1、第 17 练 三角函数的化简与求值题型分析 高考展望 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.体验高考1.(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于( )A. B. C. D.32 32 12 12答案 D解析 sin 20cos 10 cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30 .122.(2015重庆)若 tan 2ta
2、n ，则 等于( )5cos( 310)sin( 5)A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 cos( 310)sin( 5)sin(2 310)sin( 5) 3.sin( 5)sin( 5)sin cos5 cos sin5sin cos5 cos sin5tan tan5 1tan tan5 1 2 12 13.(2016课标全国甲)若 cos ，则 sin 2 等于( )(4 ) 35A. B. C. D.725 15 15 725答案 D解析 因为 sin 2cos 2cos 2 1，(2 2) (4 )又因为 cos ，(4 ) 35所以 sin 22 1 ，925 725故选
3、 D.4.(2016课标全国丙)若 tan ，则 cos22sin 2 等于( )34A. B. C.1 D.6425 4825 1625答案 A解析 tan ，34则 cos22sin 2 .cos2 4sin cos cos2 sin2 1 4tan 1 tan2 64255.(2016四川)cos 2 sin 2 _.8 8答案 22解析 由题可知，cos 2 sin 2 cos .8 8 4 22高考必会题型题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin 2cos 21；tan .sin cos 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即 1sin 2cos 2；(
4、3)在进行开方运算时，注意判断符号.例 1 已知 tan 2，求：(1) 的值；4sin 2cos 5sin 3cos (2)3sin23sin cos 2cos 2 的值.解 (1)方法一 tan 2， cos 0， .4sin 2cos 5sin 3cos 4sin cos 2cos cos 5sin cos 3cos cos 4tan 25tan 3 42 252 3 613方法二 由 tan 2，得 sin 2cos ，代入得 .4sin 2cos 5sin 3cos 42cos 2cos 52cos 3cos 6cos 13cos 613(2)3sin23sin cos 2cos 2
5、 3sin2 3sin cos 2cos2sin2 cos2 3tan2 3tan 2tan2 1 .322 32 222 1 165点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多 项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos ”的最高次幂，整式可以看成分母为“1” ，然后用 sin2cos 2 代换“1” ，变成分式后再化简.变式训练 1 已知 sin(3 )2sin ，求下列各式的值：(32 )(1) ；sin 4cos 5sin 2cos (2)sin2sin 2.解 由已知得 sin 2cos .(1)原式 .2cos 4cos 52cos 2c
6、os 16(2)原式 .sin2 2sin cos sin2 cos2 sin2 sin2sin2 14sin2 85题型二 利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限” ；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例 2 (1)设 f() ，则 f _.2sin cos cos 1 sin2 cos(32 ) sin2(2 )(sin 12) ( 236)(2)化简： _.sin(2 )cos(2 )cos sin cos(2 )sin 答案 (1) (2)03解析 (1)f( )
7、 2sin cos cos 1 sin2 sin cos2 ，2sin cos cos 2sin2 sin cos 1 2sin sin 1 2sin 1tan f .( 236)1tan 2361tan( 4 6)1tan6 3(2)原式 sin sin 0.cos sin cos sin sin sin 点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相 应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练 2 (1)(2016课标全国乙) 已知 是第四象限角，且 sin ，则( 4) 35tan _.( 4)(2)已知 cos a(|a|1)，则 cos sin _.(6 )
8、 (56 ) (23 )答案 (1) (2)043解析 (1)将 转化为( ) .4 4 2由题意知 sin( ) ， 是第四象限角，4 35所以 cos( )0，4所以 cos( ) .4 1 sin2 4 45tan( )tan( )tan ( )4 4 2 2 4 .sin2 4cos2 4cos 4sin 44535 43(2)cos cos cos a.(56 ) (6 ) (6 )sin sin cos a，(23 ) 2 (6 ) (6 )cos sin 0.(56 ) (23 )题型三 利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设
9、条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” “升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换” “逆用变用公式” “通分与约分” “分解与组合” “配方与平方”等.例 3 化简：(1)sin 50(1 tan 10)；3(2) .2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(x 4)解 (1)sin 50(1 tan 10)3sin 50(1 tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10 sin 60sin 10cos
10、 60cos 10sin 50 cos60 10cos 60cos 10 2sin 50cos 50cos 10 1.sin 100cos 10 cos 10cos 10(2)原式2cos2xcos2x 1 122tan(4 x)cos2(4 x) 4cos2xsin2x 14cos(4 x)sin(4 x)1 sin22x2sin(2 2x) cos 2x.cos22x2cos 2x 12点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称
