1、第 2 章 静定结构内力计算2 1 基本概念2-1-1 支座反力（联系力）计算方法两刚片组成结构（单截面法）满足两刚片规则的体系，两个刚片之间只有三个联系，可取出一个刚片作隔离体( 如图2-1c 或 如图 2-1d )，联系力个数与独立平衡条件个数相等，利用平衡条件： 0xFy0M即可计算出两个刚片之间的三个联系力。三刚片组成结构（双截面法）先求一个铰（或虚铰）的两个联系力。切断两个铰（或虚铰）得到一个隔离体，有两种情况的隔离体。首先，切断 A、 B 铰得到第一个隔离体( 如图 2-2c)，求 B 铰的联系力，对A 铰取矩列平衡方程。 0AM然后，切断 C、 B 铰得到第二个隔离体( 如图 2
2、-2d)，求 B 铰的联系力，对C 铰取矩列平衡方程。 0C将上述两个平衡方程联立，即可求出 B 铰的联系力。(d)隔离体F1F2F3图 2-1 二刚片隔离体示意图AB FBx(c)隔离体FByFAx (b)三链杆情况123BC A (a)一链杆一铰情况图 2-2 三刚片隔离体示意图B FBxFByFAx(c)部分隔离体AFAyB(a)三刚片取 1-1 截面AC11(d)整体隔离体FBxFByFCxFCyAB C 22BAC(b)三刚片取 2-2 截面2 结构力学典型例题解析基附型结构（先附后基）所谓基本部分就是直接与地基构成几何不变体系的部分；而不能与地基直接构成几何不变体系的部分称为附属部
3、分，这类型结构称为基附型结构。由于基本部分除了具备和地基构成几何不变所需要的联系外，还与附属部分有联系，若先取基本部分作隔离体，未知力的个数将很多。而附属部分的联系就比较少，因此，先选取附属部分作为隔离体进行求解，最后求解基本部分。对于基附结构求解顺序是：先附后基。2-1-2 快速弯矩图方法利用微分关系（1）无外荷载的直杆段，剪力为常数，弯矩图为直线；（2）无外荷载的直杆段，若剪力为零，则弯矩图为常数；（3）铰（或自由端）附近无外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩为零；有外力偶作用时，铰（或自由端）附近弯矩等于外力偶；（4）直杆段上有荷载时，弯矩图的凸向与荷载方向一致；（5）直杆段上仅有集中力
4、偶作用时，剪力不变，弯矩图有突变但斜率相同。悬臂梁法作弯矩图一端自由的直杆件，当将刚结点当作固定端时，如果得到悬臂梁，那么该杆件可以当作悬臂梁作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为悬臂梁法。简支梁法（区段叠加法）作弯矩图从结构中任意取出的一个直杆段，若直杆段两端的弯矩已知，将两端弯矩当作外荷载（力偶） ，可以将该直杆段及其上作用的荷载一起放到简支梁上，得到一个简支梁，该直杆段可以按照简支梁方法作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为简支梁法。利用刚结点力矩平衡取刚结点作隔离体，利用力矩平衡条件可得到如下结论：（1）当刚结点连接两个杆件，无外力偶作用时，两个杆端弯矩一定等值同侧。（2）连接刚结点的杆件只有
5、一个杆端弯矩未知时，利用力矩平衡条件可以求出。几种结点的内力特点（1）铰结点传递剪力但不传递弯矩；（2）与杆轴线一致的定向结点传递弯矩但不传递剪力；（3）与杆轴线垂直的定向结点传递弯矩但不传递轴力；（4）与杆轴线一致的链杆结点传递轴力，但不传递弯矩和剪力；（5）与杆轴线垂直的链杆结点传递剪力，但不传递弯矩和轴力。2-1-3 桁架特殊内力的计算桁架零杆判断如图 2-3 所示的两种杆件轴力为零的情况（可利用平衡条件证明） 。第 2章 静定结构内力计算 3对称桁架的对称性利用2-1-4 已知弯矩图求剪力取直杆段作为隔离体(如图 2-5)，已知杆端弯矩 和杆端上的外荷载；,ABM两个杆端剪力 和两个杆
6、端轴力 共计四个未知力。Q,ABFNF利用平衡条件即可求出杆端剪力 ：Q,AB（1）列力矩方程 0BM可得 A 端剪力 QAF（2）列投影方程 y可得 B 端剪力 QBA注意：已知弯矩图求剪力的方法，只要直杆件，不论静定结构还是超静定结构上述方法都适用。本方法在位移法中也经常使用，求解有线位移的超静定结构，需要计算附加链杆反力，附加链杆反力的计算首先需要杆件剪力，有了剪力之后通过对合适的隔离体列投影平衡条件即可求出附加链杆反力。00图 2-3 桁架零内力杆件0图 2-4 对称桁架的零内力杆件对 称 轴对 称 荷 载 0对 称 轴反 对 称 荷 载 0对 称 轴反 对 称 荷 载(a)(b)(c
