1、高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ KS5U2018 全国卷 II 高考压轴卷 理科数学 本试卷共23题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 已知 U=y|y=log2x，x1，P=y|y= ，x2，则 UP=（ ） A 2 1 ，+） B （0， 2 1 ） C （0，+） D （，0）（ 2 1 ，+） 2. “ 0 a ”是“函数 3 () ( 0 , ) fx x a x 在区间 上是增函数”的 A
2、必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3. 已知函数 2010 sin (0 1) () log ( 1) xx fx xx ，若 , abc互不相等，且 () () () fafbfc ，则 abc 的取值范围是( ) A (1,2010) B (1, 2 0 1 1) C (2,2011) D 2,2011 4. 设Sn是等差数列an的前n 项和，若 = ，则 =（ ） A B C4 D5 5. 在 ABC 中 ， AN = 4 1 NC，P 是直线 BN 上的一点，若 AP =m AB + 5 2 AC，则实数 m 的值为（ ） A4 B1 C1
3、D4 6. 在四棱锥PABCD 中，PA底面ABCD，底面 ABCD 为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面 截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ A B C D 7. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书 九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入 a的值均为 4，输出s 的值为 484，则输入 n 的值为（ ） A6 B5 C
4、4 D3 8. 已知圆 C：x 2 +y 2 =4，点 P 为直线x+2y9=0 上一动点，过点 P 向圆C引两条切线 PA、PB， A、B 为切点，则直线 AB经过定点（ ） A B C （2，0） D （9，0） 9. 椭圆x 2 + =1（0b1）的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若FAB 的外接圆圆 心 P（m，n）在直线 y=x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A（ ，1） B（ ，1） C（0， ） D（0， ） 10. 在区间1，1上任取两数 s 和t，则关于 x的方程 x 2 +2sx+t=0 的两根都是正数的概率 为( ) A B C D 11. 已知
5、1 2 e ad x x ，则 4 x yxa 展开式中 3 x 的系数为（ ） A24 B 32 C. 44 D56 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 12. 已知正数 x、y、z 满足 xyz z S z y x 2 1 , 1 2 2 2 则 的最小值为（ ） A3 B 3( 3 1) 2 C4 D 2( 2 1) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分。 13. 已知复数 z 满足 i 2 1 i 3 4 iz ，则复数 z 在复平面内对应的点在 A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 14. 若直线y=3x 上存在
6、点（x，y）满足约束条件 ，则实数 m的取值范围 是 15. 已知 ABC 的内角 , ABC的对边分别为 , abc，若 1 cos , 4,sin 2sin 4 B bAC ， 则 ABC 的面积 为 16 已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab 上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于 A、B 两点，记直线 AC、BC 的斜率分别为 12 , kk ，当 12 12 2 ln ln kk kk 最小时，双曲线离心率为 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答
7、。 （一）必考题：60分。 17.（12 分） 设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和，a 2 2+a 2 3=a 2 8+a 2 3，S7=7 （）求an的通项公式 （）若 1+2log2bn=an+3（nN * ） ，求数列anbn的前n 项和Tn 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 18.（12 分） 从某校高三的学生中随机抽取了 100 名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表： 分组 频数 频率 100，110） 5 0.050 110，120） 0.200 120，130） 35 130，140） 30 0.300 140，15
