1、线性代数 （经管类）串讲资料第四部分 考点串讲（按标准试卷题序串讲）一、单项选择题：1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：1）利用传统的计算方法直接计算；2）利用性质巧计算，主要性质有：行列式和它的转置行列式相等；行列式可以按行列提出公因数；互换行列式中的任意两行（列） ，行列式的值改变符号；如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零行列式或以按行（列）拆开把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。2、字母型行列式计算本题型主
2、要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有：1）|KA|=K n|A|2） |BA3） |AT4） |*|15） 1|nA3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式：1） 1)(2） 11AkK3） 11)(B4） TTA)(15） kk)(14、考查伴随矩阵的求法1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。2）根据公式： 11|*|AA5、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：1）根据公式： 先求出 A*|*1A2）利用初等行变换求逆矩阵6、向量组线性相关与线性无关的考查这种题型有两种考法1）利用线性相关这
3、一已知条件可实数：如若向量组 线性相关，则实)1,0()0,21()0,1( 231 taata数 t 为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有 0102ttt2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否如：已知量组 线性相关，那么4324321,: 中A线性无关，B、 线性相关4321,: 4321,C、 线性表示 D、 线性无关4321,可 由 43根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造 B7）考查 A 与 B 相似性质：设立 A 和 B 是两个 n 阶方阵，如果存在某个 n 阶可逆矩阵 P 使得则称 A 和 B 是相似的，记为P1BAA 与 B 相似有： trA=trB|A
4、|=|B|8、考查线性方程组的解法：1）齐次线性方程组的解：若 是齐次线性方程组 的解，则 也是 的解21.0Ax210Ax若 是齐次线性方程组 的解，k 是任意实数，则 k 也是 的解。2）非齐次线性方程组的解：如果 是非齐次线性方程组 的解，则 是它的导出组21.ybAx21y的解。0Ax如果 y 是非齐次线方程组 的解， 是它导出组 的解，则x0Ax必是 的解。bx9、考查正交向量性质：设 如果 则称 与nn Rb),(),( 2121 0).(正交，记为例：下列向量中与 =（1、1、-1 ）正交的向量是（ ）A、 =（1、1、1） B、 =（-1、1、1）2C、 =（1、-1 、1）
5、D、 =（0、1、1）3 4跟据性质不难得出 D 为正确答案10、本题一般考察由所给的二次型转化为对称矩阵或由对称矩阵转化为对应的二次型，P164本题型简单应该必得二、填空题11、本题仍然考查行列式的计算性质如 等相关公式的运用|Akn例，设 A 为三阵方阵且|A|=3，则|2A|=2 3|A|=83=2412、本题主要考查矩阵的性质及相关运算1）矩阵的乘法利用基本的矩法运算法则进行运算2）求伴随矩阵利用最基本的概念求伴随矩阵3）求可逆矩阵利用公式 求方阵的逆矩阵|*1A利用矩阵的初等变换求伴随矩阵4）转置运算律 AT)(（A+B ） =AT+BT 为 实 数kKk)( TkTTKAAB12)
6、(5）方阵行列式的性质 |T |Akn （行列式乘法规则）|B6）可逆矩阵的基本性质：设 为同阶的可逆方阵，常数A, 、k则0 为可逆矩阵、且1 A1AB 为可逆矩阵、且 11)(BkA 为可逆矩阵、且 11AkAT 为可逆矩阵、且 TT)()(1可逆矩阵可以从矩阵等式的周侧消去，即当 P 为可逆矩阵地有：BAP设 A 是 n 阶可逆矩阵我们记 并定义 其中 k 是任意正整EA0、Ak1数则有： kkkk)(,这里，k 和 a 为任意整数（包括负整数、零和正整数）13、考查齐次方程 的基础解系所含向量的个数：0Ax设 A 为 矩阵， 的基础解系中解向量个数为 n-rnm,)(xr则14、考查齐
