1、第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 ）第 I 卷（选择题）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）1已知集合 32,6,8102,4AxnNB，则集合 AB中的元素个数为( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）22已知点 (0,1),，向量 (4,3)A，则向量 C( )（A） 7 （B） (7,) （C） 1, （D） 1,4 3已知复数 z满足 (i，则 z（ ） （A） 2i （B） 2 （C） 2i （D） 2i 4如果 3 个正整数可作
2、为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2345中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） 10 （B） 15 （C） 10 （D） 1205已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 2:8Cyx的焦点重合， ,AB是 C 的准线与 E 的两个交点，则 ( )（A） 3 （B） 6 （C） 9 （D） 126 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8
3、尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）（A） 14斛 （B） 2斛 （C） 36斛 （D） 6斛7已知 na是公差为 1 的等差数列， nS为 a的前 项和，若 84S，则 10a（ ）（A） （B） 9 （C） 10 （D） 128函数 ()cos)fx的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为（ ）（A） 13(,),4kkZ （B） 13(2,),4kkZ（C） 13(,),4kkZ（D）29执行右面的程序框图，如果输入的 0.t，则输出的 n（ ）（A） 5 （B） 6 （C） 1
4、 （D） 1210已知函数12,()log()xf，且 ()3fa，则 (6)fa（ ）（A） 74 （B） 54 （C） 34 （D） 411圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 1620，则 ( ) （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 812设函数 ()yfx的图像与 2xay的图像关于直线 yx对称，且 (2)41ff，则 a( )（A） （B） 1 （C） （D） 4第 II 卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21 ）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）
5、题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分.）13数列 na中 11,2,nnaS为 的前 n 项和，若 126nS，则 .14已知函数 3fx的图像在点 1,f的处的切线过点 ,7，则 a .第 3 页 共 6 页 第 4 页 共 6 页15若 x,y 满足约束条件201xy,则 z=3x+y 的最大值为 16已知 F是双曲线2:8yCx的右焦点，P 是 C 左支上一点， 0,6A ，当 APF周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17 （本小题满分 12 分）已知 ,abc分别是
6、AB内角 ,C的对边， 2sinisnBAC.（）若 ab，求 cos;B （）若 90，且 2, 求 C的面积.18 （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， BEACD平，（）证明：平面 AEC平面 BD；（）若 120B， , 三棱锥 EAC的体积为 63，求该三棱锥的侧面积.19（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 ix和年销售量 1,28iy 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. xyw
7、821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 i= ix ， =81i（）根据散点图判断， yabx与 ycdx，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 0.2z ，根据（）的结果回答下列问题：（）当年宣传费 90x时，年销售量及年利润的预报值时多少？（）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 1(,)uv
8、, 2， (,)nuv,其回归线 vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：A12()=niiiiiu， A=第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页20 （本小题满分 12 分）已知过点 1,0A且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 2231xy交于 M，N 两点.（）求 k 的取值范围；（） 12OMN，其中 O 为坐标原点，求 MN.21（本小题满分 12 分）设函数 2lnxfea.（）讨论 fx的导函数 x的零点的个数；（）证明：当 0a时 2lfa.22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 AB 是 直径，AC 是 切线，BC 交 与点 E.（）若 D 为 A
9、C 中点，求证：DE 是 切线；（）若 ，求 的大小.3OACEAB23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xy 中，直线 1:2x，圆 222:11Cxy，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 12,C的极坐标方程.（）若直线 3的极坐标方程为 R4，设 23,的交点为 ,MN，求 2C 的面积.24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 12,0fxxa .（）当 a 时求不等式 1f 的解集；（）若 fx 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.答案第 1 页，总 10 页参考答案1D【解析】试题
