1、研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System1二、模糊集合（Fuzzy Sets）现代数学可以在若干公理的基础上用集合来加以构筑，同样模糊集合为模糊理论及模糊控制提供了基础。本章的主要内容为：From Classical sets to Fuzzy sets: Basic Concepts Associated with A Fuzzy Set, Operations on Fuzzy Sets。2.1 普通集合(经典集合或清晰集合 Classical/Crisp Set)集合定义(Definition of Se
2、t):A): “能够明确区分本体与非本体的组合方式”；B):“具有某种特点的事物之全体”问题：所有非集合之全体是否集合？2.1.1 集合的表示方法：1） 直接(列举) 描述法 Xx 1,x2,x3,xn X=xx 具有某种特性xiX; i=1, ,n xX例 1: E=xx 为自然数 当 x=1.2 时, xE例 2: F=xx 为自然数且 1x10; F=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 当 x=0 时, xF 2) 图形法 文氏图 3) 定义函数法: 建立映射(map) E0,1定义函数 xxE01)(2.1.2 集合关系:整体和部分：全集 U、子集、空集 、补集； U1, 0一个
3、集合至少包含两个子集，本身和空集包含 ：以 来表示 A 包含 B，若 且 ；则 AB BAAB2.1.3 集合运算: 和二值布尔代数相同，交、并、补三种基本运算构成交运算：符号； AB AB Min( A, B)( A, B) 并运算: 符号； AB AB Max( A, B)( A, B) 补运算: 符号 c； A c A c1- A研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System22.1.4 集合运算的基本定律交换律：E(FG)=(EF)G , E(FG)= (EF)G分配律：E(FG)=(EF)EG）, E(FG
4、)= (E F) E G）吸收律：EEE ， EE E排中律：EE CU 矛盾律：EE C 双重否定律：(E C) C=E摩根定理：(E F) CE CF C, (EF) CE CF CHomework(作业)2-1：试证明上述定律(可任用定义函数、文氏图、穷举等方法) 例 3：因为 AB AB Max( A, B)；所以(EF) G (EF) GMax EF , GMax Max ( E, F), GMax E, F, GMax ( E, Max( F, G)= Max E, FG E(FG)2.2 模糊集合（FS）经典集合（CS）的扩展经典集合只能进行“是（1） ”与“非（0） ”的表达，
5、无法描述（归纳）诸如“较小的自然数” 、 “与北京和上海想当的大都市” 、 “年青人” 、 “温暖”等事物（集合）的分类概念。例 4：若 Xxx 为北京那样的城市 则：香港 X 或香港 xX 无法认定的。例 5： 集合 Rr r 为半径接近 10CM 的圆 究竟包括了那些半径的圆？例 6： 集合 SN N 为较小的自然数 处于数轴的什么地方？2.2.1 考虑到人们用这种不明确性（模糊性）的日常语言很好地表示了某种程度或相似（类似）的事物集合概念，为此定义这类集合为模糊集合（FS） ，并用下划线来区分与经典集合地差别。如 FS：A；CS： A。对应经典集合的定义函数，用从属函数（Membersh
6、ip Function） A(x)来表示事物（元素）x 对特性（集合 A）的接近/符合程度(从属度)。定义映射 A0,1。 A(x)可取 0 到 1 间的数值，越接近 1 说明 A 对x 的包含或 x 对 A 的从属程度越大；反之越接近 0 说明 A 对 x 的包含或 x 对 A的从属程度越小。2.2.2 模糊集合的表示方法1）从属函数法： A(x)分为离散和连续两种形式。例 7：设论域为：Xx x 为自然数且 1 x10=1,2,10;取其模糊子集 A为较小的自然数并令 A(0) A(1) 1； A(2)0.9； A(3)0.8； A(4)0.6； A(5)0.2； A(6) A(7) A(
7、10) 0可写成：A1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.6/4+0.2/5 (从属度为 0者省略） ；或 A A(xi)/ xi （离散表达形式） ；这里运算符号“”为逻辑意义上“求和” ； 2)()(axAex A(xi)0 1.01 1.02 0.93 0.84 0.65 0.26 0.0 10 0.0研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System3如： 0.4/4+0.6/4=0.6/4例 8： 已知 A 的从属函数其中 a 和 为常（参）数则：2）图表法：见右2.2.3 模糊集合的运算类似于经典集合，
