1、课时作业(十九) 基本不等式A 组 基础巩固1若 x0，y0，且 1，则 xy 有( )2x 8yA最大值 64 B最小值164C最小值 D最小值 6412解析：xyxy 2y 8x2 8 ， 8，(2x 8y) 2y8x xy xy即 xy64，当且仅当Error!即Error!时等号成立答案：D2已知 x0，y 0，x 2y 2 xy8，则 x2y 的最小值是( )A3 B4C. D.92 112解析：x2y2xy8， y 0，8 x2x 210，b0，且 ln(ab) 0，则 的最小值是( )1a 1bA. B114C4 D8解析：由 a0，b0 ，ln(ab) 0，得Error! 2
2、22 4，当且仅当 ab 时，取等号1a 1b a ba a bb ba ab baab 12答案：C4已知 x3y20，则 3x27 y1 的最小值是( )A3 B1 239 2C6 D7解析：3 x27 y13 x3 3y12 12317，当且仅当 3x3 3y且3x 3yx3y20，即 x1，y 时，等号成立，所求最小值为 7.13答案：D5设 M 是ABC 内一点，且ABC 的面积为 1，定义 f(M)(m，n，p)，其中m、n、p 分别是MBC，MCA，MAB 的面积，若 f(M) ，则 的最小值是( )(12，x，y) 1x 4yA8 B9C16 D18解析：ABC 的面积为MBC
3、，MCA，MAB 的面积之和， xy1，即12xy ， (2x 2y)10 18.当且仅当 x ，y 时等号成立12 1x 4y (1x 4y) 8xy 2yx 16 13答案：D6设 abc0，则 2a2 10ac 25c 2 的最小值是( )1ab 1aa bA2 B4C2 D55解析：abc0 ，原式a 2 10ac25c 2a 2a 2ab ab (a5c) 22204，1ab 1aa b 1aa b 1ab当且仅当 a(ab)1，ab1，a5c0 时取等号即当 a ，b ，c 时，所求式222 25的最小值为 4.答案：B7函数 ya 1x (a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A
4、 在直线 mxny10(mn 0)上，则 的最小值为_ 1m 1n解析：函数 ya (1x) (a0，a 1)的图象恒过定点 A(1,1)，因为点 A 在直线 mxny1上，所以 mn1.又因为 mn0，所以 1 (mn)1m 1n (1m 1n) (1m 1n)2 224.nm mn当且仅当 mn 时，取等号答案：48若对任意的 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 1解析：根据题意，令 f(x) ，x0，x 2，f(x)xx2 3x 1 1x 1x 3 1x ，当且仅当 x1 时，取得最大值 .若使不等式恒成立，只需 a 即1x 1x 3 12 3 15 15 15可答案
5、：a159已知 a0，b0 ，ab1，求证： 9.(1 1a)(1 1b)证明：方法一：因为 a0，b0，ab1，所以 1 1 2 .同理 1 2 ，1a a ba ba 1b ab故 52 549.(1 1a)(1 1b) (2 ba)(2 ab) (ba ab)所以 9(1 1a)(1 1b).(当 且 仅 当 a b 12时 取 等 号 )方法二： 1 1 1 ，因为 a，b 为正数，(1 1a)(1 1b) 1a 1b 1ab a bab 1ab 2abab1，所以 ab 2 ，于是 4， 8，(a b2 ) 14 1ab 2ab因此 189(1 1a)(1 1b)(当 且 仅 当 x
6、 y 12时 ，等 号 成 立 .)10已知函数 y (x2) x 2x2 x 1(1)求 的取值范围1y(2)当 x 为何值时，y 取何最大值？解：(1)设 x2t，x t2，t 0(x2) ，则 t 32 3， 的取值范围为1y x2 x 1x 2 t 22 t 2 1t t2 3t 3t 3t 3 1y2 3，3(2)欲使 y 最大，必有 最小，此时 t ，t ，x 2，y ，当1y 3t 3 3 23 33x 2 时， y 最大，最大值为 .323 33B 组 能力提升11在ABC 中，角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 a2b 22c 2，则 cosC的最小值为( )
7、A. B.32 22C. D12 12解析：由余弦定理得 a2b 2c 22abcosC.又 c2 (a2b 2)，所以 2abcosC (a2b 2)，12 12即 cosC ，所以选 C.a2 b24ab 2ab4ab 12答案：C12设 ab2，b0，则当 a_时， 取得最小值12|a| |a|b解析：ab2，则 t .12|a| |a|b a b4|a| |a|b当 a0 时，即 a(0,2) 时，t 2 1 ，14 b4a ab 14 b4aab 14 54当且仅当 ，即 b2a 时等号成立b4a ab又ab2，此时 a .23当 a3，y2)，矩形 AMPN 的面积为 S，则 Sx
8、y.NDCNAM， ，y 2y 3xx ，3yy 2S (y2)3y2y 2由 32，得 28.3y2y 2 83AN 的长度应在 或(8 ，) 内(2，83)(2)当 y2 时，S 3 3(44) 24 ，3y2y 2 (y 2 4y 2 4)当且仅当 y2 ，4y 2即 y4 时，等号成立，解得 x6.存在 M，N 点，当 AM6，AN4 时，S min24.14记 F(x，y)xy a(x2 )，x、y (0 ，)若对任意的 x，y(0，)，2xy恒有 F(x，y) 0，请求出 a 的取值范围解：由 F(x，y)0，得 xy a(x2 )2xyx0，y0，a .x yx 22xya min.(x yx 22xy)2 x 2y.2xy ，x yx 22xy x yx x 2y 12当且仅当 x2y 0 时，等号成立a .( ，12