8、0 10 0.100 （1）请在频率分布表中的、位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出 这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 100 名学生的平均成绩； （2） 从这 100 名学生中， 采用分层抽样的方法已抽取了 20 名同学参加“希望杯数学竞赛”， 现需要选取其中 3 名同学代表高三年级到外校交流，记这 3 名学生中“期中考试成绩低于 120 分”的人数为 ，求 的分布列和数学期望 19.（12 分） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD=2a， 2 AD a 点E是SD上 的点，且 (0 2) DE a （）求证：对任意的 (0,2
9、，都有 AC BE （）设二面角 CAED 的大小为 ，直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ，若 tan tan 1 g ，求 的值 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 20.（12 分） 已知点 P（1， ）是椭圆E： + =1（ab0）上一点，F1，F2分别是椭圆 E 的左、 右焦点，O 是坐标原点，PF1x 轴 （1）求椭圆E 的方程； （2）设 A，B 是椭圆E 上两个动点，满足： + = （04，且 2），求直 线 AB 的斜率 （3）在（2）的条件下，当PAB 面积取得最大值时，求 的值 21.（12 分） 已知函数 () l n
10、fxx ， 2 1 () 2 2 gx ax x （）若曲线 () () y fx gx 在 1 x 与 1 2 x 处的切线相互平行，求a的值及切线斜率； （）若函数 () () yfxgx 在区间 1 ,1 3 上单调递减，求a的取值范围； （）设函数 () f x 的图像 C1与函数 () gx的图像 C2交于P、Q 两点，过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、C2于点M、N，证明：C1在点M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不可能平行 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任
11、选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 4-4，坐标系与参数方程（10 分） 已知平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2cos （）求曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程； （）若直线 = （R）与曲线 C1交于 P，Q 两点，求|PQ|的长度 23.选修 45：不等式选讲（10 分） 设不等式|2x1|1 的解集为 M，且aM，bM （） 试比较 ab+1 与 a+b 的大小； （） 设 maxA 表示数集A 中的最大数，且 h=max ， ， ，求h 的范围 高考
12、资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 参考答案： 1.【Ks5u 答案】A 【Ks5u 解析】由集合 U中的函数 y=log2x，x1，解得y0， 所以全集 U=（0，+） ，同样：P=（0， ） ，得到 CUP= ，+） 故选 A 2.【Ks5u 答案】B 3.【Ks5u 答案】C 【Ks5u解析】 因为 , abc互不相等， 不妨设abc ， 则01 ab c ， 由 () () fafb 知 , ab关于直线 1 2 x 对称，所以 1 ab .由 2010 0l o g 1 c ，知1 2010 c ，所以 2 2011 abc ，选C. 4.【K
13、s5u 答案】D 【Ks5u 解析】等差数列an中，设首相为 a1，公差为 d， 由于： ，则： ，解得： ， = ， 故选：D 5.【Ks5u 答案】B 【Ks5u 解析】由题意，设 =n ，则 = + = +n = +n（ ） = +n（ ）= +n（ ）=（1n） + ，又 =m + ， m=1 n，且 = 解得；n=2，m=1，故选：B 6.【Ks5u 答案】B 【Ks5u 解析】根据几何体的三视图，得； 该几何体是过 BD 且平行于 PA 的平面截四棱锥 PABCD 所得的几何体； 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 设 AB=1，则截取的