8、模糊集合也有交、并、补三种基本运算。交运算：符号； AB AB (x) Min( A, B)( A, B) 并运算: 符号； AB AB (x) Max( A, B)( A, B) 补运算: 符号 c； A c A c1 A例 9：在例 7 的基础上，再取模糊子集 B 有一些令；B 0.3/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8则：AB(1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.6/4+0.2/5)(0.3/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8) 1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8对于连续的从属函数有：
9、2.3 FS 和 CS 的比较：1）模糊集合是经典集合的扩展，从定义函数到从属函数、从0,1到0,1当 A(x)仅取 1 和 0 两值的极限情况下，就是 CS 的定义函数。2） 当 X 为有限集合时，X 的 CS 子集数目也有限，当 X 的模糊子集通常无限多；原因在于闭区间0,1的取值为无限，即程度为无限。3） 模糊集合的元素取自对全集 U，即 xU；或根本无元素概念4） 模糊集合不满足排中律和矛盾律 例 10：因为：A c A c1 A，则 AA c AA c( A, A c)Min( A，1 A)0 （只要 A 不为 1 或 0）所以 AA c ； 于是不满足矛盾律例 11：同理：AA c
10、 AA c ( A, A c)Max( A，1 A)1（只要 A 不为 1 或 0） ；所以 AA cU； 于是不满足排中律Homework(作业)2-2：证明除了排中律和矛盾律外，模糊集合满足 CS 其他的运算基本定律2.4 函数扩展模糊变量和模糊函数模糊变量: 具有模糊属性的变量 ；模糊函数： 具有模糊变量的函数2.4.1 单变量函数扩展对于 yf(x)；若 ，则由于 x 的模糊性质导致 y 必然也是模糊的；XA可设： ；()YBf XAXA xffBx )()()(;)()( XAx)( XBAXBXA xxxxB )()()()( 研究生学位课程 Intelligent Control
11、 Theory of Electromechanical System4从映射角度看有： ；这是由于一般来讲 f 不是)()()( )(xMayyAfAfB单调函数时，相应的 y 对应多个 x，必须在其中取某个对 A 具有最大从属度来作为 yf(x)的从属度，这也为积分符号（并运算）意义所表达。例 12： 有模糊集合 A(x)x 接近 3；简单记为 A3 ；又有 y2x1已知： ; ; ；对于 B(y)有：3X2)3(3)(xeXxex2)3()(；即：2)7(412)31(22)3(12312)()( )()( yyyxxyxyAxfyAfB eeMaeaMaay; ； ；结果是：y7；B(
12、y)=y 接近于 77y21(7)47xeYyey2)7(41)(形式上有如：y2x1231617；可用普通函数的方法得到模糊变量从属度的映射变换（普通函数变量关系的扩展） ；但要注意 y 的接近程度(模糊性)发生了变化（指数上的 1/4 系数） 。2.4.2 双变量函数扩展对于双变量函数 zg(x,y)；若已知：xA；yB；并设 zC，则有：C g(A,B)zzg(x,y);且 xA；yB于是从属函数 ；即；)()()(),( yMazBgCZBayxgxz ),()()(上式表示固定 z 时取可得到此 z 值的各种(x,y)组合，并选其中某个使 中的值为最大。例 13：已知：xa ， ；y
13、b， ；若：z g(x,y)2)()(axAe 2)()(byBexy，试求 C(z)。 解：2)(412)(2)(2)(2)( )( bazbxzaxxbyaxyxzC eeeMeeM 可以证明上式右边的 当 x(z-a-b)/2 时取最大值，故有此结果。其形式上相当于 zg(x,y)xyabC；即： ZbazezC2)(41)(Homework(作业)2-3：试求出下列函数中 y 的从属函数并加以比较它们的模糊性：1）y= xa；xA， , 为不等于 0 的常数2)()(axAe2）y=x a；xA， , 为不等于 0 的常数2)()(ax研究生学位课程 Intelligent Contr
