小升初数学专项训练.doc

1、 超越自我巩固提高针对训练查漏补缺-1-目录第一讲 小升初专项训练 计算篇2第二讲 小升初专项训练 几何篇（1） 8第三讲 小升初专项训练 几何篇（2） 16第四讲 小升初专项训练 行程篇（1） 23第五讲 小升初专项训练 行程篇（2） 29第六讲 小升初专项训练 找规律篇36第七讲 小升初专项训练 工程篇43第八讲 小升初专项训练 期中篇50第九讲 小升初专项训练 比例百分数篇52第十讲 小升初专项训练 数论篇（1） 58第十一讲 小升初专项训练 数论篇（2） 64第十二讲 小升初专项训练 方程篇 70第十三讲 小升初专项训练 计数方法与原理 76第十四讲 小升初专项训练 综合练习 80第十

2、五讲 小升初专项训练 逻辑推理篇 86第十六讲 小升初专项训练 期末测试 93-2-第一讲 小升初专项训练 计算篇一、小升初考试热点及命题方向计算是小学数学的基础，近两年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6 分15 分） ，学员应针对两方面强化练习：一 分数小数的混合计算；二 分数的化简和简便运算； 二、2012 年考点预测2012 年的小升初考试将继续考查分数和小数的四则运算，命题的热点在分数的拆分技巧以及换元法的运用，另外还应注意新的题型不断出现例如通过观察、归纳、总结，找出规律并计算的题型，这类题型为往往用到了等差数列的各类公式，希望同学们熟记。 三、考试常用公式以下是

3、总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。1基本公式： 21321n2、 6讲解练习： 01932119222 原 式 nna3、 412133 4、 1370abccab60678如 ：讲解练习 ：200720062006-200620072007=_.5、 baba2讲解练习 ：8 -7 +6 -5 +4 -3 +2 -1 _.226、 （成达杯考过 2 次，迎春杯考过 1 次）7451.048571.0讲解练习 ： 化成小数后，小数点后面第 2007 位上的数字为 _。公式需牢记做题有信心！-3-化成小数后，小数点后若干位数字和为 1992，问 n=_。7n7、1+2+3+

4、4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n 28、 121313456212讲解练习 ：123456787654321(1+2+3+48+4+3+2+1) 是一个数的平方，则这个数是_9、等比数列求和偶尔会考 qasn1为 公 比为 项 数 ，为 首 项 ， qna1讲解练习 ：2+2 +2 2 =_232081、代上面公式。2、建议用“差项求和”的方法：S=2+2 +2 2 232082S=2 +2 2 +2 9两式相减：S=2 -2 （提醒学生不能再接着算了！）09拓展：2 -2 =22 -2 =22087207710、 1913456讲解练习 ： 500153465 【编者注】：更

5、多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识。四、典型例题解析1 分数，小数的混合计算【例 1】 （） （7 6 ）2 （42 ）1.3518515【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第 2 题【例 2】 （） )1956.043(2.5076913【来源】第五届“华杯赛”复赛第 1 题2 庞大数字的四则运算 -4-【例 3】 （）19+199+1999+ =_。 91个【来源】第七届华杯赛复赛第 7 题【例 4】 （）111111111122222222223333333334【来源】第十届小数报数学竞赛决赛填空第 1 题【例 5】 （） 352

6、869014837【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第二题第 2 题3 庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）【例 6】 （） 420120143621【来源】第五届小数报数学竞赛初赛计算题第 3 题【例 7】 （） 42109127653【来源】人大附中考试题【例 8】 （） 215610631【来源】人大附中考试题4 繁分数的化简【例 9】 （）已知 ，那么 x=_.1824x【来源】2005 小学数学奥林匹克预赛 A 卷第 3 题5 改变运算顺序简化计算【例 10】 （）所有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。【来源】第八届小数报数学竞赛决赛填空题第 2 题-5-【例 1

7、1】 （）分母为 1996 的所有最简分数之和是_。【来源】北京市第二届“迎春杯”初赛第二第 6 题6 观察，找出规律并计算【例 12】 （）在下表中，所有数字的和为_.1 2 3 502 3 4513 450 51 52 99 【来源】 2005 年我爱数学夏令营活动试题【例 13】如果 1=1!12=2!123=3! 12399100=100!那么 1!+2!+3!+100!的个位数字是_【来源】 北京市第四届“迎春杯”决赛第二题第 8 题7 换元法的运用【例 14】 （） 193201321031219321 【来源】 （我爱数学夏令营活动试题）8 其他常考题型【例 15】 （）小刚进行