14、部分为三棱锥 EBCD，它的体积为 V 三棱锥EBCD= 11 = ， 剩余部分的体积为 V 剩余部分=V 四棱锥 PABCDV 三棱锥EBCD= 1 2 1 = ； 所以截取部分的体积与剩余部分的体积比为 ： =1：3故选：B 7.【Ks5u 答案】C 【Ks5u 解析】模拟程序的运行，可得 x=3，k=0，s=0，a=4 s=4，k=1 不满足条件 kn，执行循环体，a=4，s=16，k=2 不满足条件 kn，执行循环体，a=4，s=52，k=3 不满足条件 kn，执行循环体，a=4，s=160，k=4 不满足条件 kn，执行循环体，a=4，s=484，k=5 由题意，此时应该满足条件 k
15、n，退出循环，输出 s 的值为 484， 可得：5n4，所以输入 n 的值为4故选：C 8.【Ks5u 答案】A 【Ks5u 解析】 ：因为 P 是直线 x+2y9=0 的任一点，所以设 P（92m，m） ，因为圆 x 2 +y 2 =4 的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OAPA，OBPB，则点A、B 在以OP 为直径的 圆上，即 AB是圆 O 和圆C 的公共弦，则圆心 C 的坐标是（ ， ） ，且半径的平方是 r 2 = ，所以圆 C 的方程是（x ） 2 +（y ） 2 = ， 又x 2 +y 2 =4，得， （2m9）xmy+4=0，即公共弦 AB 所在的直线方程是： （2m
16、9） xmy+4=0，即 m（2xy）+（9x+4）=0，由 得x= ，y= ，所以直线 AB 恒过 定点（ ， ） ，故选 A 9.【Ks5u 答案】A 【Ks5u 解析】方法一：如图所示，B 是右顶点（1，0），上顶点 A（0，b），左焦点 F（ ， 0），线段 FB 的垂直平分线为：x= 线段 AB 的中点（ ， ） kAB=b线段 AB 的垂直平分线的斜率 k= 线段 AB 的垂直平分线方程为：y = （x ），把 x= =m，代入上述方程可得：y= =n由P（m，n）在直高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 线y=x 的左下方，则m+n0，
17、+ 0化为：b ，又 0 b1，解得：0b e= =c= （ ，1） 椭圆离心率的取值范围（ ，1） 故选 A 方法二：设 A（0，b），B（a，0），C（c，0），设FAB 的外接圆的方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0， 将 A，B，C代入外接圆方程，解得：m= ，n= ， 由 P（m，n）在直线 y=x 的左下方，则 m+n0， + 0，整理得：1c+b 0，bc+ 0， bc0，由椭圆的离心率 e= =c，2e 2 1，由0e1，解得： e1， 椭圆离心率的取值范围（ ，1）故选 A 10.【Ks5u 答案】B 【Ks5u 解析】由题意可得， ，其区域是边长为 2 的正方形，面
18、积为 4 由二次方程 x 2 +2sx+t=0 有两正根可得 ，其区域如图所示 即 其区域如图所示，面积 S= s 2 ds= = 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 所求概率P= , 故选B 11.【Ks5u 答案】A 12.【Ks5u 答案】C 13.【Ks5u 答案】第三象限 【Ks5u 解析】 ： ， z= ， 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，在第三象限 14.【Ks5u 答案】 （1，+） 【Ks5u 解析】由题意作出其平面区域， 结合图象可得， ，解得，A（1，3） ；故m1. 15.【Ks5u 答案】 15 16.【K
19、s5u 答案】 3 【Ks5u 解析】设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 由题意知点 A，B 为过原点的直线与双曲线 的交点， 由双曲线的对称性得 A，B 关于原点对称， B（x1，y1） ，k1k2= = ， 点 A，C 都在双曲线上， =1， =1， 两式相减，可得：k1k2= 0，对于 = +ln|k1k2|， 函数y= +lnx（x0） ，由y= + =0，得 x=0（舍）或 x=2， x2 时，y0，0x2 时，y0， 当 x=2 时，函数 y= +lnx（x0）取得最小值， 当 +ln（k1k
20、2）最小时，k1k2= =2， e= = 故答案为： 17.【Ks5u 答案】 （I）设等差数列an的公差为 d0，a22+a23=a28+a23，（a4a2） （a4+a2）=（a3+a5） （a3a5） ，化为2d2a3=2d2a4，d0，a3=a4 S7=7，S7= =7a4=7，解得a4=1，a3=1，d=2 an=a4+（n4）2=2n7 （）1+2log2bn=an+3（nN*） ，1+2log2bn=2n1， anbn=（2n7） 2n1，数列anbn的前 n 项和Tn=5132122+123+（2n7）2n1， 2Tn=52322123+124+（2n7）2n， Tn=5+2（