7、)NBAF图 2-5 直杆段求剪力隔离体图AQNBFQM4 结构力学典型例题解析例题 21 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基满足二刚片规则，上部体系由 ADF和 BEC 两个刚片用三个联系相连接满足两刚片规则。先求出 A 处的支座反力：取上部体系为隔离体对 B 点取矩列力矩平衡条件。上部体系由两个刚片组成，可以取出其中一个刚片作隔离体。取刚片 ADF 作隔离体，列平衡条件求1、2 杆件轴力。E 结点 1 杆轴力已求出，只有两个杆件轴力未知，取 E 结点作隔离体，列投影平衡条件得两个方程，联立可解得 3 杆轴力。(a)(b) (c)【例题 2-1】 试求图示铰接体系 1、2、3 杆件轴力。
8、【解】1.取上部体系作隔离体如图（b）得 0BM5kNAyF2.取刚片 ADF 作隔离体如图（c）得 x20得 FN16.3. 取结点 E 作隔离体如图（d）得0x3sinsi5k0EC得yNNN1cocF上述两个方程联立解得： 3917k=.284F4 m10 kN4 m5 kN5 kN 14m43ABCDEF10 kN5 kN5 kN 123ABCDEFxyyF 10 kNADFN2FyFN1 NB(d)5 kNEN1F3NEC2sincos41177第 2章 静定结构内力计算 5例题 22 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基满足二刚片规则，本题按照两刚片结构进行求解。先求出支座反力：
9、由于上部体系与地基之间满足二刚片规则，取上部体系为隔离体暴露出三个未知力，通过平衡条件就可以求出这三个支座反力。作弯矩图：如图（b）解除约束体系将 AC 杆的 C 点变成固定端，AC 杆成为悬臂梁，AC 杆可以按照悬臂梁作弯矩图，支座 A 反力沿杆轴线作用对 AC 杆弯矩图没影响，均布荷载作用在悬臂梁上产生弯矩图如图（c） ；同样，DB 杆件将 D 点变成固定端，DB 杆件可以当作悬臂梁，B 处支座反力为外力，利用悬臂梁作弯矩图如图（c） ；C、 D 两个刚结点利用力矩平衡条件，弯矩图等值同侧，CD 杆上无外力，弯矩图为一直线。作剪力图、轴力图：图中标符号，图形可以画在任意一侧，使所在微段顺时
10、针转动为正。(a) (b)(c)【例题 2-2】作图示结构的内力图。【解】1.取上部体系作隔离体，如图（b）得 0yFAyql得 AM1.5Dx得 xBl2.作弯矩图，如图（c） 。3.剪力图，如图（d） 。4.轴力图，如图（e） 。思考 ：本题最少需要求几个支座反力能够作出弯矩图？llqABCDqlABCDqABCDqlBxFyFxABCDABCDM图2ql2q2lNF图QF图qlqlqll2ql ql(d)(e)6 结构力学典型例题解析例题 23 图【分析】几何组成分析：AB 与地基满足二刚片规则，AB 为基本部分，ADC 、 CEB 与基本部分满足三刚片规则，ADC 、 CEB 为附属部
11、分，本题按照基附型结构求解先附后基。求联系力：按照先附后基原则，先取附属部分作隔离体，由于附属部分与基本部分满足三刚片组成，利用双截面法（取两次隔离体） ，才能求出联系力。先取两个刚片附属部分作隔离体，对 A点列力矩平衡条件，求出 B 竖向反力。再取一个刚片 CEB 作隔离体，对 C 点列力矩平衡条件，求出 B 水平反力。最后利用整个附属部分隔离体求 A 处反力。取上部体系作隔离体即可求出地基反力。作弯矩图：AB 杆两端铰接，铰附近弯矩值等于外力偶值，利用简支梁可作 AB 杆弯矩图。附属部分弯矩图利用 A、 B 处反力，由悬臂梁法、刚结点平衡、简支梁法、微分关系可作出。(a) (b)(c)【例
12、题 2-3】 作图示结构的弯矩图。【解法一】1.取附属部分作隔离体如图（b）得 0AM0.25ByFql2.取刚片 CEB 作隔离体如图（c）得 C.xl再考虑隔离体如图（b）得 0xF.25Axql3.作弯矩图AD、 EB 杆件利用悬臂梁作弯矩图D、 E 两个刚结点利用力矩平衡条件，结点无外力偶弯矩图等值同侧。DC、 CE 杆件利用简支梁法作弯矩图基本部分 AB 杆件直接利用简支梁法作弯矩图lllq2qlABCDEqACDBxFyxFyBxFyCxFy 2qlABCDE(d)M图24ql 24lE E第 2章 静定结构内力计算 7例题 24 图【分析】几何组成分析：ADC 、 CEB 与地基