14、ol Theory of Electromechanical System5三、模糊关系和模糊逻辑3.1 Crisp Set 中的 Relationship R两事物 x 与 y 的关系写成 x Ry；如 x 与 y 是亲戚、 xy 等；函数就是关系的一例:yf(x)。注意 x Ry 不一定有 y Rx，例如 xy 时就不能有 yx。用集合（子集）来表示关系，有 R(x,y)/ x Ry ，或(x,y)R 等价于x Ry。例 14：定义 S 集合为：S(x,y)/y 和 x 是亲戚，则 S 是亲戚关系的集合；例 15：若 T(x,y)/ xy ，则 T 是大小关系的集合；即 (x,y) T 时
15、必有xy，反之 xy 时必有(x,y)T。也有用 （直积）的集合形式来表示（定义）关系 RYXRyf(x)的函数关系（集合）以 G(f) (x,y)/ yf(x),xX来定义，G(f)即是函数 f 的曲线，也是 f(x)曲线上点的集合例 16：xy 的集合是 xy 直线上方阴影区内所有的点(x,y)3.2 fuzzy Set 的 Relationship用 或(x,y)R 来描述 x 与 y 的模糊关系，即 Crisp 关系的模糊化。YXR例 17：令 AEx 和 y 大致相当 的关系；且；显然 AE 就是 yx 的2)(),(xex模糊化。又取 MGy 远大于 x的关系；且若对 yf(x)的
16、模糊化，可得 Ry 大约为 f(x)的关系， 即函数关系模糊关系当 yf(x)，且 xA 时， B(y)的从属函数可由 yf(A )关系从 A 的从属函数 xyxyyxGM0)(1),(22)()(,)( xfyfGexf研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System6求得（见 2.4 函数扩展） ；但对于 yG(f)或进一步 yGf(A)时,如何求得 y 的从属函数呢？3.3 集合的合成3.3.1 Crisp Set 合成设： ；R 和 S 的合成由符号 SR 表示，且定义此集合：ZYSXR;SR(x,z)|(x,
17、y)R;(y,z)S 为 XZ 上的关系。例 17：R 为住 X 区人和住 Y 区人的朋友关系，而 S 为在 Y 区人和住 Z 区人的朋友关系，则 SR 可理解为 X 区和 Z 区的人具有与 Y 区人的共同朋友关系。如果 ，集合 REy|xE;(x,y)R也是合成关系，只不E;过 R E 属于 Y 的子集罢了。例 18：对于函数 yf(x)，当 xx o 时；就有yof(x o)。同样可用 E=xo和 R=G(f) 的关系 来表示函数的运算过程：G(f)x oy|xx o;(x,y)G(f)y|x x o; yf(x)f(x o)。当 x 取值为E域，R 取各种 f1fn 时就可得到 RE 的
18、 Y 子集。3.3.2 Fuzzy Set 合成 在一维情况下：若 R 和 E 均为模糊形态 R 和 E；设：xA；yB，则有 BR A。二维情况下：取 XY 的 Fuzzy Relationgship 为 R；YZ 的模糊关系为 S；则定义 R 和 S 的合成由下面的从属函数确定： ),(),(),( zyxMazxSRYyS 例 19：在远大于(MG)关系中取MG(x,y) xyxyxG0)(1),(2MG(y,z) yzzyGM0)(1),(2)(10)(1),( 22zyyxazxxyGM ；可以证明当 xyyz 时 取最大xoG(f) f(x o)y oxERRoEyxARR oAy
19、 xzxzxzxGM0)(41),( 2研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System7值，且有 y(xz)/2；因此可得到： 对于 MG(x,y)；当 x0 和 y10 时， MG(0,10)0.5 而对于MG MG(x,z)，则有 MGM G (0,10)0.2。这表明 MG 只是“相对很大” ，而 MGM G 则是“相对非常大” 。在 时，BRA 的合成对应有：YXRA;。)(,()(xyaxyB例 20：设： ； ，于是得到：2)()(2xAe 2)(),(yxReyxEAR；这说明在x 约为 2和2)(41
20、2)(2)( )(),()( yxyxxRxB eMayMayy 约为 x时有y 约为 2的含意。Homework （作业）31 设: xA；对应有从属函数 A(x)，又存在函数关系 y=f(x)；令 yB 且有对应从属函数 B(y)，试用合成定义 f(A)=G(f)A 来证明：xAAxfyB xfMa)()()()( 32 证明合成运算的如下性质：1） ； )()()( 2121 RR )()()( 2121 ARA2） ；)()()( 2121 AA )()()( 2121R3.4 离散从属函数的合成运算当 X 和 Y 为有限集合 Xx 1，x 2，x n和 Yy 1，y 2，y m，且它