21、2+22+2n1）（2n7）2n =5+ （2n7）2n=5+2n+14（2n7）2n， Tn=（2n9）2n+9 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 【Ks5u 解析】 （I）设等差数列an的公差为 d0，利用等差数列的通项公式及其前 n 项和 公式即可得出； （II）1+2log2bn=an+3（nN * ） ，可得1+2log2bn=2n1， anbn=（2n7）2 n1 ， 再利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出 18.【Ks5u 答案】（1）100（5+35+30+10）=20， 10.050.20.30.1=0.35 频
22、率分布表为： 分组 频数 频率 100，110） 5 0.05 110，120） 20 0.2 120，130） 35 0.35 130，140） 30 0.3 140，150 10 0.1 频率分布直方图为： 平均成绩为 1050.05+1150.2+1250.35+1350.3+1450.1=127 分 （2）成绩低于 120 分的人数为 20（0.05+0.2）=5 人，不低于 120 分的人数为 15人， 的所有可能取值为 0，1，2，3， 且 P（=0）= = ，P（=1）= = ， P（=2）= = ，P（=3）= = 的分布列为： 0 1 2 3 高考资源网（） 您身边的高考专家
23、 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ P E=0 +1 +2 +3 = 【Ks5u 解析】（1）根据频数之和为 100，频率之和为 1 计算，作出频率分布直方图， 利用组中值代替每小组的平均数计算平均数； （2）根据分层原理计算选出的 20 名学生中成绩低于 120 分的人数，利用超几何分布计算概 率得出分布列，再计算数学期望 19.【Ks5u 答案】 （）证法 1：如图1，连接 BE、BD，由地面 ABCD 是正方形可得 ACBD。 SD平面ABCD， BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， ACBE （）解法 1：如图 1，由 SD平面ABCD 知，DBE= , SD平面ABC
24、D，CD 平面ABCD, SDCD。 又底面 ABCD 是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD. 连接AE、CE，过点D 在平面SAD 内作DEAE 于F，连接CF，则CFAE， 故CDF 是二面角 C-AE-D的平面角，即CDF= 。 在RtBDE中， BD=2a，DE= a tan 2 DE BD 在RtADE中, 2 2, , 2 AD a DE a AE a 从而 2 2 2 ADD E a DF AE ，在 Rt CDF 中， 2 2 tan CD DF . 由 tan tan 1 ，得 2 22 2 .1 22 2 2 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源
25、网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 由 (0,2 ，解得 2 ，即为所求. 证法 2：以D为原点， , DA DC DS 的方向分别作为 x，y，z轴的正方向建立如 图2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ，A（ 2 ，0，0） ，B（ 2a ， 2a ，0） ， C（0， 2a ，0） ，E（0，0 a ） ， (2 ,2, 0 ) , (2 ,2 ,) ACaaB Eaa a 22 2200 AC BE a a a ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 AC BE 。 解法 2： 由（I）得 (2, 0 , ) , ( 0 ,2, ) , ( 2, 2, ) EA a
26、aE C a aB E a aa . 设平面 ACE的法向量为 n=(x，y，z)，则由 nE A E C ，n 得 0, 2x z 0, z2n ( , ,2 ) 0, 2y z 0, nE A nE C 即取 ， 得 。 易知平面 ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为 (0,0,2 ) DC a DS a 与 （0，2 ,0） . 22 sin ,cos 42 2 DC n DS BE DS BE DC n . 0 ， ,0 2 ， 2 22 tan tan sin cos 2 2 422 . 由于 (0,2 ，解得 2 ，即为所求。 20.【Ks5u 答案】（）PF1x 轴，F1（
27、1，0），c=1，F2（1，0）， |PF2|= = ，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b 2 =3， 椭圆 E 的方程为： =1 （2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 由 + = （04，且 2），得（x1+1，y1 ）+（x2+1，y2 ）=（1， ），x1+x2=2，y1+y2= （2） 又 ，两式相减得 3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0 以式代入可得 AB 的斜率 k= = （3）设直线AB 的方程为y= x+t，与3x 2 +4y 2 =12 联立消