13、满足三刚片规则，为基本部分。DGF 、 FHE 与基本部分也满足三刚片规则，为附属部分。本题按照基附型结构求解先附后基。求联系力：按照先附后基原则，先取附属部分作隔离体，由于附属部分与基本部分满足三刚片组成，利用双截面法取两次隔离体，求出D、 E 铰处的联系力。将 D、 E 铰处联系力再反作用在基本部分上，利用双截面法取两次隔离体，即可求出地基反力。作弯矩图：EH 杆用悬臂梁法作弯矩图；H 结点弯矩图等值同侧，铰 C 弯矩为零， HF 杆弯矩图为直线；FG 杆与 HF 杆的弯矩图平行，FG 杆 F 端弯矩等于外力偶值，画与 HF 段平行线，G 点弯矩由比例求出；G 点弯矩等值同侧，GD 段利用
14、简支梁法作弯矩图。附属部分可按照同样方法作弯矩图。注意：D 、 E 为组合结点，铰处弯矩为零。(a) (b)(c)【例题 2-4】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取附属部分作隔离体如图（b）得 0DM0.75EyFql2.取刚片 FHE 作隔离体如图（c）得 F.xl再考虑隔离体如图（b）得 0x.25Dxql得 y7y3. 取基本部分作隔离体如图（d）得 AM1.ByFl4.取刚片 CEB 作隔离体如图（e）得 0C0.75xql5.作弯矩图：附属部分由EH、 HF、 FG、 GD 顺序，基本部分由BE、 EC、 CD、 DA 顺序作弯矩图。如图（f）所示。AD、 EB 杆件利用悬臂梁作弯矩
15、图D、 E 两个刚结点利用力矩平衡条件，结点无外力偶弯矩图等值同侧。DC、 CE 杆件利用简支梁法作弯矩图基本部分 AB 杆件直接利用简支梁法作弯矩图llllFGEABCDHq2l FGH2qlFHEEDBxFyAxFy CxFyxxFyxxyECDq4l BxFE(d) (e)(f)FGEABCDHM图34ql3 234ql2l2ql24ql234ql2l3l 34q8 结构力学典型例题解析例题 25 图【分析】几何组成分析：ADC 、 CEB 与地基满足三刚片规则。本题按照三刚片型结构求解。求联系力：三刚片型结构，利用双截面法取两次隔离体，分别对 A 和 C 铰取矩列力矩平衡条件，得到关于
16、 B 处支座反力的两个方程，即可求得 B 处反力；利用整体隔离体可以求得A 处反力。作弯矩图：FD、 AD、 BE 三个杆件利用悬臂梁法作弯矩图（将 D、 E 两点当作固定端） ；CE 杆件 E 端与 EB 杆件 E 端弯矩等值同侧，铰 C 右侧弯矩为零，可以利用微分关系或简支梁法作 CE 杆件弯矩图；CD 杆件与 CE 杆件无外荷载剪力相等，两杆件弯矩图斜率相等（平行） ，C 铰右侧截面弯矩值等于外力偶，画与 CE 杆弯矩的平行线，利用比例求得 D 端弯矩 MDE。注意：D 刚结点连接三个杆件，其中两个杆端弯矩 MDA、 MDF 已求得，可取 D 结点作隔离体，利用力矩平衡条件求 MDE。(
17、a) (b)(c)【例题 2-5】作图示结构的弯矩图。【解】1.取上部体系作隔离体如图（b）得0AM2.50BxyFllq2.取刚片 CEB 作隔离体如图（c）得 CBxylF3.联立上述两个方程解得： 63BxyqlqlF4.再考虑隔离体如图（b）得 0xAxl得 yF3yq5.作弯矩图如图（d）所示。ABCDFElllllq2l ACDFEq2lByFxy xCEByFxxFy ABCDFE(d)M图 23ql2l23ql26l第 2章 静定结构内力计算 9例题 26 图【分析】几何组成分析：EFG 与地基满足二刚片规则，EFG 为基本部分。ABCD 与可以独立承受竖向荷载，也是基本部分。
18、DE 为附属部分。求附属部分联系力：取 DE 作隔离体，对 E取矩列力矩平衡条件，得到 E 处竖向反力，在列投影平衡条件即可求得 D 处竖向反力。求出附属部分反力后，即可取基本部分作隔离体求得其他反力。作弯矩图：AB 杆段利用悬臂梁法作弯矩图；CD 杆段利用悬臂梁法由叠加原理计算 C端弯矩，再利用简支梁法作 CD 杆件的弯矩图。B、 C 点分别利用刚结点力矩平衡条件求得 BC 杆件两端的弯矩，连接直线即得到 BC杆件的弯矩图。DE 杆件两端弯矩为零，利用简支梁法作DE 杆件的弯矩图。EF 杆件与 CD 杆件同样方法作弯矩图。FG 杆件的剪力根据 G 端定向支座受力特性可知为零，FG 杆件的弯矩
