1、第 六 章 图 形 与 变 换 图 形 的 相 似 考 点 一 相 似 的 性 质 与 判 定 在 同 一 单 位 长 度 下 ， 两 条 线 段 的 长 度 之 比 叫 做 两 条 线 段 的 比 在 四 条 线 段 中 ， 如 果 其 中 两 条 线 段 的 比 等 于 另 外 两 条 线 段 的 比 ， 那 么 这 四 条 线 段 叫 成 比 例 线 段 ， 简 称 比 例 线 段 若 或 ， 则 叫 做 ， 的 比 例 中 项 比 例 的 基 本 性 质 ： （ ） 合 比 性 质 ： 等 比 性 质 ： （ ） 若 线 段 上 的 一 点 把 线 段 分 成 ， 两 部 分 （ ）
2、， 并 且 使 ， 则 这 种 分 割 叫 做 黄 金 分 割 如 果 两 个 三 角 形 的 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 成 比 例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 叫 做 相 似 三 角 形 相 似 三 角 形 的 判 定 （ ） 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ： 两 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 ； （ ） 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ： 两 边 对 应 成 比 例 ， 且 夹 角 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 ； （ ） 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ： 三 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相
3、似 ； （ ） 直 角 三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 ： 若 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 与 另 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 对 应 成 比 例 ， 那 么 这 两 个 直 角 三 角 形 相 似 相 似 三 角 形 的 性 质 ： （ ） 对 应 角 相 等 ； （ ） 对 应 边 成 比 例 ； （ ） 周 长 之 比 等 于 相 似 比 ； （ ） 面 积 之 比 等 于 相 似 比 的 平 方 考 点 二 图 形 的 位 似 如 果 两 个 图 形 相 似 ， 并 且 它 们 的 对 应 点 所 在 直
4、线 交 于 一 点 ， 那 么 这 两 个 图 形 叫 位 似 图 形 这 一 点 叫 位 似 中 心 ， 对 应 边 的 比 叫 位 似 比 ， 位 似 比 等 于 相 似 比 （ ） 位 似 图 形 对 应 点 连 线 交 于 一 点 ， 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于 位 似 比 ； （ ） 位 似 图 形 的 对 应 线 段 平 行 （ 或 在 同 一 条 直 线 上 ） 且 比 相 等 方 法 一 判 定 三 角 形 相 似 的 基 本 策 略 判 断 两 个 三 角 形 是 否 相 似 ， 要 依 据 三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 来 判 定
5、， 一 般 根 据 应 用 的 习 惯 和 广 泛 性 ， 依 次 考 虑 的 是 ： 两 角 分 别 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ； 两 边 成 比 例 且 夹 角 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ； 三 边 成 比 例 ， 两 三 角 形 相 似 根 据 一 些 相 似 的 基 本 图 形 研 究 三 角 形 相 似 ， 常 见 图 形 如 下 图 ： 类 型 常 见 图 形 结 论 “ ” 型 及 其 变 形 “ ” 型 及 其 变 形 “ ” 型 及 其 变 形 例 （ 山 东 东 营 ， ， 分 ） 如 图 ， 在 正 方 形 中 ， 是 等 边 三 角 形 ， 、 的
6、延 长 线 分 别 交 于 点 、 ， 连 接 、 ， 与 相 交 于 点 给 出 下 列 结 论 ： ； ； ； 其 中 正 确 的 是 （ ） 解 析 在 正 方 形 中 ， 由 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 ， ， ， 即 正 确 ； 由 是 正 方 形 的 对 角 线 ， 可 得 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ， 可 得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 正 确 ； ， 错 误 ； 由 ， ， 可 得 ， ， 即 ， 即 年 中 考 年 模 拟 正 确 答 案 思 路 分 析 本 题 以 正 方 形 和 等 边 三 角 形 为 背 景 考 查 相 似 三 角
