1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学第卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PPB 24SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径，球的体积公式()()AB如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么P34VR次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nk()(1)(01,2)knknPCn， ， ，一选择题（1 ）已知全集 U=1，2，3，4，5 ，6，7 ，8 ，M =1，3，5，7，N =5，6，7，则 Cu
2、( M N)=(A) 5，7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （D）1，3，5 ，6，7答案：C解析：本题考查集合运算能力。（2 ）函数 y= (x 0)的反函数是x（A） （x 0） （B） （x 0）2y2y（B） （x 0） （D） （x 0） 答案：B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数 x 0 可知 AC 错,原函数 y 0 可知 D 错，选 B.（3 ） 函数 y= 的图像2logxy（A） 关于原点对称 （B）关于主线 对称yx（C ） 关于 轴对称 （D）关于直线 对称答案：A解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 f(-x)=-f(x
3、)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 A。（4 ）已知 ABC 中， ，则12cot5Acos(A) (B) (C) (D) 1233513123答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA= 知 A 为钝角，cosAlge0,知 ab,又 c= lge, 作商比较知 cb,选21B。（8）双曲线 的渐近线与圆 相切，则 r=1362yx )0()3(22ryx（A） （B）2 （C）3 （D）6答案：A解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求 r= 3（9）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数)0(4tanxy 6的图像重合，
4、则 的最小值为)6t(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 113121答案：D解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出 min= 21（10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有（A）6 种 （B）12 种 （C）24 种 （D）30 种答案：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修 2 门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 =6，故只恰好有 1 门相24 24C同的选法有 24 种 。（11）已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点，F
5、为 C 的焦点。)0(2kxy xy82若 ,则 k=FBA2(A) (B) (C) (D)3133232答案：D解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0 ） ，由及第二定义知 联立方程用根与系数关系可求 k= 。2FAB)2(BAx 23（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（A）南 （B）北 （C）西 （D）下w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B解析：.此题用还原立体图方法直接得出结果，使上在正上方依次找到对应面即可。第卷
6、（非选择题）本卷共 10 小题，共 90 分。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.（13）设等比数列 的前 n 项和为 。若 ，则 = ans3614,sa4a答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 得 q3=3 故 a4=a1q3=3。61,s（14） 的展开式中 的系数为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4)(xy3yx答案：6 解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。（15）已知圆 O： 和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围52yx成的三角形的面积等于 上 东
7、答案： 254解析：由题意可直接求出切线方程为 y-2= (x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的21截距分别是 5 和 ，所以所求面积为 。245（16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于 ，则球 O 的表面积等于 47答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 .8)147(422RS三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。（17） （本小题满分 10 分）已知等差数列
8、 中， 求 前 n 项和 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m na,0,166473as解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设 的公差为 ，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m nad1126350d即22184a解得 11,82ad或因此 9819n nSnSn， 或（18） （本小题满分 12 分）设ABC 的内角 A、B 、C 的对边长分别为 a、b、c，, ，求 B.23cos)cs(BCAacb解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到 sinB= (负值舍掉) ，从
9、而求出 B= 。233解：由 cos（A C）+cosB= 及 B= （A+C）得cos（A C） cos（A+C ）= ，32cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= ,32sinAsinC= .34又由 =ac 及正弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2bsinisn,BAC故 ，234或 （舍去） ，sin3sin2B于是 B= 或 B= .3 2又由 知 或2baccb所 以 B= 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3（19） （本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1
10、 中，ABAC,D 、E 分别为 AA1、B 1C 的中点，DE平面 BCC1（）证明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取 BC 中点 F，通过证明 AF平面BCC1,再证 AF 为 BC 的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形 AFED 是正方形可证平面 DEF平面 BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF ，从而 EF DA。12B连接 AF，则
11、ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE。又 DE平面 ，故 AF平面 ，从1BC1BC而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。（）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故AGC 为二面角 A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=60 0设 AC=2，则 AG= 。又 AB=2，BC= ，故 AF= 。2322由 得 2AD= ，解得 AD= 。ABDG 2.AD故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。连接 AE、DF，设 AED
12、F=H，则 EHDF，EH平面 BCD。连接 CH，则ECH 为 与平面 BCD 所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1BC因 ADEF 为正方形，AD= ，故 EH=1，又 EC= =2，212BC所以ECH=30 0，即 与平面 BCD 所成的角为 300.1解法二：（）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0） ，C（0，b，0） ，D（0，0，c） ，则 （1，0，2c）,E（ ， ，c）.B12bACBA1B1C1D E于是 =（ ， ，0） ， =（-1，b,0 ）.由 DE平面 知 DEBC， =0，
13、求DE12bBC1BCDEBC得 b=1，所以 AB=AC。（）设平面 BCD 的法向量 则(,)ANxyz0,.AN又 =（-1，1， 0） ，BC=（-1，0 ， c）,故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D0xycz令 x=1, 则 y=1, z= , =(1,1, ).1AN又平面 的法向量 =（0，1，0 ）BC由二面角 为 60知， =60，DAN，故 ，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 60cosANA21c于是 ， ），（ 21），(1CB，2cos11AN，601，所以 与平面 所成的角为 30CB1D（20） （本小题满分 12 分）某车间甲组有 10
14、名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；（）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有 2 名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。解：（I）由于甲、乙两组
15、各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。（II）记 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 158)(2064CP（III） 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人，i i210，i表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人，jBjj，表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。与 独立， ，且iAj 10， ji 0210BABA故 )()220BAPB)() 021P210628461042104 CC（21） （本小题满分 12 分） ax
16、axf 4)(3)(2()讨论 f(x)的单调性;()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解： （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )2(4)1(2)( axaxxf 由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；a0(ff),(当 时， ，故 在区间 是减函数；x)x)x,当 时， ，故 在区间 是增函数。2(f(f)2(a综上，当 时
17、， 在区间 和 是增函数，在区间 是减1a)x), )2,(a设函数 ，其中常数 a1函数。（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。0x)(xfa20xaf 41)2(3442f)0(由假设知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 解得 1a6,0)(21fa.024,0)6(3,1a故 的取值范围是（1，6）（22） （本小题满分 12 分） )0(12bayx32（）求 a,b 的值；（）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有OBAP成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能
18、力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 当 的斜率为 1 时，其方程为 到 的距离为,0cFl Ocyx,0l2故 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m c1c由 3ae得 ， =2cb（）C 上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立。PlFOBAP已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B2两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为由 （）知 C 的方程为 + =6. 设2x3y).,(),(21yxBA()
19、kll的 方 程 为轴 时 ， 设不 垂 直当C 成立的充要条件是 ， 且OBP使上 的 点 ）点 的 坐 标 为 （ 2121,yxP6)(3)(22121yx整理得 643212122 yxx3,1yCBA上 ， 即在、又故 02211x将 并 化 简 得代 入 ,6)(2yxkyw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 36322kx于是 , = ,2211x2k22121 34)(ky代入解得， ，此时221x于是 = ， 即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )(2121xkyk)2,3(kP因此， 当 时， ， ；,3(P0yxl的 方 程 为当 时， ， 。2k)2,(2l的 方 程 为（）当 垂直于 轴时，由 知，C 上不存在点 P 使lx)0,(OBA成立。OBAP综上，C 上存在点 使 成立，此时 的方程为)2,3(Plw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 02yx
