1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关联图 等 腰 三 角 形手 拉 手 模 型 等 腰 直 角 三 角 形 （ 包 含 正 方 形 ）等 边 三 角 形 （ 包 含 费 马 点 ）特 殊 角旋 转 变 换 对 角 互 补 模 型 一 般 角特 殊 角角 含 半 角 模 型 一 般 角等 线 段 变 换 （ 与 圆 相 关 ）真题演练【练 1】 （2013 北京中考）在 中， ， （ ），将线ABC ABC06段 绕点 逆时针旋转 60得到线段 BCD（1 ）如图 1，直接写出 的大小（用含 的式子表示）；（2 ）如图 2， ，判断 的形状并加以证明；5060E， ABE（3 ）在（2
2、 ）的条件下，连结 ，若 ，求 的值45C【练 2】 （2012 年北京中考）在 中， ， 是 的中点，ABC BAC， MA是线段上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 PP2PQ（1 ）若 且点 与点 重合（如图 1） ，线段 的延长线交射线 于点MB，请补全图形，并写出 的度数；DD（2 ）在图 2 中，点 不与点 重合，线段 的延长线与射线 交于点 ，猜PBM， CQBMD想 的大小（用含 的代数式表示） ，并加以证明；CDB（3 ）对于适当大小的 ，当点 在线段 上运动到某一位置（不与点 ， 重合）时，能使得线段 的延长线与射线 交于点 ，且 ，请直接写出 的范QDP围例题精讲
3、考点 1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1 ）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2 ）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3 ）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4 ）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例 1】 （14 年海淀期末）已知四边形 ABCD和四边形 EFG都是正方形 ，且 ABCE（1）如图 ，连接 G、 求证： ；（2）如图 ，如果正方形 AB的边长为 2，将正方形 CEF绕着点 旋转到某一位置时恰好
4、使得 D ， 求 BDE的度数；请直接写出正方形 CFG的边长的值【题型总结】手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？【例 2】 （2014 年西城一模） 四边形 是正方形， 是等腰直角三角形，ABCDBEF， ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ， 。90BEFEFGGCE（1）如图 24-1，若点 在 边的延长线上，直接写出 与 的位置关系及的值；CG（2）将图 24-1 中的 绕点 顺时针旋转至图 24-2 所示位置，请问（ 1）中BEF所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ACDGEFB图111124-1图24-2AC
5、DGEFB【题型总结】此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？【例 3】 （2015 年海淀九上期末）如图 1，在 中， ，以线段 为边作ABC 4AB，使得 ， 连接 ，再以 为边作 ，使得 ，ABD BDDE CECE（1）如图 2 ，当 且 时，用等式表示线段 之间的数45AC90，量关系； EABCD（2）将线段 沿着射线 的方向平移，得到线段 ，连接 若 CBEEFBAF，依题意补全图 3， 求线段 的长；请直接写出线段 的长（用含90 A的式子表示） EABCDEBCDEABCD图 2 图 3 备用图图 1【例 4】 （13 年房山一模
6、） （1）如图 1， 和 都是等边三角形，且 、 、 三点共线，联结ABC DE BCD、 相交于点 ，求证： ADEPA（2）如图 2，在 中， ，分别以 、 和 为边在 120外部作等边 、等边 和等边 ，联结 、 和 交B F ABECF于点 ，下列结论中正确的是_（只填序号即可） ；P ； ；ECA6DPECPA（3）如图 2，在（2）的条件下，求证： BDP PFDECADECAB B图 1 图 2P PFDECADECAB B【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化120为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比
7、较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 考点 2： 角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等 FEDCBA G FEDCBA AB CDEFFEDCBA GAB CDEFGAB CDEAB CDEF【例 1】 （2012 年西城期末）已知：如图，正方形 的边长为 a， ， 分别平ABCDBMDN分正方形的两个外角，且满足 ，连结 ， ， 猜想线段45MN， 和 之间的等量关系并证明你的结论 BMDN【例 2】 （2014 年平谷一模）（1）如图 1，点 EF、 分别是正方形 ABCD的边 、 上的点，45A，
8、连接 ， 则 EF、 、 之间的数量关系是：FBD连结 ，交 、 于点 MN、 ，且 BDN、 、 满足 22NM，请证明这个等量关系；（2）在 中， A，点 、 分别为 边上的两点C如图 2，当 60， 30E时， BDEC、 、 应满足的等量关系是_；如图 3，当 BAC， (9)， A21时，DE、 、应满足的等量关系是_【参考：1cossin22】 ABCDEF图1 B CDE图2 AB CDE图3AMN【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？考点 3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型
9、90）OABCED NOMABCED（全等型120） （全等型 任意角 ）OEDCBA O FED CBAO EDCBA【例 1】 四边形 ACD被对角线 分为等腰直角三角形 AD和直角三角形 CBD，其中和 都是直角，另一条对角线 C的长度为 2，求四边形 的面积DCBA【例 2】 已知：点 P是 MON的平分线上的一动点，射线 PA交射线 OM于点 A，将射线A绕点 逆时针旋转交射线 于点 B，且使 180N（1）利用图 1，求证： ；AP（2）如图 1，若点 C是 与 的交点，当 3POBCS时，求 与 的比PBC值；CAOPBMNTTNMBPOAC图 1 图 2 【题型总结】对角互补模
