1、第 30 练 直线与圆题型分析 高考展望 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.体验高考1.(2015广东)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y 25 相切的直线的方程是( )A.2xy50 或 2xy 5 0B.2xy 0 或 2xy 05 5C.2xy 50 或 2xy 50D.2xy 0 或 2xy 05 5答案 A解析 设所求直线方程为 2xyc 0，依题意有 ，解得 c5，所以所求直线方程
2、为 2xy50 或 2xy 50，|0 0 c|22 12 5故选 A.2.(2015课标全国)过三点 A(1，3)，B(4 ，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|等于 ( )A.2 B.8 C.4 D.106 6答案 C解析 由已知，得 (3 ，1) ， (3，9) ，则 3( 3)(1)( 9)AB BC AB BC 0，所以 ，即 ABBC ，故过三点 A，B ，C 的圆以 AC 为直径，得其方程为( x1)AB BC 2(y 2)225，令 x0 得( y2) 224，解得 y122 ，y 222 ，所以6 6|MN|y 1y 2|4 ，选 C.63.(2015
3、山东)一条光线从点 (2，3)射出，经 y 轴反射后与圆 (x3) 2(y 2) 21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或53 35 32 23 54 45 43 34答案 D解析 由已知，得点(2， 3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3). 设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有 d 1，| 3k 2 2k 3|k2 1解得 k 或 k ，故选 D.43 344.(2016上海)已知平行直线 l1：2xy10，l
4、 2：2xy10，则 l1，l 2 的距离为_.答案 255解析 d .|1 1|22 12 2555.(2016课标全国丙)已知直线 l：mxy3m 0 与圆 x2y 212 交于 A，B 两点，过3A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB| 2 ，则| CD|_.3答案 4解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2 ，|AB|2 ，3 3所以|OM|3，解得 m ，33由Error!解得 A(3， )，B (0，2 )，3 3则 AC 的直线方程为 y (x3)，3 3BD 的直线方程为 y2 x，3 3令 y0，解得 C(2，0) ，D (2，0)，所
5、以|CD|4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例 1 (1)若点 P(1，1)为圆(x3) 2y 29 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( )A.2xy30 B.x2y10C.x2y 30 D.2xy10答案 D解析 由题意知圆心 C(3，0)，k CP .12由 kCPkMN1，得 kMN2，所以弦 MN 所在直线的方程是 2xy10.(2)已知ABC 的顶点 A(3，1)，AB 边上的中线所在直线方程为 6x10y590，B 的平分线所在直线方程为 x4y100，求 BC 边所在直线的方程.解 设 B(4y110，y 1)，由 AB 中点在 6x10y 59 0 上
6、，可得：6 10 590，y 15，4y1 72 y1 12B(10，5).设 A 点关于 x 4y100 的对称点为 A( x，y) ，则有Error! A(1，7)，点 A(1 ，7)，B(10，5)在直线 BC 上， ，y 57 5 x 101 10故 BC 边所在直线的方程是 2x9y650.点评 (1)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1l2k 1k 2，l1l2k 1k21；判定两直 线 平行与垂直的关系时，如果 给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况 .(2)求直线方程的常用方法直接法：直
7、接选用恰当的直线方程的形式，写出 结果；待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练 1 已知直线 l 经过直线 3x4y20 与直线 2xy20 的交点 P，且垂直于直线 x2y10.(1)求直线 l 的方程；(2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程.解 (1)由Error!解得Error!所以点 P 的坐标是(2，2) ，又因为直线 x2y10，即 y x 的斜率为 k ，12 12 12由直线 l 与 x 2y10 垂直可得 kl 2，1k故直线 l 的方程为：y 22( x2) ，即 2xy 20.(2)直线
8、l 的方程 2xy 20 在 x 轴、y 轴上的截距分别是1 与2，则直线 l 关于原点对称的直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 1 与 2，所求直线方程为 1，即 2xy20.x1 y2题型二 圆的方程例 2 (1)(2015湖北)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于两点A，B( B 在 A 的上方)，且|AB|2.圆 C 的标准方程为_.圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_.答案 (x1) 2(y )2 2 12 2解析 由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2 21 22，解得 r .(|AB|2) 2所以圆 C 的