8、加法珠算练习，用 123，当数到某个数时，和是1000。在验算时发现重复加了一个数，这个数是。【来源】北京市第十一九届“迎春杯”刊赛第 22 题【拓展】小明把自己的书页码相加，从 1 开始加到最后一页，总共为 1050，不过他发现他重复加了一页，请问是页。-6-【例 16】 （）某学生将 乘以一个数 a 时，把 误看成 1.23，使乘积比正确结果32.132.1减少 0.3。则正确结果应该是_。【来源】北京市第一届“迎春杯”决赛第一题第 9 题【附加题】 （） 是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上 c，则三个643cba、分数的和为 6，求这三个真分数。【来源】第三届“从小爱数学”邀请

9、赛第 2 题小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）分数，小数的混合计算。参见例 1，22）庞大数字的四则运算。 参见例 3，4，53）庞大算式的四则运算。 （拆分和裂项的技巧）参见例 6，7，84）繁分数的化简。参见例 95）改变运算顺序简化计算。参见例 10，116）观察，找出规律并计算。参见例 12，137）换元法的运用。参见例 148）其他常考题型。参见例 15，16作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1类型 1；题 2类型 2；题 3类型 4；题 4类型 6； 题 5类型 3 ；题 6类型 7；题 7类型 81、 （） )5246.(031【来源】北京市第八届“迎春杯”

10、决赛第一题第 2 题2、 （） 2147315)9286517( 【来源】北京市第十一届“迎春杯”刊赛第 24 题-7-3、 （）将右式写成分数 214（）有 A、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有 25 个数。A 组数中前几个是这样排列的 1、6、11、16、21、；B 组数中最后几个是这样排列的、105、110、115、120、125。那么，A、B 这两组数中所有数的和是。【来源】第五届小数报数学竞赛初赛填空题第 1 题5、 )19()3(21)41(3)21()3(21 【来源】南京市第三“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 D 卷第 1 题6、 （） 94758320789

11、45371260389475947583127、 （）有一串数 它的前 1996 个数的和是多少？、 21【来源】北京市第十三届“迎春杯”初赛第三题第 2 题名校真题 测试卷 1 （计算篇）时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_1 （06 年人大附中考题）=_111(2)(3)(4).(78)456902 （06 年清华附中考题）计算：39 148 48 =_184967419-8-3 （06 年西城实验考题）一串分数： 其中的第 2000 个分数12341256128,.,.57791是 _ 4 （06 年三帆中学考题）六年三班有 40 名同学，每人都向希望工程捐了款.其中有一名

12、同学捐了 2.80 元。但是统计数字时把这个数字搞错了，结果计算出的全班平均每人捐款数比实际平均每人捐款数高了0.63 元。统计数字时把这个数字当成了 _元. 5 (06 年首师附中考题)=_168426384219793第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）一、小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在 12-14 分（包含 1 道大题和 2 道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的

13、题目还会用到有关包含与排除的知识。二、2012 年考点预测2012 年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解。三、典型例题解析1 等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2底高因此我们有【结论 1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论 2】等高的三角形面积之比等于对应底的比-9-这 2 个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为

14、它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例 1】 （）如图，四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 点，三角形 ADO 的面积=5，三角形 DOC 的面积=4，三角形 AOB 的面积=15，求三角形 BOC 的面积是多少？【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米，BOC 面积为 2 平方千米，COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例 2】 （）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为 2:3

15、。已知右图中 3 个阴影的三角形面积之和为 1，那么重叠部分的面积为多少？燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】:在三角形 ABC 中，AD,BE,CF 相交于同一点 O,那么 SABO:SACO=BD:DC -10-【例 3】 （）在ABC 中 =2:1, =1:3，求 =?DCBEAOB【例 4】 （）三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 5 平行线定理在三角形中的运用（热点）下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同学们应该对下

16、图所示的图形非常熟悉了相交线段 AD 和 AE 被平行线段 BC 和 DE 所截，得到的三角形 ABC 和 ADE 形状完全相似所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例体现在右图中， 就是 AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形 ABC 的高：三角形 ADE 的高这种关系称为“相似” ，同学们上了中学将会深入学习相似三角形对应-11-边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图） ，往往不易看出相似关系如（右下图）AB 平行于 DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC

17、：CD，三角形 ABC 与三角形 DEC 也是相似三角形下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式【例 5】 （）如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是 4 cm ，CED2的面积是 6cm 。问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？2【例 6】 （）如右图，单位正方形 ABCD，M 为 AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积。【例 7】 （）如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是_平方厘米。【解】：解：延长 EB 到 K，使 BK=CD。6 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系

