1、例谈求线段和的最小值问题广西 何广保平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了 05 年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。一、以正方形为载体，求线段和的最小值例 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，边长是 4，E 是 BC 上一点，且 CE1，P是对角线 BD 上任一点，则 PEPC 的最小值是_。图 1分析：由于 BD 是正方形 ABCD 的对角线，连接 AP，易证ADPCDP，所以PAPC，此时求 PEPC 的最小值就转化为求 PAPE 的最小值，连接 AE，在PAE 中，因为 PAPE 以
2、AE，故当点 P 为 A 与 BD 的交点时（即当 A、P、E 三点共线时），PAPE 的最小值为 AE，由勾股定理可求 AE，所求问题可解。解：连接 PA，BD 为正方形 ABCD 的对角线ADCD，ADPCDP又 DPDP，ADPCDPPAPC连接 AECE1，BE3在 RtABE 中，根据三角形中两边的和大于第三边可知，当 P 为 AE 与 BD 的交点时，PAPE 的最小值为 AE，即 PAPEAE，PAPE5，即 PEPC5，PEPC 的最小值为 5（仅当 A、P、E 三点共线时取等号）。例 2. 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在 AB、BC 上，AE3，
3、CF1，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PEPF 的最小值是（ ）图 2A. B. C. D. 分析：因为动点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，在 AD 边上取点 G，并截取AEAG，易证PGAPEA，所以 PGPE，所求 PEPF 的最小值就转化为求PGPF 的最小值，连接 FG，在PFG 中，PGPF 的最小值就是 FG（仅当F、P、G 三点共线时取得最小值）。解：在 AD 边上取点 G，并截取 AGAE，连接 PGAC 是正方形 ABCD 的对角线PAGPAE，又 APAPPAGPAE，PGPE连接 FG，过点 G 作 GHBC，垂足为 HAGAE3，而四边形 ABHG
4、 为矩形，BHAG3，GHAB8又 CF1，HC5，HF514在 RtFHG 中，由勾股定理，得在PFG 中，PGPFGF（仅当 F、P、G 三点共线时取等号），即 PEPF 的最小值为故应选 D。二、以菱形为载体，求线段和的最小值例 3. （05，南充）如图 3，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点，M、N 分别是 AB，BC 边上的中点，PMPN 的最小值是（ ）图 3A. 2 B. 1 C. D. 分析：因为动点 P 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，取 CD 边的中点 G，连接 PG，则易证PCGPCN，从而 PGPN，因此求 PMPN 的最小值就转化为
5、求 PMPG的最小值，连接 MG，在PMG 中，PMPG 的最小值就是 MG，即PMPGMG（仅当 M、P、G 三点共线时取得最小值）。解：取 CD 的中点 G，连接 PGAC 是菱形 ABCD 的对角线PCGPCN又 CBCD，N 是 BC 边的中点CNCG又 PCPC，PCGPCNPGPN连接 MG。四边形 AMGD 为平行四边形MGAD1在PMG 中， （仅当 P、M、G 三点共线时取等号）即 ，故 PMPN 的最小值为 1。故应选 B。三、以等腰梯形为载体，求线段和的最小值例 4. （05，河南）如图 4，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD1，B60，直线 MN 为梯形 AB
6、CD 的对称轴，P 为 MN上一点，那么 PCPD 的最小值为_。图 4分析：在梯形 ABCD 中，因为 ABCDAD，易知梯形 ABCD 是等腰梯形，又直线MN 是梯形 ABCD 的对称轴，所以直线 MN 是底边 AD、BC 的垂直平分线，连接PD，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PAPD，所以求 PCPD 的最小值就转化为求 PCPA 的最小值，即求 AC 的长度即可。解：连接 PDABCDAD1，梯形 ABCD 是等腰梯形又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴PAPD过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DFBC，E、F 为垂足，易证ABEDCF，BECF在 Rt
7、ABE 中，B60，AB1在 RtABC 中，由勾股定理，得即 PAPC 的最小值为 （当 A、P、C 三点共线时取得最小值）。四、以任意四边形为载体，求线段和的最小值例 5. 已知：如图 5，在四边形 ABCD 中，AD、BC 不平行，F、E 分别是 AB、CD的中点，若 EFm，则 的最小值是_。图 5分析：构造以 的长为三边的三角形，再利用三角形的中位线将问题解出。解：连接 BD，取 BD 的中点 G，连接 EG、FG。E、F 分别是 CD、AB 的中点EG、FG 分别是BCD、ABD 的中位线在EFG 中， （仅当 E、G、F 三点共线时取得最小值）例谈求线段和的最小值问题 专题辅导
8、不分版本平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了 05 年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。一、以正方形为载体，求线段和的最小值例 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，边长是 4， E 是 BC 上一点，且 CE1，P 是对角线 BD 上任一点，则 PEPC 的最小值是_。图 1分析：由于 BD 是正方形 ABCD 的对角线，连接 AP，易证ADPCDP ，所以PAPC ，此时求 PEPC 的最小值就转化为求 PAPE 的最小值，连接 AE，在PAE中，因为 PAPE 以 AE，故当点 P 为
9、A 与 BD 的交点时（即当 A、P、E 三点共线时） ，PAPE 的最小值为 AE，由勾股定理可求 AE，所求问题可解。解：连接 PA，BD 为正方形 ABCD 的对角线ADCD，ADP CDP又 DPDP，ADPCDPPAPC连接 AECE1，BE 3在 RtABE 中， 根据三角形中两边的和大于第三边可知，当 P 为 AE 与 BD 的交点时，PAPE 的最小值为 AE，即 PAPEAE ，PAPE5 ，即 PEPC5 ，PEPC 的最小值为5（仅当 A、P、E 三点共线时取等号） 。例 2. 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在 AB、BC 上，AE3，CF1 ，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PEPF 的最小值是（ ）图 2A. B. C. D. 分析：因为动点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，在 AD 边上取点 G，并截取AEAG，易证PGA PEA，所以 PGPE ，所求 PEPF 的最小值就转化为求PGPF 的最小值，连接 FG，在PFG 中，PG PF 的最小值就是 FG（仅当 F、P、G三点共线时取得最小值） 。解：在 AD 边上取点 G，并截取 AGAE，连接 PGAC 是正方形 ABCD 的对角线