19、图为常数，F 点左右截面的弯矩相等，由此可以得到 FG 杆件的弯矩图。(a) (b)(c)【例题 2-6】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取附属部分 DE 作隔离体如图（ b）得0EM4kNDyF得yE2.取基本部分 ABCD 作隔离体如图（c）得C60By得0yF13kC得xNDx3.取基本部分 EFG 作隔离体如图（d）得y60Fy得FM32kmG4.先用简支梁法作 DE 杆弯矩图； AB 杆件用悬臂梁法作弯矩图；BC 、 CD、 EF 用简支梁法作弯矩图；FG 弯矩图为常数。10 kN20 kN/mABCDEFG4m4m4 EDxFyxFy20 kN/m10 kNABCD20 kN/m
20、EFG20 kN/mABEFG(d)(e) M图 (kNm)4040320 320 320xFyyF40 kN 40 kN yM10 结构力学典型例题解析例题 27 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基满足二刚片规则，按两刚片规则求解。求反力：切断上部体系与地基的三个联系，取上部体系为隔离体利用平衡条件即可以求得三个反力。作弯矩图（弯矩图画在受拉侧）：先作 BC、 CD 杆件弯矩图；利用刚结点平衡条件求 AC 杆 C 端弯矩，斜杆件 AC 作弯矩图的方法与水平或垂直杆件相同。作轴力、剪力图：将 A 支座反力向轴力、剪力方向投影可以求得 A 端轴力和剪力。注意剪力、轴力的正负符号。(a) (b
21、)(c)【例题 2-7】作图示结构的内力图。【解】1.取上部体系作隔离体如图（b）得0AM420kNmA得yF13y得xx2.作弯矩图BC 杆件利用悬臂梁作弯矩图；CD 杆件 C 端用悬臂梁法求弯矩；CD 杆件用简支梁法作弯矩图；AC 杆件 C 端用力矩平衡条件求弯矩；AC 杆件用微分关系作弯矩图。3.轴力图AC 杆轴力由竖向反力投影得到。4.剪力图AC 杆剪力由竖向反力投影得到。4 m20 kN/m 10 kNABCD3 20 kN/m 10 kNABCDxFyMABCDNF图 (k)QF图 (kN)106070CANFQAcos0.8in6104784201209030(d) (e)(f)
22、78104图 (kNm)130 kN第 2章 静定结构内力计算 11例题 28 图【分析】几何组成分析：ABCD 与地基满足二刚片规则，为基本部分；CEF 为附属部分按两刚片构成。求联系力和反力：取 CEF 为隔离体，利用平衡条件即可求出联系反力；再取基本部分为隔离体利用平衡条件即可以求得三个反力。快速作弯矩图：本题作弯矩图不需要先求支座反力。(1)利用悬臂梁法先作 AC、 CD、 EF 杆件弯矩图（A 、 F 支座反力对相应杆件弯矩图不影响） ；(2)利用刚结点平衡条件可知 E 结点两杆端弯矩相等，即 MEC=MCE；(3)CE 杆件利用简支梁法作弯矩图；(4)利用刚结点平衡条件求 BC 杆
23、 C 端弯矩；(5)杆件 BC 弯矩图为直线。(a)(b) (c)【例题 2-8】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取附属部分作隔离体如图（b）得0CM1.5Fyql2.取整个上部体系作隔离体如图（c）得y.Byl得BAx得0x.5ql3.取结点 C 作隔离体（d）得M20.CBl4.作弯矩图如图（e） 。lllq2qllABCDEFlqEFqlCxFyyq 2qlABCDEFM图 2ql2l2l2lC2ql2l0(d)(e)q2llABCDEFqlyxF3xBM12 结构力学典型例题解析例题 29 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基满足二刚片规则，按两刚片型结构求解。求支座反力：取上部体系
24、为隔离体，C 处水平反力与另两个支座反力垂直，先列水平投影平衡条件即可 C 处联系反力；再利用对 B 点的力矩平衡条件即可求得 A 处反力。快速作弯矩图：(1)当将刚结点看作固定端，得到悬臂梁结构，若在悬臂梁上产生弯矩图的荷载只有一个时，就可以利用悬臂梁法作弯矩图。AD 杆件D 当作固定端得到悬臂梁，A 端水平外力对于悬臂梁不产生弯矩图，能够产生弯矩的是 A 支座反力，因此可利用悬臂梁法作弯矩图。CD、 DF 杆件也利用悬臂梁作弯矩图；(2) AD、 CD、 DF 杆件弯矩图作出后，刚结点 D 仅有一个杆端弯矩未知，利用力矩平衡条件可求出未知弯矩 MDE；(3)取 DEB 作隔离体可知 DE