7、次线性方程组 有非零解的条件：者齐次线性方程组有非零解，0则必有|A|=015、考查矩阵秩的求法：1）给出了已知矩阵求法矩阵的秩利用矩阵的初等行变化求秩，秩即为矩阵非零行个数，2）给出了几个向量最后间向量组成向量组的秩，其解法是相同的已知向量组 的秩为 212213t则数 t=-2解： ttttt 2103213012因秩为 t、则16、考查解方程解的性质17、考查方阵特征值的求法1）根据特征值的和等于方阵的迹，求方阵的特征值例：已知 为矩阵 的 2 重特征值，则 A 的另一个特征值020A为 。解：根据特征值的和等于方阵的迹，得： 4203321 2）根据特征值之积等于|A|的值。例：设三阶
8、方阵 A 的三个特征值为 1、2、3 则|A+E|= 解：三阶方阵的特征值为 1、2、3 则 A+E 的特征值为 2、3、442| EA18、由二次型转化为标准型，或由标准型转化为二次型19、利用二次型正定的性质，求 R 的取值范围例：二次型 正定则数 k 的取值范23221321 )()()(,( xkxkxf 围为 解：第一次先将二次型转化为标准型 201k第二次列式 20)1()2(01kkk20、一般考查向量内积的性质：向量内积有以下基本性质：对于 TE 取的 有：nRrk,2,1）对称性 ),(,2）线性性 ),(, kk),(rr它们可以合并为 ),(),(,kk例：设 与 的内积
9、（ ） 8),2(|,2),( a则 内 积解： ,),2( aa842),(,(三、计算题：21、本题主要考查行列式值的求法；知识点一 常规解法知识点二 利用行列式的性质求解22、求方阵的可逆矩阵知识点一 利用公式 求可逆矩阵|*1A知识点二 利用矩阵的初等变化求 123、考查知阵的运算其中包括可逆矩阵，转置矩阵性质及运算律的考查24、求向量组的极大线性无关组知识点 利用矩阵的初等行变化求极大线性无关组，25、解方程组的解：知识点一 解齐次线性方程组的解知识点二 解非齐次线性方程组的解26、求对角矩阵四、证明题：本大题主要考查线性相关与线性无关及其相关知识，例：设向量组 线性无关，证明向量组
10、 也线性21, 2121,aa无关。其次考查矩阵的性质：如例：设 n 阶矩阵 A 满足 A2=A 证明 E-2A 可逆；且（E-2A） -1=E-2A第五部分 必考题型分析一、求行列式的值近年来此题型为计算题第一题，历年必考，一般多以技巧性解题为主，充分利用性质解答。例：计算四阶行列式 120的 值解：通过观察，行列式的每列之和皆为 3 得： 12032011201563 12312031202003 、本题即充分利用性质解题，而非常规硬算，那样计算量太大很难正确，利用性质计算量大大下降，且正确率也必然上升二、求方阵的可逆矩阵可逆适阵的求法是楞年必考题，多以计算大题形式出现，解此种类型题，主要
11、是通过矩阵的初等交换求方阵的可逆矩阵例：设矩阵 。101A、A则解： 01101010 011001001A解析把原矩阵化为单位矩阵，同时单位矩阵按照其同样的初等变化转化为 A-1三、由矩阵性质及运算法则求矩阵 X本题型也为历年必考题型，多以大题出现，难度不大，但容易出错，在解管过程中关键是要对运算细节的把握。例：已知 2132413512CBAX 满足 XC求解： CBAX)(11B 13241522531CA)(1BX38125在本题中要特别留意 其中 A-1 是左乘、位置)(11BCAxBCAx一定要定位准确，这是关键之处，也集中表现出矩阵，行列式这块内容的位置特性，且矩阵是矩阵行列式是
12、行列式，行列式实质上是一个数，而矩阵则不然四、求向量组的极大线性无关组：求向量组的极大线性无关组其实与求向量组或矩阵的秩是同一个过程，都是首先通过矩阵的初等行变化，将其矩阵转化为阶梯形矩阵再求解：例：求向量组 12,132,123,132 4的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表示解：以 、 、 、 为列向量的矩作初等行变换有：1234102375142358012321210102所以 、 、 为极大无关组并且123 214五、解非齐次线性方程组：设 y 是 的任意一个解， 是导出组 的一个基础解系，bAxrn,21 0Ax则，就是 的通解。rnkky21*bx求法：对（ A、b）进行初
