1、 2008 年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题(高三) 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项 B D C D A C B D B D A B答案 ：B P Q 只有一个子集即 P Q 为空集，数形结合可知 k 1 时，直线与曲线 无交点1xay2答案 ：D , 是 的必要而不充分条件；由ba1ba，得 ，命题 为真命题0x13或xq3答案 ：C 因为 ，所以已知条件可改写,2PBAPCBA为 。容易得到此三角形为等腰三角形。 ()AB4答案: D 由已知得 ，两边平方得 ，求得23(cosin)5x19(sin2)5x7sin25x或令 ，则 ，所以43sin5
2、27sin2i()cos1sin5x答案 ：A ，令 ， , nnxx31nnat )6ta(1nnx， ， ， , , , nx6123234325, ，有 。故选 A。32670814320nxx6答案 ：C 解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有 4 种方法；再在选出的三条边上各选一点，有 73种方法这类三角形共有 473=1372 个另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有 4 种方法，再在这条边上任取两点有 21 种方法，然后在其余的 21 个分点中任取一点作为
3、第三个顶点这类三角形共有42121=1764 个综上可知，可得不同三角形的个数为 1372+1764=3136解法二： 3164C73287答案 ：B f (x)是 R 上的增函数,且 f(0)=-1,f(3)=1, 当f(x+1)1 时， 有-1f(x+1) 1. 即 0x+12， -1x2. 8答案：D 设 M F 双曲线的交点为 P，焦点 F （c,0）, F 2 ( c, 0),由平面几何知识1 1知：F 2PF M，又|F F2|=2c 于是 |PF2| =2csin60= c |PF1| =c 1 1 3故 2a= |PF2| |PF 1| = cc =（ 1）c e= = +1.
4、3 3ca 39答案：B 由 ，知函数 的最小正周期是 3，0)(xff )(xf是奇函数 ， 函数 的图象关)4(xfy 4fy于点 对称，又由已知 ，可知 ，0,3)(23(xff )4()3(xxf正确10答案:D 在展开图中点 C 为线段 P1 P2 中点，B 为线段 P2 P3 中点，P 1A=P3A, , P1C=P3B=P2C=P2B,AP313132133,AC=AB,在三棱锥中取 BC 中点 D，连结 PD、AD ，则BCBCPACD,或11答案：A 令 lgxx310， yx3则 互为反函数yx12，与 和直线 的交点 关于直线xlyxAyBxy()()12， ， ，对称
5、由 与 联立解得线段 的中点 y3AC()32，x12312 答案 B , cos(1)2xy2()1xyx所以 ，即 ，所以 的最小值为 。23,xykZ 15kyxy21()513答案： 原不等式等价于 ；31|ax123ax移项，通分得 ()031xa 由已知 ，所以解得 ；解 得 或 0a3ax1ax故原不等式的解集为 |14.答案： 由二项式定理知: 的展开式中 的系数为 C ,25(cos1)x2x3 5 2cos的展开式中 的系数为 C ,于是有 C = C ,解得 = .45()x3x1 454 35 2cos1 454 21215答案： 设 ，作ADE 关于 DE 的对称图形
6、，A2,ADE的对称点 G 落在 BC 上。在 DGB 中，1sini(233)xx32sin()当 时，即 。sin(2)1minx16答案： A 延长 D1A1,DA,D1C1,DC 将此多面体补成三棱锥,利用大三棱锥的体积与两个小三棱锥体积的差求得17解：（1） .(2) .21)6sin()2(cossin23)( xxxxf由函数 的周期 f .,得T函数 的表达式为 .(4) )(x21)64sin()xf（2）由题意，得 (6) .2cosacacb又 ,0x.30x .(8) .6746x .21)64sin(1,)sin(21 x即函数 的值域为1， . (10) xf218
