1、复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）1 / 66复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）课后习题答案 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）2 / 66习题一1. 用复数的代数形式 a+ib 表示下列复数./43513;(2)4;71iieii解 i42ecosinii4 解： 3517i613i7i+5解： 24i84i0i解： 311=iii22.求下列各复数的实部和虚部(z= x+iy)R); (za3331;.2niiz ： 设 z=x+iy则 ,2iiiixayxyyayz 22Rezaxy2Imzxay解： 设 z=x+iy ,
2、323 22323iiiiiyxyxyx32Rezxy323Imzxy解： 2321ii 1280i8 , 1i3Re21i3Im02解： 33 21ii 8 180i复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）3 / 66 , 1i3Re21i3Im02解： ,i 11iknnkA当 时， ， ；2kReknImi0n当 时， ， 1ni1k3.求下列复数的模和共轭复数 12;3(2);.2iii解： 2i415解： 33解： 2i2i51362i47 解： 1ii22iii4、证明：当且仅当 时，z 才是实数证明：若 ，设 ，zixy则有 ，从而有 ，即 y=0iixy20z=x
3、 为实数若 z=x，x A ，则 zx 命题成立5、设 z,wA，证明： zw证明 2zw22Rezwz复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）4 / 6622zwz z6、设 z,wA，证明下列不等式 2 2Rezwz222wz并给出最后一个等式的几何解释证明： 在上面第五题的证明已经证明了2 2Rezzw下面证 w 2 2zzzw从而得证2Rezz 2w几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3352;1;8(3);.cosin79ii解： 35i1i7其中 3816i98i7e5025i 8arctn19解： 其中 ei
4、2i解： ii1e解： .283163 iie解：32cosin9复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）5 / 66解： 32cosin1932i.3i9sie8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1 的三次根；(3) 的平方根.3ii 的三次根解： 133 22icosincosisn0,123kk 1ii6z 2531cosini62z391cosini6-1 的三次根解： 1332+1cosincosin0,123kk 1iiz2cosn1353ii2z 的平方根i解：i43i=6i6e2 1i42iecosin0,1kk 11i8446csin6e8z9i29oi 9.
5、设 . 证明：e,inz110nz证明： ，即 2in 110zz又n2 z1从而 21+n复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）6 / 6611.设 是圆周 令:,0e.izracrc,:Im0zaLb其中 .求出 在 a 切于圆周 的关于 的充分必要条件 .eibL解：如图所示因为 =z: =0表示通过点 a 且方向与 b 同向的直线，要使得直线在 a 处与圆相切，则LImzabCA 过 C 作直线平行 ，则有BCD=，ACB=90L故 -=90所以 在 处切于圆周 T 的关于 的充要条件是 -=90L12.指出下列各式中点 z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg;
6、23|;(4)ReIm512.ziz且解：(1)、argz=表示负实轴(2)、|z-1|=|z|表示直线 z= 12复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）7 / 66(3)、1Imz解：表示直线 y=x 的右下半平面5、Imz1，且|z|时故当 和 时, 收敛.110()nz5.幂级数 能否在 z=0 处收敛而在 z=3 处发散.0(2)nnCz解： 设 ，则当 时，级数收敛， 时发散.1limn1z12z若在 z=0 处收敛,则 2若在 z=3 处发散, 则1显然矛盾,所以幂级数 不能在 z=0 处收敛而在 z=3 处发散0(2)nnCz6.下列说法是否正确?为什么?(1)每
7、一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）29 / 667.若 的收敛半径为 R,求 的收敛半径。0nCz0nCzb解： 因为11limlinnbR所以 R8.证明：若幂级数 的 系数满足 ，则0nazlimna(1)当 时, 01(2) 当 时, R(3) 当 时, 证明：考虑正项级数 210nnazzaz由于 ，若 ，由正项级数的根值判别法知，当 ，limli
8、nnn 01z时即 ， 收敛。当 ，即 ， 不能趋于零, 级数发散.1z时 0naz1z时 1z时 2nazlimnna故收敛半径.R当 时, ,级数收敛且 .1zR若 ,对 当充分大时,必有 不能趋于零 ,级数发散.且02naz 0R9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)(2)0(i)npz0pnz(3) 121n(4) (1)0i()nnz解: ()收敛圆周11limli()lim()()1pppnnnRiz复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）30 / 66(2) (1)limpnR所以收敛圆周 1z(3) 记 121()innnfzz由比值法,有 2121()()limli2nnnf zz 要级数收敛,则z级数绝对收敛,收敛半径为 2R所以收敛圆周 z(4) 记 (1)i()nnnfzz() 1,limlilimnnnf 若 若所以 时绝对收敛,收敛半径1zR收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)(2)1()nz20(1)!nnz解: (1)1limlinC故收敛半径 R=1,由逐项积分性质，有：-101()()1znnzzd所以