25、杆件的剪力为零，DE 杆件弯矩图为常数，只要有一个截面弯矩已知即可作出弯矩图。(a) (b)(c)【例题 2-9】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取整个上部体系作隔离体如图（b）得0xFCxql得BM.25Ay得y7Bl2.先用悬臂梁法作 AD、 CD、 DF 的弯矩图，如图（e）所示。3.取结点 D 作隔离体（d）得0C2.5CBql4.杆件 DE 的剪力为零，弯矩图为常数。5.取结点 E 作隔离体（d）得M2.EBl6.简支梁法作 EB 杆件弯矩图如图（e） 。ABCDEFllqllql 2l ABCDEFqql 2l2qlABCDEF2l24ql24ql28lM图2ql (e)D2l24
26、lCBMxFyFyEEBM24ql(d)第 2章 静定结构内力计算 13例题 210 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基满足二刚片规则，可按两刚片型结构求解支座反力。求支座反力：取上部体系为隔离体，利用平衡条件即可求得 A、 B 处支座反力。求桁架杆件内力：DB 杆件作用着外力，其内力除轴力外还有弯矩和剪力，因此铰结点 B 已不是桁架的铰结点，取 B 铰结点隔离体注意 DB 杆有剪力，隔离体如图（d）所示。求 DB 杆件的剪力可取隔离体（c） ，利用力矩平衡条件求得杆端剪力。求得杆端剪力，即可利用隔离体（d）列投影平衡条件求得 DB、 BC 杆件的轴力。快速作弯矩图：(1)DB 杆件 D
27、端弯矩等于外力偶值，利用简支梁即可作出 DB 杆件的弯矩图；(2)将 CA 杆件 C 端变成固定端，CA 杆件变成悬臂梁，利用此悬臂梁求 C 端弯矩， C 结点为组合结点，铰不承受弯矩，刚结点部分两侧弯矩相等，利用简支梁法即可作出 CA 杆件和 CD 杆件的弯矩图。(a)(b)(c)【例题 2-10】 作图示结构的弯矩图，并求桁架杆件的轴力。【解】1.取整个上部体系作隔离体如图（b）得0yFPByF得xAx得AM2l2.取 DB 杆件作隔离体如图（ c）得0DQPBD3.取 B 结点作隔离体如图（d）得yFNC得xB即桁架杆件轴力零。4.作弯矩图，如图（e）所示。lllPFPlABCD M图P
28、FPlACDACDBBPFlPlP2lDBPFlNBPFBNBC(d) (e)AMx yFQDQBDNDBQPsincos14 结构力学典型例题解析例题 211 图【分析】几何组成分析：两个刚片 ADC、 CEB 与地基刚片满足三刚片规则，可按三刚片型结构求解联系和支座反力。求支座反力：取刚片 ADC 作隔离体，列竖向投影方程即可求出 A 支座竖向反力。取上部体系两个刚片作隔离体，利用平衡条件即可求得 A、 B 处全部支座反力。再由 ADC 隔离体求的定向结点 C 处的轴力和弯矩。作弯矩图：A 支座水平反力为零可知 AD 杆件剪力也为零，B 处为定向支座 BE 杆剪力为零，利用悬臂梁法作 AD
29、、 BE 弯矩图。E 结点弯矩图等值同侧，CE 杆无外荷载弯矩图为直线。D 结点弯矩图等值同侧，CD 杆利用简支梁法作弯矩图。注意：C 结点左侧剪力为零，右侧为 ql。(a) (b)(c)【例题 2-11】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取 ADC 刚片作隔离体如图（b）得0yFAyql2.取整个上部体系作隔离体如图（c）得yByl得x0Ax得AM2.5ql3.再考虑图（b）ADC 刚片隔离体得C1.C得0xFN0D4.作弯矩图如图（d）所示。ABCDEll2qlqll M图ACD2qlqABCDEABCDE2qlqll NDFM2ql2lq23l25ql2lBMxFyyFxF (d)第 2章
30、 静定结构内力计算 15例题 212 图【分析】几何组成分析：刚片 ADEB 与地基刚片满足二刚片规则，为基本部分；EFC 为附属部分按二刚片规则连接。本题按基附型结构求解。求支座反力：先附后基由于附属部分、基本部分及地基之间都是用二刚片规则连接。先取附属部分，后取基本部分作隔离体，由平衡条件即可求出全部支座反力。直接取整体隔离体就可以求出 FAx。作弯矩图：沿悬臂梁杆轴线作用的力不引起弯矩图。因此，只需先计算出 A 处水平反力 FAx，而不需要求出 A、 B、 C 三个支座竖向反力，解除支座约束即可利用悬臂梁法作 FC、 EB、 AD 杆件的弯矩图。FC 杆件弯矩图为零，EB 杆件弯矩图为常