7、. 解：（1）求阿明投篮 4 次才被确定为 B 级的概率，即求前 3 次中恰有 2 次投中且第 4次必中的概率，其概率为 。 . (4) 163)(3Cp（2）若连续两次投篮不中则停止投，阿明不能入围，该事件可以分为下列几类：5 次中 3 次有 种可能投球方式，其概率为： . .(6) 24 16)2()54Cp投中 2 次，其分别有“中中否否” 、 “中否中否否” 、 “否中中否否” 、 “否中否中否”4 类投球方式，其概率为： (8)3)21()(54p投中一次，其分别为“中否否” 、 “否中否否”2 类，其概率为 ；163)2()1(43p(10)投中 0 次其仅有“否否”一种，其概率为
8、： 。故4)2(0p(12)3254163251p19如图,四边形 内接于圆, 是 的中点, , ,ABCDPABPEADFBC, 是线段 和 的交点,求证: .PGMGEFM证:作 , ( 为垂足)(2) 1F11则 . (4) 2E设 PG k,因 共圆,11AB. (6) 1CC故 是 的中点.(因FDPK1EF1P为等腰三角形), (8)1E为平行四边形,(因 P、E、K、F 为四边形各边中点). (10)AB.(对角线互相平分). (12) M20解：（1） （2 分）)0(12)()0(,41,2)0(11 nnn fffaf nnnn afff 1)(2)(2)(1 KM F 1
9、E1 P CA BDE FG 是首项为 ，公比为 的等比数列.na412.（5 分）)2(n（2） 122322321 )1(1, nnnn aaTaaT 两式相减得： nnn 22212 )(4).(3 122)(4)(6nn. （8 分）139T222 )(,1nQnn即比较 与 的大小.22)1(34n，即比较 与 的大小.1nnn时， ； (9 ).09)2(2时， ； （10 分）25162n时，3.0 22102 )1()()( nCnnn（11 分）2)1(n故：当 n=1 时或 2 时， nQT29当 时， （12 分）3n21解（I）以 O 为原点，OA 为 X 轴建立直角坐
10、标系，设 A（2，0） ，则椭圆方程为214xyb(2) O 为椭圆中心，由对称性知 |OC|OB| 又 ， ACBC0BCA又|BC|2|AC| |OC| |AC | AOC 为等腰直角三角形 (4) 点 C 的坐标为（1，1） 点 B 的坐标为（1，1）将 C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得 ， 则求得椭圆方程为243b2314xy(6)（II）由于PCQ 的平分线垂直于 OA（即垂直于 x 轴） ，不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC的斜率为k，因此 PC、QC 的直线方程分别为 yk（x1）+1，yk（x1）+1(8)由 得（13k 2）x 26k （k1）x3k 26k10 *）2(
11、)4ykx点 C（1，1）在椭圆上，x1 是方程（ *）的一个根， x P1 即 xP2361k2361k同理 xQ . (10)2361k直线 PQ 的斜率为 （定值） 22(31)() 3PQPQkykx又ACB 的平分线也垂直于 OA 直线 PQ 与 AB 的斜率相等（k AB= ）向量 ，即总存在实数 ，使 成立 (12) /PABPAB22 （I）证明： 、 满足)(1mf)(2f ,0)()( 21212 mfafmfa,)()(.021faf或即的一个实根， 2 分x2是 方 程或 .0,0,3 ,)1( .0)(3,23)(4.,02 bcacabf cacc即即 即 （II）证明：设 、 ， 0，12)( xcxxf 两 根 为 2cbf)(方程 的一个根为 1，另一根为 6 分.a,0,0,0 cbcaca且又 4 分8 分.3|2,1,02xacca（）解：设 ).(1)()( acxf 由已知 .21m或不妨设 ,0)(1)( acaf则 10 分.311 ac ,2)(2 bxcbxxf的 对 称 轴 为 上为增函数， ),(,0在f .03)1(3( 11 mfmf同理当 ,)(,22fa有时 中至少有一个为正数. 12 分)()(1ff或