11、；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.变式训练 3 (1)在ABC 中，已知三个内角 A，B ，C 成等差数列，则 tan tan tan A2 C2 3tan 的值为 _.A2 C2(2) 的值是( )2cos 10 sin 20sin 70A. B. C. D.12 32 3 2(3)若 ，且 3cos 2 sin ，则 sin 2 的值为( )(2，) (4 )A. B. C. D.118 118 1718 1718答案 (1) (2)C (3)D
12、3解析 (1)因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，所以AC ， ，tan ，23 A C2 3 A C2 3所以 tan tan tan tan A2 C2 3 A2 C2tan tan tan (A2 C2)(1 tan A2tan C2) 3 A2 C2 tan tan .3(1 tan A2tan C2) 3 A2 C2 3(2)原式2cos30 20 sin 20sin 702cos 30cos 20 sin 30sin 20 sin 20sin 70 .3cos 20cos 20 3(3)cos 2sin sin(2 2) 2(4 )2sin cos(4 ) (4 )代
13、入原式，得 6sin cos sin ，(4 ) (4 ) (4 ) ，sin( )0，(2，) 4cos ，(4 ) 16sin 2cos 2cos 2 1 .(2 2) (4 ) 1718高考题型精练1.(2015陕西)“ sin cos ”是“cos 20”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 sin cos cos 2cos 2sin 20；cos 20cos sin sin cos ，故 选 A.2.(2016课标全国丙)若 tan ，则 cos 2 等于( )13A. B. C. D.45 15 15 45答案 D解析
14、 tan ，则 cos 2cos 2sin 2 .13 cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 453.若 tan ，且 0，则 等于( )( 4) 12 22sin2 sin 2cos( 4)A. B. C. D.255 3510 3510 255答案 A解析 由 tan ，得 tan .( 4) tan 11 tan 12 13又 0，所以 sin .2 1010故 2 sin .2sin2 sin 2cos 42sin sin cos 22sin cos 2 2554.已知 f(x)sin 2 ，若 af(lg 5)，bf (lg )，则( )(x 4) 15A.
15、ab0 B.ab0C.ab1 D.ab1答案 C解析 af(lg 5)sin 2(lg 5 ) ，4 1 cos2lg 5 22 1 sin2lg 52bf(lg )sin 2(lg ) ，15 15 4 1 cos(2lg 15 2)2 1 sin2lg 52则可得 ab1.5.已知 sin sin ，则 sin 的值是( )(3 ) 435 ( 76)A. B. C. D.235 235 45 45答案 D解析 sin sin sin cos cos sin sin sin cos (3 ) 435 3 3 435 32 32 sin cos ，435 32 12 45故 sin sin
16、cos cos sin .( 76) 76 76 ( 32sin 12cos ) 456.若(4tan 1)(14tan )17，则 tan()等于( )A. B. C.4 D.1214 12答案 C解析 由已知得 4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan )，tan() 4.tan tan 1 tan tan 7.(2015江苏)已知 tan 2 ，tan() ，则 tan 的值为 _.17答案 3解析 tan 2，tan() ，tan tan 1 tan tan 2 tan 1 2tan 17解得 tan 3.8.设当 x 时，函数 f(x)si
17、n x2cos x 取得最大值，则 cos _.答案 255解析 f(x)sin x2cos x sin(x)，5(55sin x 255cos x) 5其中 sin ，cos ，255 55当 x2k (kZ)时，函数 f(x)取到最大值，2即 2k 时，函数 f(x)取到最大值，2所以 cos sin .2559.已知 ，且 2sin2sin cos 3cos 20，则 _.(0，2) sin(4)sin 2 cos 2 1答案 268解析 ，且 2sin2sin cos 3cos 20，(0，2)(2sin 3cos )(sin cos )0，2sin 3cos ，又 sin2cos 2
18、1，cos ，sin ，213 313 .sin( 4)sin 2 cos 2 122sin cos sin cos 2 cos2 sin2 26810.(2015四川)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos 2 的值是_.答案 1解析 sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2.又2sin cos cos 2 ，2sin cos cos2sin2 cos2 2tan 1tan2 1原式 1.2 2 1 22 111.(2015广东)已知 tan 2.(1)求 tan 的值；( 4)(2)求 的值.sin 2sin2 sin cos cos 2 1解 (1)tan
19、( 4)tan tan 41 tan tan 4 3.tan 11 tan 2 11 2(2)sin 2sin2 sin cos cos 2 12sin cos sin2 sin cos 2cos2 1 12sin cos sin2 sin cos 2cos2 1.2tan tan2 tan 2 2222 2 212.已知函数 f(x)cos 2xsin xcos x，x R .(1)求 f 的值；(6)(2)若 sin ，且 ，求 f .35 (2，) (2 24)解 (1)f cos 2 sin cos (6) 6 6 6 2 .(32) 12 32 3 34(2)因为 f(x)cos 2xsin xcos x sin 2x1 cos 2x2 12 (sin 2xcos 2x)12 12 sin ，12 22 (2x 4)所以 f sin(2 24) 12 22 ( 12 4) sin12 22 ( 3) .12 22(12sin 32cos )又因为 sin ，且 ，35 (2，)所以 cos ，45所以 f (2 24) 12 22(1235 32 45) .10 32 4620