31、数，F 点弯矩为零，EF 杆件用简支梁法作弯矩图。D、 E 刚结点弯矩图等值同侧，DE 上无荷载弯矩图为直线，连接 DE 两端弯矩得弯矩图。(a)(b) (c)【例题 2-12】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取 EFC 附属部分作隔离体如图（b）得0EM.5CyFql2.取整个上部体系作隔离体如图（c）得 xAxl得0B2yFq得y.5Bl3.作弯矩图如图（d）所示。只需要 A 处水平支座反力就可以利用悬臂梁法、简支梁法、刚结点平衡条件作出全部弯矩图。lll2qlqqlABCDEFM图CF2qlABCDEFEqxFyyF 2qlqlABCDEFqql28l2qlyFyx 2l16 结构力学典
32、型例题解析例题 213 图【分析】几何组成分析：两个刚片 AFD、 DHB 与地基刚片满足三刚片规则，三个铰为D、 O1、 O2，按三刚片型结构求解联系力和支座反力。求联系力：(1)由于链杆 FEC 上作用有外荷载，链杆联系合力将不再通过 FC 连线，取 FEC 作隔离体，将 C 处力沿 FC 连线方向投影和垂直方向投影（如图 b 所示） ，对 F 点取矩列力矩平衡方程，即可求出 C 处与连线 FC 垂直方向的力。(2)取 ADFEC 作隔离体 c，对 O1 点取矩列力矩平衡条件；取 DBHGC 作隔离体 d，对 O2 点取矩列力矩平衡条件；联立即可求得 D 处内力。(3)取 AFD 隔离体（
33、e） ，求铰 F 处内力；再取 FEC 作隔离体（f）求 C 处剪力。(4)同理取 DHB 隔离体，可以求出铰 H 处的内力。作弯矩图：根据所求得的联系力和内力，利用悬臂梁法、简支梁法、为微分关系、刚结点力矩平衡条件作出结构的弯矩图（如图 g 所示） 。注意：本题折链杆上有外荷载作用，需先求FC 连线垂直方向的力，其他步骤与无外荷载作用的情况相同。(a) (b)(c)【例题 2-13】 作图示结构的弯矩图。【解】1.取折杆件 FEC 作隔离体如图（b）得 0FM24Ctql2.取 ADFEC 作隔离体如图（c）得：1O3220DyxCtllFl3.取 DBHGC 作隔离体如图（d）得：20O2
34、Dyxlql4.联立 2、3 两个方程解得： 3184DyxFqll5.取 AFD 刚片隔离体如图（e）得 0xFq6.取 FEC 隔离体如图（f）得 EM14Cyl7.作弯矩图如图（g）所示。llllqABCDEFGH2ql M图ByF DxFyq CFExyqACECDGH2ql yFntxFy(d)(f) 1O2OABCEFGHnt(e)DxFyAFyxCEqFxCx(g)y24ql2l28l 278ql34lD第 2章 静定结构内力计算 17例题 214 图【分析】几何组成分析：两个刚片 ABCD、 EFG 与地基刚片满足三刚片规则，可按三刚片型结构求解联系和支座反力。先求链杆剪力：由
35、于链杆 CG 有外力作用，存在剪力和弯矩，再直接利用双截面法取隔离体，受荷载链杆的未知力有两个，将缺少一个方程，无法求出一个虚铰处的联系力。链杆 CG 两端处的剪力利用力矩平衡条件可以先求出（取图 b 隔离体） 。求支座反力：取刚片 ABCD 隔离体（c ） ，取上部体系作隔离体（d） ，利用平衡条件即可求得 A、 E 处全部支座反力。求 BF、 GC 轴力：由隔离体 c，利用力矩平衡条件求轴力。作弯矩图：B、 C、 F 为组合结点，刚接部分无外力偶作用弯矩等值同侧。CG 杆件 C 端弯矩等于外力偶，G 端弯矩为零，连直线得 CG 杆件弯矩图。注意：BF 、 GC 轴力也可由弯矩图求得。(a)
36、(b)(c)【例题 2-14】 作图示结构的弯矩图，并求 BF、CG 杆件的轴力。【解】1.取杆件 CG 作隔离体如图（b）得0GMQPGCF2.取 ABCD 刚片作隔离体如图（c）得xAx3.取上部体系作隔离体如图（d）得0EP3yF得y4E4.考虑隔离体如图（c ）求杆轴力得BMNPGC得0yF8()FB压 力5.作弯矩图AB、 CD、 EF 用悬臂梁法；BC、 FG、 CG 用简支梁法。结构弯矩图如图（f）所示。lllllABCDFGEPFPM图 ExFyABCDGPFlPxyNGCFPlQNGCFQABCDPxy NGFQNF(d)ABCDFGE(f)Pl3FlP4l18 结构力学典型
