1、1第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： ； ； 等。0)1(lim2n5)13(li2x1,0limqn当定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法则定理 1 已知 ， 都存在，极限值分别为 A，B，则下面极限都存在，)(lixf)(lig且（1） （2）BAm xgf)(lim（3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；)0(,)(li 成
2、立此 时 需 xgf同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限（1） （2） ； 1sinlm0xexx10)(limexx)1(lim说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 例如： ， ， ；等等。13sinl0xx exx210)(li exx3)1(li4等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。定理 3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是 0） ，且相互等价，即有： 。xsinxtaxrcsinxarct)1ln(1xe说明：当上面每个函数中的自变量 x
3、换成 时（ ） ，仍有上面的等价)(g)关系成立，例如：当 时， ； 。0x13ex)1ln(2x2定理 4 如果函数 都是 时的无穷小，),()1gff 0且 ， ，则当 存在时， 也存在且等于)(xf1f)(xg1)(lim10xx)(li0xfx2。)(lim10xgfx5连续性定理 5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是函数 的定义去间0x)(xf内的一点，则有 。求极限的一个方法。)()lim00xffx6极限存在准则定理 6（准则 1） 单调有界数列必有极限。定理 7（准则 2） 已知 为三个数列，且满足：,nnzyx（1） （2） ，)31(zyn aynlima
4、znli则极限 一定存在，且极限值也是 a ，即 。xlimx二、求极限方法举例1 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 123lixx解：原式= 。43)213)(lim)23)(lim11 xxx注：本题也可以用洛比达法则。例 2 linn解：原式= 23121li12)()(li nnn 分 子 分 母 同 除 以。例 3 nn23)1(lim解：原式 。1)32(li3nn上 下 同 除 以2 利用函数的连续性（定理 6）求极限例 4 xxe12lim3解：因为 是函数 的一个连续点，20xxef12)(所以 原式= 。e413 利用两个重要极限求极限例 5 203cosl
5、imxx解：原式= 。61)2(sinlmsinl 2020 xxxx注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例 6 xx20)sin31lim解：原式= 。6sin6si310sin6i310 )in1(lm)i(li exxxxx例 7 nn)12(li解：原式= 。31313 )(li)(lim ennnnn4 利用定理 2 求极限例 8 xx1sili0解：原式=0 （定理 2 的结果） 。5 利用等价无穷小代换（定理 4）求极限例 9 )arctn(31lim20xx解： ， ， 原式= 。l时 ，x)arctn(2x3lim20x例 10 xexsinlii0解：原式= 。1sin)(
6、limi)1(limi0sini0 xexxxx注：下面的解法是错误的：4原式= 。1sinlimsin)1()(lim0i0 xxexx正如下面例题解法错误一样：。liitanli 3030xxx例 11 xxsin)1t(lim20解： ，等 价与是 无 穷 小 ，时 ，当 xx1sin)sitan(i 222所以， 原式= 。 （最后一步用到定理 2）01silm1sinli020 xxxx5 利用极限存在准则求极限例 20 已知 ，求),2(,2,11 nn nxlim解：易证：数列 单调递增，且有界（0 2） ，由准则 1 极限 存在，xxnli设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：anlimnn1，解得： 或 （不合题意，舍去）a22a所以 。linx例 21 )121(lim22 nn 解： 易见： 1122222 nn因为 ，li2nlim2n所以由准则 2 得： 。1)1(li 222 nn 上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。