28、去 y 并整理得 x 2 +tx+t 2 3=0， =3（4t 2 ），|AB|= |x1x2|= = ， 点 P 到直线AB 的距离为d= ，PAB 的面积为S= |AB|d= |t2|， 设f（t）=S 2 = （t 4 4t 3 +16t16）（2t2）， f（t）=3（t 3 3t 2 +4）=3（t+1）（t2） 2 ，由f（t）=0 及2t2得t=1 当 t（2，1）时，f（t）0， 当 t（1，2）时，f（t）0，f（t）=1 时取得最大值 ， 所以 S 的最大值为 此时 x1+x2=t=1=2，=3 【Ks5u 解析】（）由 PF1x 轴，求出 2a=|PF1|+|PF2|=4
29、，由此能求出椭圆 E 的方程 （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由 + = （04，且 2），得 x1+x2= 2，y1+y2= （2），再由 3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，由此能求出 AB 的斜率 （3）设直线AB 的方程为y= x+t，与3x 2 +4y 2 =12 联立得 x 2 +tx+t 2 3=0，由此利用根的判 别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出PAB 的面积为 S= |t2|，设f（t）=S 2 = （t 4 4t 3 +16t16）（2t2），求出f（t）= 3（t+1）（t2） 2 ，由 f（t）=0 及2t2
30、得 t=1由此能求出结果 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必究！ 21. 【Ks5u 答案】 （） 2 1 () () () l n 2 2 yfxgxhx xa xx ， 则 1 () 2 hx a x x 在 1 x 与 1 2 x 处的切线相互平行， 1 2 (1) ( ) 1 2 2 a hha a ， (1) 1 kh （） () hx在区间 1 3 (, 1 ) 上单调递减 () 0 hx 在区间 1 3 (, 1 ) 上恒成立 1 2 12 20 x x x ax a ， 1 3 (, 1 ) x ， 2 1 2 12 (1 )1(1 ,
31、3 ) x x x ， 只要 3 a （） 1 () x fx ， () 2 gx a x 假设有可能平行，则存在a使 12 12 22 xxx x fg 12 12 2 () 2 2 a xx xx 22 12 12 12 12 2( ) () 2 () 2 xxa xxxx xx 22 11 1122 22 (2 ) (2 ) ax x ax x = 12 y y = 1 12 2 ln ln ln x xx x ，不妨设 12 0 xx ， 1 2 x t x 1 则方程 2( 1) ln 1 t t t 存在大于 1 的实根，设 2( 1) () l n 1 t tt t 则 2 (1
32、 ) () 0 (1 ) t t tt ， () ( 1 ) 0 t ，这与存在 t1使 () 0 t 矛盾 22.【Ks5u 答案】（I）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），利用平方关系 消去可得： +（y+1） 2 =9，展开为：x 2 +y 2 2 x+2y5=0，可得极坐标方程： cos+2sin5=0 曲线 C2的极坐标方程为 =2cos，即 2 =2cos，可得直角坐标方程：x 2 +y 2 =2x （II）把直线= （R）代入 cos+2sin5=0， 整理可得： 2 25=0， 1+2=2，12=5， 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网 2018 高考压轴卷，侵权必
33、究！ |PQ|=|12|= = =2 【Ks5u 解析】（I）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），利用平方关系消 去可得普通方程， 展开利用互化公式可得极坐标方程 曲线C2的极坐标方程为=2cos， 即 2 =2cos，利用互化公式可得直角坐标方程 （II）把直线= （R）代入 cos+2sin5=0，整理可得： 2 2 5=0，利用|PQ|=|12|= 即可得出 23. 【Ks5u 答案】由不等式|2x1|1 化为12x11解得 0x1， 原不等式的解集 M=x|0x1， （）a，bM，0a1，0b1（ab+1）（a+b）=（1a）（1b）0， ab+1a+b （）a，bM，0a1，0b1不妨设0ab1，则 ， ； 故 最大，即 2h（2，+） 【Ks5u 解析】（1）先解不等式得出其解集 M，再利用作差法比较大小即可； （2）不妨设0ab1，先找出其最大值，进而即可求出其范围