10、分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 AB=8,14,故选 D.考点：集合运算2A【解析】试题分析： BOA=（3,1） ， BCA=(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算3C【解析】试题分析： (1)zi，z= 21()iii，故选 C.考点：复数运算4C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,51,2345中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 10，故选 C.考点：古典概型5B【解析】试题分析：抛物线 2:8Cyx的焦点为（2,0） ，准线方程为
11、2x，椭圆 E 的右焦点为（2,0） ，椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为21(0)yab，c=2， 12cea， 4， 22bac，椭圆 E 方程为216xy，将 x代入椭圆 E 的方程解得 A（-2,3） ，B（-2，-3） ，|AB|=6，故选 B.考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r，则 12384r，所以 163r，所以米堆的体积为213()54=309，故堆放的米约为 091.6222，故选 B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7B【解析】答案第 2 页，总 10 页试题分析：公差 1d， 84S， 11874(3)22aa，解得1a=
12、 2， 10992a，故选 B.考点：等差数列通项公式及前 n 项和公式8D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253，解得 =， 4，所以()cos)4fx，令 ,4kxkZ，解得 12k x 324k，kZ，故单调减区间为（ 12， 3） ， ，故选 D.考点：三角函数图像与性质9C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= 12=0.5,S=S-m=0.5, 2m=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m =0.25, m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m =0.125,
13、2=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m =0.03125, m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, 2=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图10A【解析】试题分析：
14、 ()3fa，当 1a时， 1()23af，则 12a，此等式显然不成立，当 1a时， 2log()，解得 7，答案第 3 页，总 10 页 (6)fa(1f= 724，故选 A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 2214rr=254=16 + 20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12C【解析】试题分析：设 (,)xy是函数 ()fx的图像上任意一点，它关于直线 yx对称为（,y） ，由已知知
15、（ ,）在函数 2xay的图像上， 2a，解得2log()xa，即 ()log()fx，224l41ff a，解得 ，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算136【解析】试题分析： 112,naa，数列 n是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ()6nS， 4，n=6.考点：等比数列定义与前 n 项和公式141【解析】试题分析： 2()31fxa， ()31fa，即切线斜率 31ka，又 (1)f，切点为（1， ） ，切线过（2,7） ， 27，解得a1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；154【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 0l： 3xy，
16、平移直线 0l，当直线 l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最大值，由 2=1xy解得 A（1,1） ，z=3x+y 的最大答案第 4 页，总 10 页值为 4.考点：简单线性规划解法16 126【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为 1F，由双曲线定义知， 1|2|PFa，APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 12|a+|AF|=|PA|+|+|AF|+2a，由于 2|aAF是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|+ 1|最小，即 P、A、 1F共线， 0,6， 1（3,0） ，直线 1AF的方程为 36xy，即 326yx代入28yx整理得 2690y，解得 2或 8
17、(舍)，所以 P 点的纵坐标为 6， 11APFPFSS= 16262= .考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题17 （） 14（）1【解析】试题分析：（）先由正弦定理将 2sinisnBAC化为变得关系，结合条件 ab，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（）由（）知 2bac=，根据勾股定理和即可求出 c，从而求出 的面积.试题解析：（）由题设及正弦定理可得 2ba=.答案第 5 页，总 10 页又 ab=，可得 2c,a=,由余弦定理可得21os4bB+-.（）由(1)知 2bac.因为 =90，由勾股定理得 22b+=.故 2ac+，得
18、c.所以 DABC 的面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18 （）见解析（） 3+25【解析】试题分析：（）由四边形 ABCD 为菱形知 ACBD，由 BE 平面 ABCD 知 ACBE，由线面垂直判定定理知 AC平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 AEC平面 BD；（）设 AB=x，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来，在 RtAEC 中，用 x 表示EG，在 RtDEBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥 D的体积为 63求出 x，即可求出三棱锥 EAC的侧面积.试题解析：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD，因为 BE平面