21、们之上的模糊集合 A 和 B 的从属函数为离散形式时，即： ；和njjxaA1时，miiybB1对应的 可表达成： ；其中 rij= R(xj,yi)。YXRminj ijijyxrR1),(于是有： mijAijRnjjmijAijRjxiB xyxxyMay ,2,11,2,1 )(),()(),()( 若省略离散从属函数的分母，可以简便地用向量来表示 A、B 为：A( a1，a 2，a n)T和 B(b 1，b 2，b m) T；同时用矩阵表示 R 为：则： mnnrrR 111 nmnmnm arrAbB 11111研究生学位课程 Intelligent Control Theory
22、of Electromechanical System8相对于普通矩阵与向量的乘积运算，只要将运算取代乘法和用运算取代加法就可以计算集合的合成运算。例 21：给定 A（0.8，0.5， 0.3，1）和得： 18.05319.04.8.06.27153.21 mbB由于模糊集合理论的不完备性，现仍处于摸索试行，各种合成算法还无法严格证明。以上介绍的算法采用了、方法，故也称为 MaxMin 合成法。也有文献采用普通乘积代替上述 Min 过程的，称为 MaxProduct 合成法。此外，还有如 SumProduct 合成法（限界合成）等算法。遗留问题：关系集合的从属函数 R 是怎样得到的？（由逻辑推
23、理来解决）3.5 模糊逻辑 Logic 和推理 Reference逻辑是一种思维的过程，逻辑学则是思维方法的科学，主要表现为总结和归纳；若以数学方法来处理时用数字表达命题的真伪。逻辑推理（思辩）过程用集合运算的法则来演算。3.5.1 普通逻辑2 值逻辑讨论命题的真伪时，用真值来表示；1 代表真，用 0 代表伪。例如太阳是恒星 、日本与中国相邻 、2 为偶数 等命题的真值都为 1，而地球是卫星 、 太阳绕地球转 、人不属于生物等命题的真值都为 0。相对于 2 值逻辑还有多值逻辑，如 3 值逻辑；可取 0、1/2 、1 为真值；1/2 代表了 0 和 1 之外的意义不明确的命题之真值。当真值取无穷
24、多如区间0，1时，实际上表达了命题真伪的程度。又以A 君是美国人 的命题为例，在 A 君是谁及美国人之定义明确的时候，该命题为 2 值逻辑；反之在 A 君是谁或美国人的定义不明确时，则成了多值逻辑。为方便起见，采用符号来表示命题：如a is P、b is not Q等。定义逻辑运算子符号：and(且) ；or(或)；(否定 not)；(蕴含 implication)；(相等 equal)）例如： P=非 P、P and Q =P 且 Q、P or Q=P 或 Q；PQ= 若 P 则 Q、 PQ=P 即 Q。附有逻辑算子的命题称为逻辑式，可由此式的结果（真值）来(推理)判断命题的真伪。命题真值以
25、P、Q的形式来表示。于是在 2 值逻辑中就有：P1P ；P and QPQ；P or QPQPQ（1P ）Q =P Q证明：当 P 为真时，一定要 Q 也为真此命题（若 P 则 Q）才成立（即逻辑式真值为 1） ；反之 P 为伪时， Q 不确定（P 真是 Q 真的必要条件，而非充分条件） 。19.04.8.06.27153.R研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System9PQ= PQQP；P or Q1P and P1（1P ）（1Q） 摩根定律Homework(作业)33：用定义证明上述等式在无限逻辑中，真值取区
26、间0，1，蕴含命题的真值变为：PQPQ （1PQ）1 上式称为限界和；式中的号为代数和。对于 PQ 的推理，有演绎法和反证法两种方法：1）演绎法：(i) P 逻辑意义：P and(PQ)Q(ii) PQ P 称为前因； Q 称为后果(iii) Q 以(i) 的 P 为前提得到(iii) 的 Q 之结论演绎法证明：要使P Q 1（可以 2 值法为例，检验此命题的逻辑式真值是否恒为 1!） ，在已知 P1 时，有 10Q，显然只有 Q 为真（Q1）时才成立，故演绎推理出PQ确实能够表达P Q 的逻辑意义。2） 反证法：(i) Q 逻辑意义： Q and(PQ)P (此命题真值恒为 1!)(ii)
27、PQ 因为：PQ(1P) Q； (iii) P 现Q0；故(1P)01 所以：必须P0反证法说明：在P Q (1P)Q的逻辑式中，只要Q0 时必须有P 0；即P 1 时不会得出Q0 的结果，于是反过来只可能得Q1 的结论。由此反证推理命题成立。多值逻辑须通过解PQ和P 给定时的Q来推理命题真伪（程度） 。3.5.2 模糊逻辑模糊命题的一般为x is A的形式；如：4 是较小的自然数、朝鲜和中国友好等。其中 x 为主语；A 为 x 的描述语（形容） 。模糊逻辑和普通逻辑的主要差别在于命题的描述语由模糊集合表示。比较x 为偶数和x 为较小的数两个命题，前者普通，后者模糊。通常普通逻辑有固定的标准或