37、例题解析例题 215 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基之间满足两刚片规则。上部体系由三个刚片ADC、 CFB、 GE 组成，满足三刚片规则。先求支反力，再按三刚片型结构求解桁架联系力。求支座反力：由于上部体系与地基之间满足二刚片规则，可取上部体系隔离体，利用平衡条件求出支座反力（如图 b 所示） 。求上部体系的联系力：取刚片 ACD 作隔离体，由于DG、 AE、 CF 三个杆件的轴力平行与 DC 杆件垂直，而 CB 杆件轴力不与其平行，往平行力的垂直方向列投影方程 CB 杆件的轴力。同样取 BCF 刚片隔离体，也可求得 AC杆件轴力。求指定轴力：由联系力和反力利用结点法求轴力。取 B、
38、E 结点隔离体即可求出 2 杆轴力取 C 结点隔离体即可求出 1 杆轴力注意：图中夹角 45(a) (b)(c)【例题 2-15】 试求图示桁架 1、2 杆件轴力。【解】1.取整体隔离体，求出支座反力如图 b 示。2.取 ACD 刚片隔离体 (c)，往 CD 方向投影：得0CDFN0CB3.取 BCF 刚片隔离体(d)，往 CF 方向投影：得 PAF4.取结点 B 作隔离体如图（e）得0xFNEB5.取结点 C 隔离体（f） ，往 CD 方向投影：得 （压力）D21PF6.取结点 E 隔离体（g） ，往 EB 方向投影：得 （不受力）0BFN2llllABCDEFGP1ABCDEFGP12AC
39、D1 BCFPFNDGAEFFNCB NGEBNDAPN1NCBFACF(d)(e)N2FEEBABPNEFCF(f) (g)P P45第 2章 静定结构内力计算 19例题 216 图【分析】此处利用对称性求解几何组成分析：上部体系与地基之间满足两刚片规则。上部体系由三个刚片ADC、 CFB、 GE 组成，满足三刚片规则。先求支反力，再按三刚片型结构求解桁架联系力。体系的对称性：当求出 A 支座水平反力，其他部分关于过GE 直线对称（杆件、结点、支座都对称） 。将荷载利用叠加原理分成对称和反对称情况的组合。分别作用同一对称的体系上如图c、d 。对称性利用：（1）对称体系在对称荷载作用下（图 d
40、） ，内力关于对称轴也是对称的。1 杆和 CF 杆轴力对称，利用平衡条件可知 1 杆轴力必须为零。由 D 结点得 DG 杆轴力为零，由 G 点得 2 杆轴力为零。（2）在反对称荷载作用下（图 c） ，内力关于对称轴也反对称。若 2 杆轴力不为零不满足反对称条件，因此 2 杆轴力必为零。由 G 结点可求出 DG 杆轴力，由 D 结点求出 1 杆轴力。将对称、反对称情况叠加求总轴力。【例题 2-16】 试利用对称性求图示桁架 1、2 杆件的轴力。【解】1.先求出 A 支座水平反力如图 b 示。2.将图（b）的外力与支座反力分成对称、反对称作用力两种情况如图（c） 、 （d）所示。3.反对称力作用情
41、况（c）：2 杆轴力为零取 G 点作隔离体 (e)：得0DF2NPDGF取 D 点作隔离体 (f)：得C124.对称力作用情况（d）：1 杆轴力为零，由此得 2 杆轴力也为零。5.由 3、4 有： N1PN20F(a) (b)(c)llllABCDEFGP12ABCDEFGP12(d)ABCDEFG12PFP2FABCDEFG12PFP GNDNF(e)0P P2(f)GN1DAP2PF对称轴 对称轴对称轴20 结构力学典型例题解析例题 217 图【分析】几何组成分析：两个刚片 AKC、 CB 与地基刚片满足三刚片规则，可按三刚片型结构求解支座反力（水平推力） 。求支座反力（水平推力）：三刚片
42、型结构需要取两个隔离体（双截面法） ，就可以求出 A 支座竖向反力和水平推力。支座反力的计算与拱轴线形状无关。求指定截面内力：A 支座反力已求得。由于在 K 截面上作用集中力，K 截面左侧和右侧的剪力、轴力有突变，先求 K 截面左侧的剪力、轴力， 因此从 K截面左侧切开取 AK 部分作隔离体，利用平衡条件求 K 截面左侧内力。K 截面的剪力、轴力沿切线和法线方向，需要先计算出切线、法线与水平线的夹角。首先由已知条件确定抛物线，求出 K 截面 y 坐标，利用导数求 K 点切线斜率（正切） ，再求切线角度的正弦、余弦。对 K 点取矩列力矩平衡条件可求出弯矩。将 AK 段上所有力分别向切线和法线方向