18、-12-【例 8】（）如图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 DG 为 5厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？【例 9】 （）如下图所示，四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。5 差不变原理的运用【例 10】 （）左下图所示的 ABCD 的边 BC 长10cm，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8cm，已知两块阴影部分的面积和比EFG 的面积大 10cm2，求 CF 的长。【例 11】 （）如图，ABCG 是 47 的长方形，DEFG 是 210 的长方形，那么，三角形BCM 的面积与三角形 DCM 的面积之差是多少

19、？ -13-拓 展：如图,已知圆的直径为 20,S1-S2=12,求 BD 的长度?6 其他常考题型【例 12】 （）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【例 13】用同样大小的 22 个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是 18 厘米，求图中阴影部分的面积和。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）等积变换在三角形中的运用。参见例 1，22）燕尾定理在三角形中的运用。 参见例 3，43）平行线定理在三角形中的运用。参见例 5，6，74）利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例 8，95）差不变原理的运用。参见例 10，116）其他常考题型。参见例 12，13作业题（注：作业题

20、-例题类型对照表，供参考）题 1，2类型 1；题 3，4类型 5；题 5，6类型 6； -14-1、 （）如右图所示，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，使 CE=2BC；延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。2、 （）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为 15、18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？3、正方形 ABFD 的面积为 100 平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大 30 平方厘米，求 DE 的长是多少？4、 （）如下图，已知

21、D 是 BC 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，且 的面ADG积比 的面积大 6 平方厘米。EFG ?的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米ABCBCDEG5、 （）长方形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 分别为边 AB、BC、CD 的中点，H 为 AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？7、 （）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10厘米和 12 厘米，求阴影部分的面积。名校真题 测试卷 2 （几何篇一）时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_1 （06 年清华附中考题）如图，在三角形 ABC 中， ，D 为 BC 的中点，E

22、 为 AB 上的一点，且BE= AB,已知四边形 EDCA 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积. 32 （06 年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是_米. -15-3 （05 年 101 中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)修剪西部、东部、南部各需 10 分钟，16 分钟，20 分钟请你想一想修剪北部需要多少分钟

23、？ 4 （05 年三帆中学考题）右图中 AB=3 厘米，CD=12 厘米，ED=8 厘米，AF=7 厘米.四边形 ABDE 的面积是 平方厘米5 (06 年北大附中考题)三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少？ 第三讲 小升初专项训练 几何篇（二）一、小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。二、2012

24、年考点预测2012 年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类基本题型，就可成功在握。考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型。南西 北 东-16-三、典型例题解析1 与圆和扇形有关的题型【例 1】 （）如下图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【例 2】 （）草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30米的绳子拴着一只羊（见左下图） 。问：这只羊能够活动的范围有多大？【例 3】 （）在右图中，两个四分之一圆弧的

25、半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差。【例 4】 （）如图，ABCD 是正方形，且 FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。 （取 3）【例 5】（）如下图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15 厘米，-17-与立体几何有关的题型 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体） 、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例 6】 （）用棱

26、长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【例 7】 （）在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图） 求挖洞后木块的表面积和体积【例 8】 （）如图是一个边长为 2 厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为 1/2 厘米的小洞；第-18-三个小洞的挖法与前两个相同，边长为 1/4 厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 3 水位问题【例 9】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），

27、如下图已知它的容积为 26.4 立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例 10】（）一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有 容积的水，现在向桶中投入边长为 2 厘米 2 厘米 3 厘米的长方体石块，问需要投入多21 少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？4 计数问题【例 11】 （）右图是由 22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【例 12】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体，棱长比是 1：2：3。如果用

28、这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？-19-5 三维视图的问题【例 13】现有一个棱长为 1cm 的正方体，一个长宽为 1cm 高为 2cm 的长方体，三个长宽为1cm 高为 3cm 的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：6 其他常考题型【例 14】（）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 12.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的

29、纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例 15】左下图是一个正方体，四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形 APQC 的四条边。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与圆和扇形有关的题型。参见例 1，2，3，4，52）求不规则立体图形的表面积与体积。参见例 6，7，83）水位问题。参见例 9，104）计数问题。参见例 11，125）三维视图的问题。参见例 13-20-6）其他常考题型。参见例 14，15作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，2，3，4类型 1；题 5类型 4；题 6，7类型 2；题 8类型 61、（）如下图，求

30、阴影部分的面积，其中 OABC 是正方形.2、 （）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形。3、（）如右图，将直径 AB 为 3 的半圆绕 A 逆时针旋转 60，此时 AB 到达 AC 的位置，求阴影部分的面积（取 =3）.4、 （）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB 弦约等于17 厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积。5、（）2100 个边长为 1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是 10 米，长、宽都是大于 10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？6、（）有一个正方体，边长

31、是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？7、（）如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？-21-8、（）现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？名校真题 测试卷 3 （几何篇二）时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_1 （05 年 101 中学考题）求下图中阴影部分的面积： 2 （06 年清华

