如、 图 像 法 已 知 图 像、 直 接 法 比 如、 换 元 法 比 如、 分 离 常 数 法 形 如2、举例1、 单 调 性 法 ：min1+21,2,.yxyxyfffx 解 ： 定 义 域 ， ，和 在 ， 上 单 调 递 增
12、值 域 为minmax12,6,12,6335, ,65,.26yxyxfffx 求 ,的 值 域 .解 ： 和 在 上 单 调 递 增在 单 调 递 增值 域 为2、 图 像 法 ：20,3.fx 求 =在 上 的 值 域 fx 的 图 像 如 图 所 示 ， 求 值 域 .f解 ： 画 图 像 ：minmax3,1.0, .fxffff由 图 可 知在 上 的 值 域 为3、 直 接 法 ： 222044,0.,.xxx解 ： 由 及 ， 可 知函 数 值 域 为4、 换 元 法 ：2yx求 的 值 域 .2,0.tt解 ： 令5、 分 离 常 数 法 ：32xy求 的 值 域 .313x
13、x解 ： ,3,.f由 反 比 例 函 数 的 性 质 可 知 ： 的 值 域 为4,3.fx解 ： 由 上 图 可 知 值 域 为第 8 讲 函数的奇偶性一、奇偶性的定义 ,yfxAxxAfxffx设 ,如 果 都 有 -使 得 那 么 叫 偶 函 数 .使 得 那 么 叫 奇 函 数 .3,=ffxRxff例 如 ： 解 ： 的 定 义 域 为且 ， 为 奇 函 数 .22.,fxRffx解 ： 的 定 义 域 为且 为 奇 函 数 .=00=.22+0=xf yfxffxfCfx 说 明 ： 整 体 性 质 ， 定 义 域 必 须 关 于 原 点 对 称 奇 函 数 图 像 关 于 原
14、点 对 称 ， 若 在 处 有 定 义 ， 则 ； 偶 函 数 图 像 关 于 轴 对 称 函 数 未 定 有 奇 偶 性 ， 但 如 果 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 那 么任 意 定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 函 数 偶 函 数 奇 函 数偶 函 数 特 别 地 ， 奇 函 数 且 偶 函 数拓展：1+=、 奇 奇 奇 ， 偶 偶 偶奇 奇 偶 ， 偶 偶 偶2、 偶 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 具 有 相 反 的 单 调 性 .奇 函 数 在 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 具 有 相 同 的 单 调 性第 9 讲 指数
15、函数1、关于根式 ,nnxaxan为 奇 数、 叫 做 的 次 方 根为 偶 数2、 名 称 ：3,nna、 性 质 ： 为 奇 数 为 偶 数2、指数与指数函数的运算指数： *,nnNaaR个0,1*0na,mNanm为 根 指 数 为 幂 指 数*1,0mnNamnnab运 算 性 质 ：3、指数函数 101xya、 定 义 ： 形 如 且 ,叫 指 数 函 数 .2、 图 像 ：3、 总 结 ：0+1323xxx图 像 分 布 ：在 ， 底 大 幂 大注 意 “加 塞 儿 ”1,0,2.3,.401,xRyxyA性 质 ： 两 域 ：单 调 性 ： 在 上过 定 点1,0,2.3,.40
16、1,xRyxyA性 质 ： 两 域 ：单 调 性 ： 在 上过 定 点拓 展 ： 111=2=3xxxxyyy、 对 称 关 系 ： 例 如 与 ,与 关 于 轴 对 称 .0,12fxfxyafa、 函 数定 义 域 是 的 定 义 域 ；先 求 值 域 再 求 值 域 .21x例 ： 求 =3的 值 域 21,30,3,.xxRyf解 ： 定 义 域 为由 二 次 函 数 性 质 ,可 知再 由 图 像 可 知值 域 为3、 比较幂的大小的方法(1)底数不同，指数相同时，利用图像比较大小；2或 者 转 化 为 同 底底 数 不 同 且 指 数 不 同 再 利 用 图 像或 者 借 助 中
17、间 量4、 指 数 方 程 与 指 数 不 等 式方 法 ： “转 化 为 同 底 的 幂 ”0.70.90.88,12abc例 1、 比 较cab由 图 可 知 31224x例 、 解 不 等 式 2214xx解 ：231,51,.5xyRx是 上 的 增 函 数 ，原 不 等 式 的 解 集 为38160.xx例 、 解 方 程22,8,4,2.xxtt解 ：令 得解 得第 10 讲 对数函数2+3=5263引 言 ： .baNaN一 、 对 数 ： 若 ， 则 叫 以 为 底 的 对 数log01,0记 为 ： 且2、常见对数10loglnex常 用 对 数自 然 对 数3、常用公式lo
18、g1aN对 数 恒 等 式2llnmaabog3l=lcab换 底 公 式4、法则1logllogaaMNN2logllogaaMNN,=loglloglogaxyxyaaaaMNMNN证 明 ： 右 边 左 边5、对数函数 1log01.ayx、 定 义 ： 形 如 且 的 函 数 叫 对 数 函 数2、 图像：310,.2+,.401,.xyRxyA、 性 质 两 域 单 调 性 ： 在 ，过 定 点10,.2+3,.401,.xyRxyA性 质 两 域 单 调 性 ： 在 ，过 定 点4、 图像分布：1+规 律 ： 在 ， 上 ， 底 大 对 数 小 .1+0a时 ， 底 数 越 大 ，
