1、第 26 练 空间几何体的三视图及表面积与体积题型分析 高考展望 三视图是高考的热点和重点.其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.体验高考1.(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3 B.4 C.24 D.34答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径 为 1，高为 2，则表面积为S2 12 2122212 12 2434.2.(2016课标全国乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.
2、若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A.17 B.18 C.20 D.28答案 A解析 由题意知，该几何体的直 观图如图所示，它是一个球( 被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的 后得到的 组合体，其表面积是球面面积的 和三个 圆面积之和，由几何18 78 14体的体积易得球的半径为 2，则得 S 4223 2217，故选 A.78 143.(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.116 13 12答案 A解析 由三视图知，三棱锥如 图所示.由侧(左)视图得高 h 1，又底面积 S 11 ，12 12所以体积 V Sh .1
3、3 164.(2016四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.答案 33解析 由题意可知，因为三棱 锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正( 主)视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为 h1，则面积 V Sh 1 .13 13 (12231) 335.(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm 2，体积是_cm 3.答案 72 32解析 由三视图可知，该几何体 为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为 4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：其体积 V222432(cm 3)
4、，由于两个 长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形，所以表面积为 S2(2222 44)2222(832)872(cm 2).高考必会题型题型一 三视图识图例 1 (1)在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2) ，(2，2，0) ，(1 ，2，1)，(2，2，2)，给出编号为、的四个图，则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为( )A.和 B.和 C.和 D.和(2)将正方体(如图 所示)截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 (1)D (2)B解析 (1)由三视图可知， 该几何体的正(主) 视图是一个直角三角形 (
5、三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线( 一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主) 视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐 标分别是(0，0，0)，(2，2， 0)，(1，2，0)，故俯 视图是.(2)还原正方体后，将 D1，D，A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D 1A 的射影为 C1B，且为实线，B 1C 被遮挡应为虚线.点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线.(2)正(主 )俯一样长，俯侧(左)一 样宽，正(主) 侧(左)一样高.变式训练 1 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正
6、确的是( )答案 B解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选 B.题型二 空间几何体的表面积和体积例 2 (1)(2015安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1 B.2 C.12 D.23 3 2 2(2)(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _m3. 答案 (1)B (2) 83解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图 ，如图，该四面体的表面积为 S 表 2 212 ( )22 ，故选
7、B.12 34 2 3(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为 1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为 2 m，所以该几何体的体积 V2 1211 22 (m3).13 83点评 利用三视图求几何体的表面积、体 积，需先由三 视图还 原几何体，三个图形结合得出几何体的大致形状，由实、虚线得出局部位置的形状， 再由几何体的面积体积公式求解.变式训练 2 (1)(2016课标全国甲) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20 B.24 C.28 D.32(2)(2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.
8、 C. 2 D. 213 23 13 23答案 (1)C (2)A解析 (1)由三视图可知， 组合体的底面圆的面积和周长均为 4，圆锥的母线长 l4，232 22所以圆锥的侧面积为 S 锥侧 448 ，12圆柱的侧面积 S 柱侧 4416 ，所以组合体的表面积 S816 428，故选 C.(2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V 122 1 ，12 13 (1212) 13选 A.高考题型精练1.如图所示的几何体是棱柱的有( )A. B. C. D.答案 C解析 由棱柱的定义知两个几何体是棱柱，故 选 C.2.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( )A.36 ( ) B.36 (
9、2)3 2 3C.108 D.108( 2)3 3答案 B解析 由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正(主)视图和侧( 左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等 .由三视图中的数据，可得该圆锥 的底面半径 r6，三棱 锥 的底面是一个底边长为 12，高为 6的等腰三角形，两个锥体的高 h 6 ，122 62 3故半圆锥的体积 V1 626 36 .12 13 3 3三棱锥的底面积 S 12636，12三棱锥的体积 V2 Sh 366 72 .13 13 3 3故该几何体的体积 VV 1V 236 72
10、36 (2).故选 B.3 3 33.(2016课标全国丙)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.1836 B.5418 C.90 D.815 5答案 B解析 由题意知，该几何体为 底面为正方形的斜平行六面体，边长分别为 3，3， ，几何体45的表面积 S3623323 25418 .45 54.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )A. B.16 C.8 D. 73 283答案 D解析 由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个
11、顶点的距离，可求得其半径为 ，那么外接球的表面积为 4( )2 ，故选 D.12 2332 213 213 2835.已知某几何体的三视图如图所示，其正(主) 视图和侧(左)视图是边长为 1 的正方形，俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( )A.2 B.1 C. D.12 13答案 C解析 根据几何体的三视图，得 该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高 为 1，所以 该三棱柱的体积为 VSh 111 ，故 选12 12C.6.(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.
12、C. D.1 13 23 13 23 13 26 26答案 C解析 由三视图知，半球的半径 R ，四棱 锥为底面边长为 1，高 为 1 的正四棱锥，22V 111 3 ，故选 C.13 12 43 ( 22) 13 267.某几何体的正(主)视图和侧(左) 视图均为如图 1 所示的图形，则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A. B. C. D.答案 A解析 由正(主)视图和侧( 左) 视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确.8.(2015山东)在梯形 ABCD 中， ABC ，AD BC ，BC2AD2AB 2.将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转
13、一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D.223 43 53答案 C解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母 线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱 V 圆锥 AB2BC CE2DE1 22 121 ，故 选 C.13 13 539.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径
14、相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.答案 7解析 设新的底面半径为 r，由 题意得 r24 r28 5242 28，解得 r .13 13 710.一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示，则其正(主)视图的面积为_.答案 4解析 由题意知其正(主)视图 如图所示，则其面积为 (13)24.1211.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m 3.答案 2解析 由三视图知，四棱锥的高 为 3，底面平行四 边形的一 边长为 2，对应高为 1，所以其体积 V Sh 2132.13 1312.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底
15、面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 _.答案 932解析 设等边三角形的边长为 2a，球 O 的半径为 R，则 V 圆锥 a2 a a3.13 3 33又 R2a 2( aR) 2，所以 R a，3233故 V 球 ( a)3 a3，43 233 32327则其体积比值为 .93213.在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BAC90，其正(主) 视图和侧(左) 视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形.设点 M，N，P 分别是棱AB，BC，B 1C1 的中点，则三棱锥 P A1MN 的体积是_.答案 124解析 由三视图易知几何体 ABCA 1B1C1 是上、下底面 为等腰直角三角形的直三棱柱，则 V APMN .1PAMNV-1P-又 SPMN MNNP 1 ，12 12 12 14A 到平面 PMN 的距离 h ，12V APMN SPMN h .13 13 14 12 124