28、判据，但模糊逻辑取决于人为主观或具体问题。数个基本模糊命题由逻辑算子连接而成复合式就是复合命题。例如:x 较小 andx 较大 x 不居中 ；它们的通式可写成x is A andx is B= x is C。C 的从属函数当由 A 和 B 的从属函数来决定。若用模糊集合运算来表示就有：研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System10x is A and x is B=x is (AB)； x is A or x is B=x is (AB)例 22：x 较大但并不非常大x 为较大(1非常大 )，其中的“较大” 、“
29、非常大”等都是模糊集合。值得注意的是两个以上的命题结合时，有实质主语和形式主语的区分，例 23：她既年青又漂亮她年青 and 她漂亮 她是(年青漂亮) ，原因在于形式上的主语为“她” ，实质上“年青”的主语是年龄；漂亮的主语是容貌。所以正确的表达应为：她年纪青 and 她容貌漂亮；或x is C and y is D(x,y) is CD CD 为集合的直积：是用 CD(x,y) C(x)D(y)来定义的 XY 的模糊集合。3.5.3 模糊推理模糊推理的主要形式为蕴含,其表达式形如 ifthen, 即:if x is A, then y is B 或 x 若为 A,则 y 为 B通过模糊关系
30、R，形成(x is A) (y is B)=(x,y) is R的复合命题。推理过程是要从 A 和 B 来得到 R，最主要的方法有：R1AB 表示直积意义 真值： R1 (x,y) A(x)B(y)R2(AB) (AY) 逻辑意义 真值： R2 (x,y) A(x)B(y)1-A(x)R3AB 多值逻辑的推广 真值： R3 (x,y)1 A(x) B(y) 1R2 意指除了(x is A) (y is B)外，还不足以说清 (x is A)时的 y 属性，然而一般这时除非有专门的说明，否则 y 属性确实可以为任意，于是就取其全集 Y，因此就有：(x is A)(y is B) or (x is
31、 A) (y is Y)(x,y) is (AB)(AY)因 Y(y)1，所以 R2(A B)( AY)对应： R2 (x,y) A(x)B(y)1-A(x)。作为普通逻辑演绎推理的扩展，有：普通逻辑： 模糊逻辑(i) A (i) A (ii) AB (ii) (iii) B (iii) B当采用合成方法 BR A 来进行运算模糊关系时，就是将 R 用（A B）来表示，即从原来的（AB）=R 扩展成（AB）= R。例 24：取论域为 Xx 1,x2,xj,xn；Yy 1,y2,yi,ym，且A(a 1/x1,a2/x2,aj/xj,an/xn)(a 1,a2,aj,an)TaB(b 1/y1,
32、b2/y2,bi/yi,bm/ym)(b 1,b2,bi,bm)Tb )(1jiij ar nnnmnT aaabaabBAR 1111)( 112 nmT ababAR111 研究生学位课程 Intelligent Control Theory of Electromechanical System11; )1()(2 jjiij aabr 1)1(3 ijij barHomework(作业)34：写出 R3 的矩阵表达式例 25：设: A(1,0.8,0.4) T ; B(0.3,1,0.7) T ,分别可求得结论：1) R1 相等同于 2 值逻辑演绎，结果 B1=B2）R 2 和 R3
33、的结果为 B2B ； B3B3）虽然 B1B ，但在 AA时, B1 未必合理，且 R2 和 R3 更符合逻辑意义，而在实践中，大多采用 R2 的形式（相对简单明了） 。在二维变量的情况下，有蕴含形式(x is A)and(y is B)(z is C)，这时的蕴含关系 RXYZ，用 R（AB）C 表示之；从而演绎得到：(i) (x is A)and(y is B) (ii) (x,y,z) is _ 这里 CRo（AB）也可以写成(iii) z is C C（RoA ）oB，这是因为：本章重点（Highlight）1) 集合之间可用关系（也是集合）来描述，模糊关系为清晰关系的推广2) 由合成运算可从一个模糊集合的从属函数得出另一模糊集合的从属函数3）模糊逻辑和普通逻辑的主要差别在于命题的描述语由模糊集合表示。4）普通逻辑命题推理的扩展成为模糊推理4.0708133.R 6.07081.32R4.0708133.R 19.07.1.5.3.3R4.070813.RTAR7.03. 4.8170.8.1303.B1 TA7.014. .167.B2TA8.015. .19753.B)(),(),( )()(),()(,)( , BARyxzyxMa yxzyxMaxyxzMaBARBARyx BARyRx