7、形 的 判 定 和 性 质 ， 熟 练 掌 握 正 方 形 和 等 边 三 角 形 的 性 质 ， 计 算 出 相 应 的 角 的 大 小 ， 判 断 角 的 等 量 关 系 是 解 答 此 题 的 关 键 变 式 训 练 （ 黑 龙 江 龙 东 ， ， 分 ） 已 知 ： 在 平 行 四 边 形 中 ， 点 在 直 线 上 ， ， 连 接 交 于 点 ， 则 的 值 是 答 案 或 解 析 当 点 在 线 段 上 时 ， 如 图 所 示 图 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， ， ， ， 当 点 在 线 段 的 延 长 线 上 ， 如 图 所 示 图 同 得 ， 综 上 所 述 ， 的
8、值 是 或 思 路 分 析 分 两 种 情 况 ： 当 点 在 线 段 上 时 ， 由 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 可 证 得 ， 求 出 ， 可 得 的 值 ； 当 点 在 线 段 的 延 长 线 上 时 ， 同 理 求 出 ， 可 得 的 值 方 法 二 类 比 探 究 型 题 中 相 似 的 应 用 方 法类 比 探 究 型 题 目 设 问 多 以 探 究 线 段 的 数 量 关 系 和 比 值 关 系 为 主 ， 偶 尔 探 究 角 的 变 化 以 及 数 量 关 系 此 类 问 题 一 般 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 解 充 分 运 用 相 似 三 角 形
9、 的 模 型 判 定 相 似 ， 根 据 相 似 的 性 质 求 线 段 间 的 比 值 例 （ 辽 宁 营 口 ， ， 分 ） 在 四 边 形 中 ， 点 为 边 上 的 一 点 ， 点 为 对 角 线 上 的 一 点 ， 且 （ ） 若 四 边 形 为 正 方 形 如 图 ， 请 直 接 写 出 与 的 数 量 关 系 ； 将 绕 点 逆 时 针 旋 转 到 图 所 示 的 位 置 ， 连 接 ， ， 猜 想 与 的 数 量 关 系 并 说 明 理 由 ； （ ） 如 图 ， 若 四 边 形 为 矩 形 ， ， 其 他 条 件 都 不 变 ， 将 绕 点 顺 时 针 旋 转 （ ） 得 到
10、 ， 连 接 ， ， 请 在 图 中 画 出 草 图 ， 并 直 接 写 出 与 的 数 量 关 系 解 析 （ ） 理 由 如 下 ： 绕 点 逆 时 针 旋 转 到 图 所 示 的 位 置 ， ， ， ， 即 （ ） 如 图 ， 提 示 ： 在 矩 形 中 ， ， ， ， ， ， ， 绕 点 顺 时 针 旋 转 （ ） 得 到 ， ， ， ， ， ， 即 思 路 分 析 （ ） 由 正 方 形 的 性 质 和 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 ， 得 ， ， 所 以 ， 从 而 得 到 ； 利 用 旋 转 的 性 质 得 到 ， 得 （ ） 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 证 明
11、 ， ， 由 勾 股 定 理 得 到 ， 再 利 用 相 似 的 性 质 可 得 变 式 训 练 （ 山 东 烟 台 ， ， 分 ） 【 探 究 证 明 】 （ ） 某 班 数 学 课 题 学 习 小 组 对 矩 形 内 两 条 相 互 垂 直 的 线 段 与 矩 形 两 邻 边 的 数 量 关 系 进 行 探 究 ， 提 出 下 列 问 题 ， 请 你 给 出 证 明 ； 如 图 ， 矩 形 中 ， ， 分 别 交 ， 于 点 ， 第 六 章 图 形 与 变 换 ， 分 别 交 ， 于 点 ， 求 证 ： ； 【 结 论 应 用 】 （ ） 如 图 ， 在 满 足 （ ） 的 条 件 下 ，
12、 又 ， 点 ， 分 别 在 边 ， 上 ， 若 ， 则 的 值 为 【 联 系 拓 展 】 （ ） 如 图 ， 四 边 形 中 ， ， ， ， ， 点 ， 分 别 在 边 ， 上 ， 求 的 值 解 析 （ ） 证 明 ： 作 ， ， 垂 足 分 别 为 ， ， （ 分 ） ， 四 边 形 是 矩 形 ， ， 四 边 形 是 矩 形 ， （ 分 ） 同 理 可 证 ： ， ， ， 又 ， ， （ 分 ） （ 分 ） （ ） （ 分 ） 解 法 提 示 ： 由 （ ） 的 结 论 可 得 （ ） 解 法 一 ： 过 作 的 平 行 线 交 的 延 长 线 于 ， 作 交 直 线 于 点 ， 四 边 形 是 矩 形 ， （ 分 ） 连 接 ， 由 已 知 得 ， ， ， 又 ， （ 分 ） 设 ， 则 ， ， 在 中 ， ， 即 （ ） （ ） 解 得 ， （ 舍 去 ） ， （ 分 ） 则 （ 分 ） 解 法 二 ： 补 全 矩 形 ； （ 分 ） 连 接 、 ， 则 垂 直 平 分 ； （ 分 ） ； （ 分 ） ； （ 分 ） （ 分 ）