43、投影，列投影平衡方程即可求得轴力、剪力。 取 K 结点作隔离体，利用切线和法线的投影平衡条件即可求出 K 截面右侧的剪力、轴力。K 截面两侧弯矩相等。(a) (b)(c)【例题 2-17】 试求图示抛物线拱水平推力和 K 截面内力。【解】1.取上部体系作隔离体如图（b）得0BM1.5kNAyF2.取 AC 作隔离体如图（c）求水平推力得CH28.3.取 AK 作隔离体如图（d） 14(),3mKyxy拱 轴 线 ： 14tanx得 0KMkN得FN5.8K左得nQ3左3.取 AK 作隔离体如图（d）得0N2.1kK右得nQ右4 m2m450kN12/KABCHFAy ByF50kNm12/CA
44、yFKMN体Q体 10kNKNF体Q体M体K体(e)(d)50kN1KACxyFyF nHHHxy Ky2sico2mn第 2章 静定结构内力计算 21例题 218 图【分析】几何组成分析：上部体系与地基之间满足两刚片规则；上部体系由两个刚片 AFDC、 CEGB 用一铰和一链杆组成，满足两刚片规则。求支座反力：取上部体系作隔离体，利用平衡条件不需解联立方程即可求得 A、 B 处全部支座反力。求联系力：从上部体系取出一个刚片 CEBG 作隔离体，由三个平衡条件即可求出联系力。求桁架杆轴力：由于结点 G、 F 的未知轴力都是两个，取 G、 F 结点作隔离体（d） （e ） ，即可利用结点法计算
45、G、 F 所连杆件的轴力。作弯矩图：CE 杆件利用悬臂梁作弯矩图；利用悬臂梁法计算 CD 杆 D 端弯矩，CD杆用简支梁法作弯矩图；D、 E 为组合结点，铰处不承受弯矩，刚结点上无外力偶，弯矩图等值同侧；AD 、 EB两杆件利用简支梁法作弯矩图。注意：A、 B 铰不是桁架杆件组成的铰结点，不能简单利用结点法；C 铰上无集中力作用，C 铰左右两侧剪力相等，弯矩图斜率连续。(a) (b)(c)【例题 2-18】 图示组合结构作弯矩图，并求桁架杆的轴力。【解】1.取上部体系作隔离体如图（b）得0BM140kNAyF得yB得xx2.取 CEBG 刚片作隔离体如图（c）得0CN120kFG得yQC3.取
46、 G 结点作隔离体如图（d）得xNBG得0y120kE4.取 F 结点作隔离体如图（e）得xNAF得yD5.作弯矩图如图（f） 。思考：若在桁架杆上作用力偶，如何计算？4 m80kN20k/m44AB(d)(e)CDFGEAyFBxFy80kN20k/mCDGE80kNBCGENFQ GNEBNAFDF G(f)M图 (kNm)1120k120kN80804120BCED22 结构力学典型例题解析例题 219 图【分析】几何组成分析：两个刚片 CEG、 GFD 与地基刚片满足三刚片规则，三个虚铰为 C、 G、 D，可按三刚片型结构求解联系和支座反力。求联系力：先求虚铰 G 联系力取刚片 CEG
47、 作隔离体，对铰 C 列力矩平衡条件得到一个关于 C 处联系力的方程。取刚片 GDF 作隔离体，对铰 D 列力矩平衡条件又可以得到一个关于 C 处联系力的方程。上述两个方程联立即可求解得联系力。求 CA、 DB 联系力：利用（b）水平投影可求得 CA 杆轴力；利用（c ）水平投影可求得 DB 杆轴力。求桁架杆件轴力：由于结点 C、 D 的未知轴力都是两个，取C、 D 结点作隔离体（d） （e） ，即可利用结点法计算 C、 D 所连杆件的轴力。取上部 体系两个刚片作隔离体，利用平衡条件即可求得 C、 D处全部支座反力。作弯矩图：EG 杆件的 E、 G 铰弯矩为零，直接利用简支梁法即可作出弯矩图。
48、GF 杆件的 G 铰弯矩为零，F 铰附近截面弯矩等于外力偶值，用微分关系简支梁法作弯矩图。注意：E 、 G、 F 铰结点不能按照桁架铰结点计算，要考虑水平杆件的剪力。(a) (c)【例题 2-19】作图示组合结构弯矩图，并求桁架杆轴力。【解】1.取刚片 CEG 作隔离体如图（b）得0CM480GyxF2.取刚片 GDF 作隔离体如图（c）得D4yx3.联立 1、2 方程解得 5kN5kGyGxF4.再考虑隔离体（b）有 0xsin0CAxF解得： 25N3同理由隔离体（c）得： 25N3kDB5.取结点 C 作隔离体（d）有0xFNsinsi0GCAF解得： 52k有yNNcoscsCEGCA解得： 35F6.取结点 C 作隔离体（d）得：2kD35kDF(b)4 m4AB(d)(e)DFGE EyFCNCGF3m3q2l CqNAGyx DFMyyFNBNCAEDNFDB sin0.6cos.8210k/ =0kM体 (
