1、1数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理 1.1：如果 00xxlimf=,ligA（ ） （ ）（1） 0 00li()()()xfg（2） 0 00xliflix（ ） （ ） （3）若 B0 则： 00()()limlixxfgA（4） 00xlic()li()xffc（5） 00li()li()nnxxffA（n 为自然数）上述性质对于 也同样成立 i,由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例 1. 求25lim3x的极限 解：由定理中的第三式可以知道22lim5li3xx2lili
2、3xx259例 2. 求 312limx的极限解：分子分母同时乘以 x2331212limlixxx3lim12xx 14式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例 3. 已知 1231nxn ，求 limnx解： 观察 =1=21=-因此得到 13nxn 12n 1n所以 limlinx2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数 f(x)在 附近有定义， ，则0x00yfxfx如果 00limlixxffx存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 0f。0即 3000limxfxff在这种方法的运用过程中，首先要选好 f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)
3、在定点 0x的导数。例 4. 求 的极限2lixctgx解：2limxt2211li 2limxxttg21li2xfff13 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1） ，0sinlm1x（2） lixxe但我们经常使用的是它们的变形：（1） ，sinlm1,0xx（2） 求极限。li,e例5： xx10)(lim4解：为了利用极限 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为exx10)(lim1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。=xx10)(2lix10)3(lim13x0lix= 3130)1(li exxx例6： 20cos1limxx解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以
4、20cos1limxx= 20inlix= 1)2(s1li0xx例 7: 求 的极限xx10)2(lim解：原式=21210)()(exxx 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果 是初等函数,且)(xf是 的定义区间内的点, 则 。0x)(f )(lim00xffx5例8：612arcsinlim1xx解 :因为复合函数 是初等函数,而 x1是其定义区间内的点,所以极限ri值就等于该点处的函数值
5、.因此 62arcsin62arcsinli1 xxx1=例8：求 xxsinlim2解： 复合函数 在 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处il2的函数值即有 2sinlsilnim2xx= 1lil=05 利用两个准则求极限。（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当 nN 时，有 nnxyz且limli,nnxxza则有 limnxya。 利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得 nnyxz。22211.nx例 9 ： 求 nx的极限解：因为 单调递减，所以存在最大项和最小项222211.n nxn62222
6、11.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx（2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。例 12：设 110,6,2nnx 。试证数列 nx的极限存在, 并求此极限。解: 由 1x及 24知 12。设对某个正整数k有 kx， 则有 2116kkk xxx从而由数学归纳法可知, 对一切自然数 , 都有 ，nn即数列 单调下降 , 由已知易见 即有下界,nx .)2(0x根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。令 对 两边取极限，Anlimnn61有 6所以有 20解得A=3,或 2A。因为 ，所以 ，舍去 ,故 lim3nx.),(0xn6 利用洛
7、必达法则求未定式的极限定义 6.1：若当 a（或 x）时，函数 fx和 F都趋于零(或无穷大)，则极限 可能存在、也可能不存在，通常称为 型)(lim)(Ffxa 0和 型未定式。例如：7, ( 型); xxtanlim00, ( 型).bxsinli0定理 6.2：设 （1）当 时, 函数 fx和 F都趋于零;（2）在 a 点的某去心邻域内, 和 x都存在且 0Fx;（3） 存在(或无穷大),)lim)(fxa则 )(li)(limxFfxfaax 定义 6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例10： xx220sincoil解： 4 30
8、 00()(ics)incosincoslim=lmlx xxx20 0cossinsi2=2li =l33x xx在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例，例 11：求 lim0xxe1解： =0xx1li00tttt e洛必达法则通常适用于以下类型：型：8例 12 求 .lim(arctn)2xx解 原式 .221tlililim11xxx型：例 13 求 .2limsectanxx解 ，1sisintocox故原式 .22sinll0csixx型：0例 14 求 .0limx解 原式 .ln0imlnln00ii1xx
9、 exxe型：1例 15 求 .lim1xxe解 原式 .lixex型：0例 16 求 .tan01lim()xx解 原式 ，tanltan 01liml()tanl00ilixx xexxee而 ，因此：原式=1.tan0li(tl)(l)xx 7. 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为9求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。例17： 420coslimxex解：因为 )(!421cos4xox2 4*()!xe所以244001()cos 1limli
