1、概率论与数理统计- 1 -第 1 章 随机事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)乘法公式乘法公式： )/()(ABP更一般地，对事件 A1，A 2，A n，若 P(A1A2An-1)0，则有21(P )n )|()|(3 21|(APn )1n。独立性两个事件的独立性设事件 A、 B满足 )()(BPA，则称事件 、 B是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 0，则有 )()()(|(P多
2、个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式 )|()|()|()( 2211 nnBAPBAPBAP。概率论与数理统计- 2 -贝叶斯公式，i=1，2，n。nj jjiii BAPABP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。， （ i， 2， n） ，通常叫先验概率。)(iBP， （ 1， ， ） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了/A“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。第二章 随机变量及其分布连续型随机变量的分布密
3、度设 )(xF是随机变量 X的分布函数，若存在非负函数 )(xf，对任意实数 x，有 xdf)()(， 则称 为连续型随机变量。 )(f称为 X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面性质： 0)(xf 。 1)(dxf离散与连续型随机变量的关系。 积分元 在连续型随机变量理fdXxP()( f论中所起的作用与 kp)在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（5）八0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q设 为随机变量， 是任意实数，则函数 称为随机变量 X 的分布函数，Xx )()xXPxF本质上是一个累积函数。 可以得到 X 落入区间 的概(abXaP ,(ba率
4、。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)(xF1. ；2。 是单调不减的函数，即 时，有 ,10x)(xF21x；3。 ， ；4。 )(1x2 0)(lim)(x )(limxFx，即 是右连续的；5. 。对于离散)(F 0)(XP型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。xkp xdf)(概率论与数理统计- 3 -二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生nApA的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。Xn,210， 其中knknqpCPkX)(，pq,210,0,1则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为np。当 时， ， ，),(nBXkqXP1)
5、(.0这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 的分布律为， ， ，ekXP!)(02,1k则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或)(X者 P( )。超几何分布 ),min(210,( MllkCkXPnNkM随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。大分布几何分布，其中 p0，q=1-p。,321,)(kpqP随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。概率论与数理统计- 4 -均匀分布设随机变量 X的值只落在a，b内，其密度函数 )(xf在a，b上为常数 ，即ab1其他,01)(abxf指数分布其中
6、 0，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。X 的分布函数为)(xf,xe 0,0, x,)(xF,1xe0,x2)2n期望niipxXE1)(njjyY1)( dxfXEX)()(yfYY)()(函数的期望),(XGEijijipyx, ),(XGE dxyfyx),(,二维随机变量方差i ipXExXD2)()(j jYY2xfXExD)()(2dyfYy)()(2概率论与数理统计- 12 -协方差对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的协方差1或相关矩，记为 ，即),cov(或.(1 YEEXY 与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可
7、分别记为与 。Y数字特征相关系数对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为 ） 。)(DYXY| |1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： 完全 1)(baP相关 ，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当 )0(1a而当 时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：0；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);XYD(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y
8、);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独立和不相关若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。0XY概率论与数理统计- 13 -列维林德伯格定理设随机变量 X1，X 2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量),21(0)(,)( kDEkknXYnk1的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有 xtnknn deXPx .21lim)(li 21此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（2）中心极限定理 ),(2nNX棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数
9、n, p(0p1)的二项分布，则对于nX任意实数 x,有 xtnn depP.21)1(lim2第六章 样本及抽样分布概率论与数理统计- 14 -常见统计量及其性质样本均值 .1nix样本方差 niixS122 .)(样本标准差 .)(12niix样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩， ，)(XEnD2)(其中 ，为二阶中心矩niiXS122)(*正态分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样nx,21 ),(2N本函数t 分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样nx,21 ),(2N本函数 ),1(/tstdef（2）正态总体下的四大分布分 布2设 为来自正态总体 的一个样本，则nx,21
10、),(2N),1()(22Swdef .10/nudef2)(SE1*n其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。表示自由度为 n-1 的分布 分布2概率论与数理统计- 15 -F 分布设 为来自正态总体 的一个样本，而nx,21 ),(21N为来自正态总体 的一个样本，则样y 2本函数其中),1,(/2121nFSdef,)(2121niix;)(1222niiyS表示自由度为 ，),(21 1当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中为未知),;(21mxf参数。又设 为总体的一个样本，称nx,21为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则),;(21mxpXP为样本的似然函数。若似然函),;(),;,( 1111 222 ni mimn xpxL 数 在 处取到最大值，则称 分,;,2211n,2 m,21别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。m2若 为 的极大似然估.iLiin,0l ),;(,1122ni mixfL