32、附中考题）从一个长为 8 厘米，宽为 7 厘米，高为 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_平方厘米. 3 （06 年三帆中学考试题）有一个棱长为 1 米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为 60 个小长方体(见左下图 ).这 60 个小长方体的表面积总和是_平方米. 4 （06 年西城八中考题）右上图中每个小圆的半径是 1 厘米，阴影部分的周长是_厘米.（ 3.14）-22-5 (05 年首师附中考题)一千个体积为 1 立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为 10 厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被

33、油漆涂过的数目是多少个？第四讲 小升初专项训练 行程篇（一）一、小升初考试热点及命题方向行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。二、2012 年考点预测2012 年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查行程，命题的热点在于相遇和追及的综合题型，以及环形跑道上的二次相遇问题，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷。三、基本公式【基本公式】：路程速度时间【基本类型】相遇问题：速度和相遇时间相遇路程；追及问题：速度差追及

34、时间路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度船速水速 逆水速度船速水速静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个就可求另外 2 个）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；四、典型例题解析-23-1 典型的相遇问题【例 1】 （）甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24秒同时回到原

35、地。求甲原来的速度。提示：环形跑道的相遇问题。【例 2】 （）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？【例 3】 （）甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16

36、 千米。甲车原来每小时向多少千米？ （13 届迎春杯决赛题）2 典型的追及问题3 【例 4】 （）在 400 米的环行跑道上，A ，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？3 相遇与追及的综合题型【例 5】 （）甲、乙两车的速度分别为 52 千米时和 40 千米时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车， 1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。-24-4 多次折返的行程问题【例 6】 （）一个圆的圆周长为

37、 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是 1 秒、3 秒、5 秒、，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？ 【例 7】 （）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？6 流水行船问题关键是抓住水速对追及和相遇的

38、时间不产生影响；顺水速度船速水速 逆水速度船速水速静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个量求另外 2 个量【例 8】 （）一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求水流的速度。【例 9】 （）某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。-25-【例 10】

39、 （）江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上） ，6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【例 11】 （）一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 时，回来时顺水，比去时每时多行驶 8 千米，因此第 2 时比第 1 时多行驶 6 千米。求甲、乙两地的距离。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）典型的相遇问题。参见例 1，2，32）典型的追及问题。参见例 43）相遇与追

40、及的综合题型。参见例 54）多次折返的行程问题。参见例 65）上山下山的行程问题。参见例 76）流水行船问题。参见例 8，9，10，11作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，6，7类型 1；题 2，4，5类型 3；题 3，8类型 2； 1、 （）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分-26-钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？2、 （）在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4

41、分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？3、 （）晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走 60 米，则要迟到 5 分钟，如果每分钟走 75 米，则可提前 2 分钟到校.求晶晶到校的路程？（盈亏问题）4、 （）小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了 10 分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的 4 倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？5、 （）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10 分钟前我超过一个骑自行车的人。 ”这人继续走了 10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自

42、行车的速度是人步行速度的 3 倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 7 倍6、 （）甲、乙同时从 A， B 两地相向走来。甲每时走 5 千米，两人相遇后，乙再走 10千米到 A 地，甲再走 1.6 时到 B 地。乙每时走多少千米？4 千米。7、 （）甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，它们相遇时距 A，B 两地中心处 8 千米，已知甲车速度是乙车的 1.2 倍，求 A，B 两地的距离。8、 （）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分后乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米

43、，丙车每分钟走多少米？680 米。提示：先求长跑运动员的速度。名校真题 测试卷 4 （行程篇一）时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_1 （06 年清华附中考题）-27-大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走 1.5 小时，小轿车出发后 4 小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行 5 千米，那么出发后 3 小时就追上了大货车.问：小轿车实际上每小时行多少千米？ 2 （06 年西城实验考题）小强骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。由于途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车的 1/3，结果用了 36 分钟才到学校。小强家到学校有多少千米? 3

44、 （05 年 101 中学考题）小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前 的路程中乘车，车速是小74灵通步行速度的 10 倍其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先到家？4 （06 年三帆中学考题）客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3 小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有 30 千米已知货车的速度是客车的 ，甲、乙两城相距多少千米？435 (02 年人大附中考题)小明跑步速度是步行速度的 3 倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发 10 分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达

45、学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 第五讲 小升初专项训练 行程篇（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，在刚刚结束的 06 年小升-28-初选拔考试中，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。二、2012 年考点预测在上一章节我们已经说过，环形跑道上的二次相遇问题是今年考试的热点，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷，当然也不排除继续考察直线型的二次相遇问题，这是 06年考试题型的重点，希望同学们认真掌