10、2xx xoe例18： )1n(li2x解：因为当 时， 所以0x)()1()*21)1ln( 2xox从而 x)()l(2于是 1lim()2xo)1(lim2x注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求 。利用定积分可求如下二种形式的极限:型nfffx )(.)2(1lim定理8.1：设 f在0，1上可积，则有1010)()(.)2(1lim
11、dxfnfffx例19：求极限nx.li解：令 f， f在0,1上可积。1012.lim2xnxd型nx nfnff )(.)(li 定理8.2：若 在0,1上可积，则)(f 1012lim().()ln()nxfffepxfdx例20：求 x!li解：!12li=li*.nnxx令 f,则有：11012lim*.lnnxepxdenx!li例 21：求)1(n解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形： niJni11l不难看出，其中的和式是函数发 在区间 上的一个积分和。xf1)(1,011（这里所取的是等分分割， （ ） ， 所,1nxinii,12n以
12、 2l)1ln(010xdJ当然，也可把 J 看作 在 上的定积分，同样有f,2ln1321xdJ9. 利用无穷小的性质求极限 i我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积, 仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。 例22： 2374lim21xx解：当 时分母的极限为0，而分子的极限不为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：= = 02374li21xx 74231利用无穷小量的倒数是无穷大量 故 = lim1x例23：极限 xxsinlim20解： xxsin1li20因为 ；1silm0xx当 0x时， 为无穷小量， 为有界量，1in故 ；01
13、sinlim0xx所以原式=0。例24：求极限 3sil1x12解：因为 1sinx所以 是有界函数x1sin0lim3xx故 在 x时是无穷小量。31利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。所以.01sinlim3xx10. 利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量( )0等价无穷小有重要 性质:设xxexx arctnrsi1)1ln(tasin且 存在，则 = ,这个性质表明,求两个无穷小,limlilim量之比的极限时,分子,
14、分母均可用等价无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量代替,从而使计算大大简化 。 i例25：极限 xtgx5sin3l0解：当 时，,x5sin,txx 3limi3l 005例26：求极限 302si2lmx解： 302sinilixx= 20)co1(sil xx= lim20x错误的解法是： (错在对加减中的某一项0lisni2l 3030 xx13进行了等价无穷小代换)11. 利用级数收敛的必要条件求极限 i给出一数列 ,对应一个级数 若能判定此级数收敛, 则必有nu1nu。由于判别级数收敛的方法较多, 因而用这种方法判定一些以零为极0limnu限的数列极限较多方便。例27
15、：求极限 )1,(,!)1).(li xnann解： 设级数 0!.n nxa其中 nnu)1).(1(11)!().( nn xaanun1limli1由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件 可知：0limnu)1,(,0!).(1(li xnann例28：求极限 n!2lim解：设 nnu!2lim级数 为 项级数。1n由比值审敛法： !2)!(12li2lim1 nunn = nnli=nn)1(2li1e14所以收敛，1!2nn故=0 nn!2lim12 . 利用极限定义验证极限 用极限定义验证极限，是极限问题的一个难点。做这类题目的关键是对任意给定的正数 ，如何找出定义中
16、所说的N或 确实存在。这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力。例27 ： 1lim35nn证：任给 要找 ,使 时，有0N135n即，135n显然，当 较大时，如 ，有n2n )21()1(153525335 nn= ,234因此要使 成立，135n当n=2时，只要 2134n15即或。342n这样一来，取 ,则当nN时，),max(N则有 及,2n34因此上述各式成立。证毕。13. 涉及单侧极限与双侧极限的问题例 28：求函数 在 处的左右极限，并说明在 处是否有1)(xf1x极限。解：，2)1(lim)(li11 xxfx，0x因为，)(li)(li11xffxx所以 f(
17、x)在 x=-1 处的极限不存在。利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的注：本例是 的直接应用。axfxfaxfxx )(lim)(li)(lim00014. 利用微分中值定理和积分中值定理求极限例29： 3sin02lixxx解：因为 3sin3sin si22xxxx 由微分中值定理 （ 介于 与 之间）lsinixx si16原式= 30sin0 sinlm*2li xxx= =200co1li)l(lix 6l例 30：求 的极限 3sin02limxx解： 3sin3sini2x由微分中值定理得，（ 介于 与 之间）2lnsi2inxxsin原式=62ln
18、3cos12liin 20030i0 mlm xx xx 15. 利用柯西准则来求数列极限。柯西准则：要使 有极限的充要条件使任给 ,存在自然数N，使得当nNn时，对于任意的自然数m有 inmx例31： 没有极限。xn1.321证明：对任意的n，取m=n,我们有nnnmn xx2= 21.1.1n因此，对于 ，对任意的N，当nN时，取m=n就有210nnnmnxx2 0即变量 没有极限。nx16.换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。17例 32 .1lim()xx解 令 ，则原式= =xt1litt1limtt1litt te例 33:求 1limnx解：令 xt 则 ln(1)xtt0lim+=16. 数列极限转为函数极限求解例 34 求 .21lim(sin)n解 令 ,则原式 ，1t232000sisin1cosli()lmlt t tt所以在 时， 与 等价，因此，原式 .0tcost2102li13t6在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。