19、ABCD，所以 ACBE，故 AC 平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED（）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，可得 AG=GC= 32x,GB=GD= .因为 AEEC，所以在 RtDAEC 中，可得 EG= 32x.由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE= .由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 3163224EACDVGBEx-=.故 x=2从而可得 AE=EC=ED= 6.所以 DEAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 +2.考点：线面垂直的判定与性质；
20、面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推答案第 6 页，总 10 页理能力；运算求解能力19 （） ycdx适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型（）10.68（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令wx，先求出建立 y关于 w的线性回归方程，即可 y关于 x的回归方程；（）()利用 y关于 的回归方程先求出年销售量 y的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的
21、年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断， cdx适合作为年销售 关于年宣传费用x的回归方程类型. （）令 wx，先建立 y关于 w的线性回归方程，由于 812()iiiiiwyd=108.=6， cydw=563-686.8=100.6. 关于 的线性回归方程为 10.68yw， y关于 x的回归方程为 x.（）()由（）知，当 x=49 时，年销售量 y的预报值10.6849=576.6，57.26.3z. （）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值0.(18)1.620.xx，当 x= 3.62，即 4时， 取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点
22、：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20 （） 47,3-+（）2【解析】答案第 7 页，总 10 页试题分析：（）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范围；（）设 12(,)(,)MxyN，将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将 1用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及 12ON列出关于 k 方程，解出 k，即可求出|MN|.试题解析：（）由题设，可知直线 l 的方程为 yx=+.因为 l 与 C 交于两点，所以 2|3|1k-+时， ()fx存在唯一零点.（）
23、见解析【解析】试题分析：（）先求出导函数，分 与 考虑 f的单调性及性质，即可判断出零点个数；（）由（）可设 ()fx在 0+， 的唯一零点为 0x，根据 fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 2lna+，即证明了所证不等式.试题解析：（） ()fx的定义域为 ()0+， ， ()2(=0xafe-.当 0a时, ， 没有零点；答案第 8 页，总 10 页当 0a时，因为 2xe单调递增， ax-单调递增，所以 ()fx在 0+， 单调递增.又()f,当 b 满足 04时， ()fx存在唯一零点.（）由（） ，可设 ()f在 +， 的唯一零点为 0x，
24、当 0， 时， 0f.故 )f在 ， 单调递减，在 ()0， 单调递增，所以当 0x=时， ()fx取得最小值，最小值为 0(x.由于 02=ae-，所以 002()=lnl2afxxa+.故当 时， ()lnf.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.22 （）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以 DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由 得，AB= ，设 AE= ，
25、由勾股定理得3OACE23x，由直角三角形射影定理可得 ，列出关于 的方程，解出21BEx BA，即可求出ACB 的大小.x试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线. （）设 CE=1，AE= ,由已知得 AB= ， ，x2321BEx由射影定理可得， ，2AEC ，解得 = ，ACB=60.21xx答案第 9 页，总 10 页考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23 （） cos2, cos4
26、in0（） 12【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 1C， 2的极坐标方程；（）将将 =4代入 2cos4in0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出 2CMNA的面积.试题解析：（）因为 cs,ixy， 1的极坐标方程为 o2， C的极坐标方程为 2cos4in0.5 分（）将 =4代入 2cs4in0，得 23，解得 1=2， 2= ，|MN|= 1 2= ，因为 C的半径为 1，则 CMNA的面积 o1si45= 2.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24 （） 2|3x（） （2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f(x)
27、1 化为一元一次不等式组来解；（）将 ()fx化为分段函数，求出 ()fx与 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于 a的不等式，即可解出 a的取值范围.试题解析：（）当 a=1 时，不等式 f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价于 12x或 12x或 2x，解得 23x，所以不等式 f(x)1 的解集为 |3. 答案第 10 页，总 10 页（）由题设可得，12,()3,xaf x，所以函数 ()fx的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 21(,0)3aA，21,0Ba， ,+1)Ca，所以ABC 的面积为 2(1)3a.由题设得 2(36，解得 2.所以 的取值范围为（2，+）. 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