9、方程为(x1) 2( y )22.2方法一 令 x0，得 y 1，所以点 B(0， 1).又点 C(1， )，所以直线 BC 的2 2 2斜率为 kBC 1，所以过点 B 的切线方程为 y( 1)x0，即 yx( 1).2 2令 y0，得切线在 x 轴上的截距为 1.2方法二 令 x0，得 y 1，所以点 B(0， 1).又点 C(1， )，设过点 B 的切线方程2 2 2为 y( 1)kx，即 kxy( 1)0.由题意，得圆心 C(1， )到直线 kxy( 1)2 2 2 20 的距离 d r ，解得 k1.故切线方程为 xy( 1)0.令|k 2 2 1|k2 1 2 2y0，得切线在 x
10、 轴上的截距为 1.2(2)已知圆 C 经过点 A(2，1) ，并且圆心在直线 l1：y 2x 上，且该圆与直线l2：yx1 相切.求圆 C 的方程；求以圆 C 内一点 B 为中点的弦所在直线 l3 的方程 .(2， 52)解 设圆的标准方程为(xa) 2(yb) 2r 2，则Error! 解得Error!故圆 C 的方程为(x1) 2(y 2) 22.由知圆心 C 的坐标为(1，2)，则 kCB . 52 ( 2)2 1 12设直线 l3 的斜率为 k3，由 k3kCB1，可得 k32.故直线 l3 的方程为 y 2( x2) ，52即 4x2y130.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法
11、：通过研究圆的性质、直线和圆、 圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练 2 已知圆 x2y 24 上一定点 A(2，0)，B(1 ，1) 为圆内一点，P，Q 为圆上的动点.(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y )，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2x2，2y).因为 P 点在圆 x2y 24 上，所以(2x 2) 2(2y )24，故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1) 2y 21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，连接
12、 BN.在 Rt PBQ 中，|PN| |BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP| 2|ON| 2| PN|2|ON| 2|BN |2，所以 x2y 2(x 1) 2(y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y 2xy 10.题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例 3 (1)(2015重庆)已知直线 l：xay10(aR )是圆 C：x 2y 24x2y10 的对称轴，过点 A( 4，a) 作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|等于( )A.2 B.4 C.6 D.22 10答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线 xay10 是圆 C：x
13、2y 24x 2y10 的对称轴，圆心 C(2，1) 在直线xay10 上，2a10，a1，A (4， 1).|AC |2 36440.又 r2，|AB| 240436.|AB| 6.(2)已知圆 C：x 2y 22x4y40.写出圆 C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；是否存在斜率为 1 的直线 m，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB，且 OAOB(O 为坐标原点).若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 .解 圆 C 的标准方程为(x1) 2( y2) 29，则圆心 C 的坐标为(1，2)，半径为 3.假设存在这样的直线 m，根据题意可设直线 m：yxb.联立直线与圆的方
14、程Error!得 2x22( b1)x b 24b40，因为直线与圆相交，所以 0，即 b26b9 .95 5圆 C 与直线 y 2x4 不相交，t2 不符合题意，舍去.圆 C 的方程为(x2) 2(y 1) 25.高考题型精练1.已知 x，y 满足 x2y50，则(x1) 2(y1) 2 的最小值为( )A. B. C. D.45 25 255 105答案 A解析 (x1) 2(y 1) 2 表示点 P(x，y)到点 Q(1，1) 的距离的平方.由已知可得点 P 在直线l：x2y50 上，所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d ，|1 21 5|1 22 255所以(x 1
15、)2(y 1) 2 的最小值为 d2 .故选 A.452.“m3”是“直线 l1：2(m1)x(m 3)y75m0 与直线 l2：(m 3)x2y50 垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1l 2 得 2(m1)(m 3)2(m 3)0，m3 或 m2.m3 是 l1l 2 的充分不必要条件.3.若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )A.3 B.2 C.3 D.42 2 3 2答案 A解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1
16、：x y70 和 l2：xy50 的距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为 l：xy m 0，根据平行线间的距离公式得 | m7| |m 5|m 6，即 l：xy 60，|m 7|2 |m 5|2根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 24.(2016山东)已知圆 M：x 2y 22ay 0( a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 ，则2圆 M 与圆 N：(x1) 2(y 1) 21 的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 圆 M：x 2(y a) 2a 2，圆心坐标为