10、型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？【例 3】 (初二期末)已知：如图，在 中， ， ，ABC ABC且 为 内部一点，且 ， 6012P P120A（1）用含 的代数式表示 ，得 =_；（2）求证： ；B（3）求 的度数PC B CPA【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。（全能突破【练 1】 （2015 年昌平九上期末）如图，已知 和 都是等腰直角三角形，ABCDE， ， 连接 交 于 ,连接 交 90BACDEAMCE于 ， 与 交点为 ，连接 NF（1 ）如图 1，求证： ；BE（2 ）如图 1，
11、求证： 是 的平分线；AC（3 ）如图 2，当 ， 时，求 的长.15FFEDCBA图1NM图2ABC DEFMN【练 2】 （2014 西城九上期末）已知： ， 都是等边三角形， 是 与ABC DEF MBC的中点，连接 ， .EFDE（1）如图 1，当 与 在同一条直线上时，直接写出 与 的数量关系和FAE位置关系；（2） 固定不动，将图 1 中的 绕点 顺时针旋转ABC DFA（ ）角，如图 2 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，o0o9若成立，请加以证明；若不成立， 说明理由； （3）ABC 固定不动，将图 1 中的 绕点 旋转 （ o0 o9）角，EAM作 于点 设 ，线段 ，
12、， ， 所围成的图DHBCBHx BEDA形面积为 当 ， 时，求 关于 的函数关系式，并写出相应S6 2D Sx的 的取值范围 x图2备用图图1【练 3】 （2014 年朝阳一模 24 题）在 中， ，在 中， ，ABC AED 点 、 分别在 、 上，DEC（1 ） 图，若 ，则 与 的数量关系是90DE_；（2 ） 若 ，将 绕点 旋转至如图 所示的位置，则12ABA与 的数量关系是_ ；CE（3 ） 若 ，将 绕点 旋转至如图所示的(09)DED A位置，探究线段 与 的数量关系，并加以证明（用含 的式子表示）E【练 4】 （2015 年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图 1，在
13、 中，RtABC， 点， 在边 上， 若 ，90BAC A ， EBC45DAE 3，求 的长1E DD图 1A BCDE图 2FA BCDE图 3EFDA BC小辉发现，将绕点 按逆时针方向旋转 90，得到 ，连接 （如图 2），CFE由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及 ，可证45D，得 解 ，可求得 (即 )的长FAE FED EA请回答：在图 中， 的度数是_， 的长为2C_ _RtB参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 AD中， ， 分别是边BA 180D EF，上的点，且 猜想线段 之间的数量关系并BC，12EF B， ，说明理由【练 5】 （11 年石景山一
14、模）已知：如图，正方形 ABCD中， , B为对角线，将BAC绕顶点 逆时 针旋转 ( 045)，旋转后角的两边分别交 D于点P、点 Q，交 , D于点 E、点 F，联结 E、 Q（1）在 的旋转过程中， 的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究 AP与 EF的面积的数量关系，写出结论并加以证明 QFCDBAPE【练 6】 （2015 年延庆九上期末）已知： 是 的内接三角形， ，在ABC OABC所对弧 上，任取一点 ，连接 ，BACDD， ，（1）如图 1， ，直接写出 的大小（用含 的式子表示）；（2）如图 2，如果 ，
15、求证： ；60BACBCA（3）如图 3，如果 ，那么 与 之间的数量关系是什12D么？写出猜测并加以证明；（4）如果 ，直接写出 与 之间的数量关系.AOB CD AOB CD DCBOA图 1 图 2 图 3【练 7】 （1)如图，在四边形 ABCD中， 90ABD， ， EF、 分别是边BCD、上的点，且12EAF=求证： EF;(2) 如图在四边形 ABCD中， 180AB+D， ， EF、 分别是边BCD、上的点，且12， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形 ABC中， A， 180BC， EF， 分别是边BC，延长线上的点，且12EFD， (1)中的结论是
16、否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 E FDCBA E FDCBA EFDCBA【练 8】 小华遇到这样一个问题，如图 1, 中， 30， ，在ABC65BCA，ABC内部有一点 ，连接 ，求 的最小值PP、 、 P小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将 绕点 顺时针旋转 60，得到 ，连接 ，则 的长即APCEDC
17、APBE、为所求（1）请你写出图 2 中， 的最小值为_；PAB（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 中， 60，在菱形 内部有一点 ，请在图 3CDABCDP中画出并指明长度等于 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形 的边长为 4，请直接写出当 值最小时 的ABPB长 ACBP图 1DEACBP图 2DACB图 3【练 9】 （2014 年西城二模）在 ， 为锐角， ， 平分 交ABCABCDBAC于点 BCD（1）如图 1，若 是等腰直角三角形，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系；（2） 的垂直平分线交 延长线于点 ，交 于点 ADEBCF如图 2
18、，若 ，判断 ， ， 之间有怎样的数量关系并加60BEA以证明；如图 3，若 ，求 的度数3ACB【练 10】 (2014 年 1 月西城八年级期末试题 附加题) 已知：如图， 为锐角，MAN平分 ，点 ，点 分别在射线 和 上， .ADMNBCAMN BC（1）若点 在线段 上，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，直线 交直线EAEDFE于点 ，求证： ；GFG（2）若（1）中的点 运动到线段 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想与 的数量关系并证明你的结论.BFC备用图 1 备用图 2【练 11】 （2014 海淀一模）在 中， ，将线段 绕着点 逆时针旋转ABC AC得到线段 ，旋转角为 ，且 ，连接 ， CD018DB（1）如图 ，当 ， 时， 的大小为_；1B6（2）如图 2，当 ， 时，求 的大小；2M（3）已知 的大小为 （ ） ，若 的大小与（ ）中的结果相同，Am012请直接写出 的大小图 1AB CD图 2DCBA小结与复习1、旋转的基本模型特征2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4、线段旋转的特点