19、 图 像 在 ， 上 越 低 ；时 ， 底 数 越 大 ， 图 像 在 ， 上 越 低 .拓展： logxayayx yx 1、 指 数 函 数 与 对 数 函 数 互 为 反 函 数 ,它 们 的 图 像 关 于 直 线 对 称 .第 11 讲 幂函数.yx一 、 定 义 ： 形 如 为 常 数 的 函 数 叫 幂 函 数2、图像 0 0 01 1 1I 象限其他象限图像由定义域及对称性（奇偶性）补齐.3、性质 1,1、 过 定 点 ； 200,fxA、 当 时 在 上当 时 ,在 上131239+.xx 、 在 ， 上 ， 指 数 大 幂 大注意：“加塞儿”第 12 讲 函数与方程1、连续
20、函数连续函数： 非连续函数：2、方程的根与函数的零点 001fxfxfx、 零 点 ： 对 于 函 数 ， 若 使 =， 则 称 为 函 数 的 零 点 .yf y、 函 数 =的 零 点 方 程 的 实 根 函 数 图 像 与 交 点 的 横 坐 标 .3、 零 点 存 在 性 定 理 ：,: :,.0.yfxabpqyfxab 在 上 连 续 不 断 ； 函 数 =在 内 有 零 点q说 明 ： 是 充 分 不 必 要 条 件4,yfxab、 如 何 证 明 函 数 =在 区 间 内 存 在 唯 一 一 个 零 点 ？ ,: :, .0.fpabqyfxabf 在 区 间 内 单 调 ；
21、在 上 连 续 不 断 ； 函 数 =在 内 有 唯 一 一 个 零 点fx三 、 用 二 分 法 求 =0的 近 似 解步 骤 ：1212331123231, 0;,0,.ixfxfxxd、 寻 找 使、 令 求、 ， 用 重 复 ， ， 用 重 复 ；4、 直 到 1122334455665000,0.5=,;0,;.0.7,;1.2.123,.0.75,=.xffxxfxx例 ： 用 二 分 法 求 方 程 在 区 间 上 的 实 根 精 确 到则 方 程 的 根取0fgx四 、 方 程 的 跟5、含参的二次方程方法：主要使用图像法，决不能用韦达定理. 21100,12xa a例 、 已
22、 知 方 程 的 两 实 根 分 别 在 区 间 ， 上 ， 求 的 取 值 范 围 .121,36, .ax错 误 解 ： 由 韦 达 定 理说 明 ： 此 法 会 把 的 范 围 扩 大正 确 解 ： 由 函 数 图 像 ：0103922faf即9.解题方法：(1) 画图像；(2)判断端点，根的判别式，对称轴等；(3)解不等式.第 13 讲 函数模型及其应用一、3 类函数的增长差异 221 log.xyyx、 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 函 数 ; 的 图 像log,xnaxyayx随 着 的 增 大 ， 增 长 速 度00.n因 此 ， 总 会 存 在 一 个 ， 当
23、 时 ， 就 有2、常见的 5 种函数模型21;34log;5.nxaybcmyb一 次 函 数 模 型二 次 函 数 模 型指 数 型 模 型对 数 型 模 型幂 函 数 模 型根据散点图选择恰当模型：3、应用题1、理解模型；2、列函数表达式，写出自变量取值范围；3、求解.例 某地新建一个服装厂，从今年 7 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件、1.37 万件由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好为了推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份 x，产量 y 给出四种函数模型：y
24、axb，y ax2bxc ，yax b，yab xc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？12分析 由题目可获取以下主要信息：已知函数模型；选择最优模型解答本题可先确定解析式，再通过数据拟合，选择最优模型本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型解 由题知 A(1,1)， B(2,1.2)， C(3,1.3)， D(4,1.37)设模拟函数为 y ax b，将 B、 C 两点的坐标代入函数式，有Error!，解得Error! .所以得 y0.1 x1.此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的设 y
25、 ax2 bx c，将 A， B， C 三点代入，有Error!，解得Error!.所以 y0.05 x20.35 x0.7.由此法计算 4 月份产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，而且，由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴 x3.5)，不合实际设 y a b，将 A， B 两点的坐标代入，有xError!，解得Error!，所以 y0.48 0.52.x把 x3 和 4 代入，分别得到 y1.35 和 1.48，与实际产量差距较大设 y abx c，将 A， B， C 三点的坐标代入，得Error!，解得Error!，所以 y0.8(0.5) x1.4，把 x4 代入得 y0.80.5 41.41.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这样的趋势因此，选用 y0.80.5 x1.4 模拟比较接近客观实际点评 对于数据拟合型函数应用问题，要先确定函数解析式，再利用数据对比，确定最优模型，多数情况下要采用数形结合法