13、等行变换化简化成行阶梯形矩阵对写出原方程组同解的方程组，确定自由未知量设自由未知量为零，可得到 的特解 y*bAx再写出与原方程组的导出组同解的方程组，确定自由未知量令自由未知量为单位向量组，可得到导出组 的基础解系0xrn,21写出 的能解bAx为任意实数）rnrnkkky 2121 (,*例：为何值时，线性方程组1321x有解，并求解解： 1011),( 2bA当 方程组有唯一解，此时3)(,(Ar时120121010),( bA所以解为：123x当 方程组有无穷多解，此时31)(,(Arb、时 01,br得到同解的线性方程组为 0321x即： =1-1x32分别令 可求得基础解系为 所以
14、通解为10;32x 1021y和实数）为 任 意、kky1001六、特征值与特征向量的求法：定义：设 A=（ ）为 n 阶实方阵，如果存在某个数 和某个 n 维非零列向量 Pija满足，AP= P则称 是的一个特征值，P 是 A 的属于这个特征值 的一个特征向量。2、求法：（1）写出特征多项式 求出特征方程 =0 的所有根，这些根就|E|AE是 A 的全部特征值。（2）对特征值 ，求出齐次线性方程组的所有非零解，这些就是 A 属于这0个特征值的特征向量（3）例题求 的特征值与特征向量3205A解： )1(53205| 2AE令 =0 得 即为 A 的全部特征值| ,132对应于 =1，解齐次线
15、性方程组（ E-A）x=011得： 3213210004xx即令 得基础解系为13x1所以 的属于特征值 的全部特征向量A、k是01 1对于 解齐次线性方程组（ E-A）x=05322即： 3232100xx即令 1010,31得 基 础 解 系 数 为x所以 ),(10221不 全 为 零kk即为对应 的全部特征向量532七、线性相关与线性无关及有关知识1、定义对向量组 ，若存在不全为零的数 使得，m,21 mk,210,21kk则称 线性相关 为相关系数，否则利m,21 mk,21线性无关。,212、结论：（1）单个向量 线性相关 0单个向量 线性无关 （2）两个向量 与 线性相关 与 成
16、比例两个向量 与 线性无关 与 不成比例（3）含有零向量的向量组线性相关（4）单位向量组线性无关例：设 是齐次方程组 的基础解系321,0Ax证明： 也是 的基础解系32121, 、证明： 的 解是 0,321Ax是方程组 的解32121, 0Ax又令 )()(32132121 kk得 0( 321321 线性无关32121, 、是 的一个基础解系32121, 0Ax第六部分 必考经典例题例 1 计算行列式的值4123D解： 41231042310423116041042102310 例 2 求矩阵 的逆矩阵 A-101A解：利用初等行变换求 A 的逆矩阵；时（ A、E）作初等行变换 1010
17、1010),( EA 011010011001 011A所 以例 3 设 A 为 3 阶方阵且|A|= |;2)3(,1*1BAB求解：由于 所 以因 此 ,31|,*,|1 AAA91|27|31|2311 A、AB例 4 求向量组 ),243,1(,02,3221 、的一个极大无关组并将其余向量用该极大无关系表示出来),3(4解： 1432013420),(4321T0032105极大无关组为 ，且 =2 =21,321421例 5 解非齐次线性方程组089543121xx解： 1763401849351),( bA0/501076441732得到同解的方程组为 42231745xx令 得
18、到特解为0,43x0415*y与导出组同解的方程组为：43217xx令 得到基础解系为043x407321、于是、通解为 、kk为 任 意 实 数121,(4073045例 6 判断矩阵 是否可以与某对角矩阵相似若相似，求出 及 P1245A 解： )3(120451| 2AE令 =0 得 即为 A 的全部特征值，对于 =1 解齐| 321、21次线性方程组 0)(xAE即： 321321042 x、xx即令 1010,32得 基 础 解 系 为x即为对应于 =1 的两个线性无关的特征向量对于 解齐次线性方程组2130)(3xAE即： 321321 0042 x、x即令 得基础解系为 ，即为对应于 的一个线性无关的特征向量13x13因为 线性无关10,012所以 102,3PA第七部分 考前提示线性代数为自考科目中较准的一科，有很多考生对此感到恐慌，其实不然。首先自学考试是一种面向社会的自主学习教育模式由于兼顾社会考生，准度自然不会太大，初学考试其实主要考查考生持之以恒，坚持到底的耐力，所以只要我们坚持住，一步一个脚印，我们一定能够胜利。其次线性代数是一门考试规律性极大的科目甚至可以这样说，只要你能牢牢把握住这些规律、重点掌握关键题型，加上考场上正常发挥，过关真的不难。最后真诚的祝愿每位考生都能顺利过关！