17、 M(0，a) ，半径 r1a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d ，|a|2由几何知识得 2( )2a 2，解得 a2.(|a|2) 2M(0，2) ，r 12.又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21，|MN | ，(1 0)2 (1 2)2 2r1r 23，r 1 r21.r 1r 2| MN|r 1r 2，两圆相交，故选 B.5.与圆 x2y 21 和圆 x2y 28x70 都相切的圆的圆心轨迹是( )A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)答案 D解析 设所求圆圆心为 M(x， y)，半径为 r，圆 x2y 2
18、8x 70( x4) 2y 29，圆心设为 C(4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO| r1，|MC|r3，从而|MC| MO|2|OC|，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，必切于两定圆切点，即 M 必在 x 轴上，但需去掉 O，C 及两定圆切点，因此选 D.6.(2015课标全国)已知三点 A(1，0)，B(0 ， )，C (2， )，则ABC 外接圆的圆心到原3 3点的距离为( )A. B. C. D.53 213 253 43答案 B解析 由点 B(0， )，C(2， )，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x1，3 3由点 A(1，0) ， B(0， )，
19、得线段 AB 的垂直平分线方程为3y ，32 33(x 12)联立，解得ABC 外接圆的圆心坐标为 ，(1，233)其到原点的距离为 .故选 B.12 (233)2 2137.(2016山东)在 1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5) 2y 29 相交”发生的概率为_.答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线 ykx 的距离小于半径， 3，解得 k ，|5k|k2 1 34 34由几何概型得 P .34 ( 34)1 ( 1) 348.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y 28x 150，若直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为
20、半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_.答案 43解析 圆 C 的标准方程为(x4) 2y 21，圆心为(4，0).由题意知(4，0)到 kxy 20 的距离应不大于 2，即 2.整理，得 3k2 4k0.解得 0k .|4k 2|k2 1 43故 k 的最大值是 .439.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y 24 上有且仅有三个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的值为_.答案 13解析 因为圆心到直线 12x5yc 0 的距离为 ，|c|13所以由题意得 1，c13.|c|1310.已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2y 22x 有两个交
21、点时，其斜率 k 的取值范围是_.答案 ( ， )24 24解析 因为已知直线过点( 2，0) ，那么圆的方程 x2y 22x 配方为 (x1) 2y 21，表示的是圆心为(1 ，0)，半径为 1 的圆，设过点(2，0)的直线的斜率为 k，则直线方程为 yk (x2)，则点到直线距离等于圆的半径 1，有 d 1，化简得 8k21，|k 0 2k|k2 1所以 k ，24然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是( ， )，24 24故答案为( ， ).24 2411.已知过点 A(0，1) ，且方向向量为 a(1，k)的直线 l 与圆 C：(x2) 2(y3) 21 相
22、交于M，N 两点.(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 O 为坐标原点，且 12，求 k 的值.OM ON 解 (1)直线 l 过点 A(0，1)且方向向量为 a(1 ，k)，直线 l 的方程为 ykx1.由 1，|2k 3 1|k2 1得 k .4 73 4 73(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，将 ykx1 代入方程( x2) 2( y3) 21，得(1k 2)x24(1k )x70 ，x 1x 2 ，x 1x2 ，4(1 k)1 k2 71 k2 x 1x2y 1y2OM ON (1k 2)x1x2k( x1x 2)1 8 12，4k(1 k)1 k2 4，解得 k1
23、.4k(1 k)1 k212.已知圆 Mx 2(y 2) 21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点.(1)若 Q(1，0)，求切线 QA，QB 的方程；(2)求四边形 QAMB 面积的最小值；(3)若|AB| ，求直线 MQ 的方程.423解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 xmy1，则圆心 M 到切线的距离为 1， 1，|2m 1|m2 1m 或 0，43切线 QA，QB 的方程分别为 3x4y 30 和 x1.(2)MAAQ，S 四边形 MAQB|MA|QA|QA| |MQ|2 |MA|2 |MQ|2 1 .|MO|2 1 3四边形 QAMB 面积的最小值为 .3(3)设 AB 与 MQ 交于点 P，则 MPAB.MBBQ ，|MP | .1 (223)2 13在 Rt MBQ 中，|MB |2|MP|MQ |，即 1 |MQ|，13|MQ| 3.设 Q(x， 0)，则 x22 29，x ，5Q( ，0) ，5直线 MQ 的方程为 2x y2 0 或 2x y2 0.5 5 5 5
