1、第三章 函数极限一、填空题1若 ，则 _2)(lnim0xfx 20)(limxf2 _exx340sin1li3设 ，则 _xf1)( )1(lixf4已知 ， ， _2,0,)(xf )(xeg)(lim0xgf5 =_xlncosartlim6 _t)(isn07 _24alix8 ln1lim20xx9 =_)l(i2cos0ex10 _xxcs1inli211 _xtalim2012 ，则 =_310)(1liexfx20)(1limxfx13 _)1ln(cosi3lm20xx二、选择填空1 ( )ttcoslim0A.0 B.1 C. D.不存在22函数 ，在 点的任何邻域内都是
2、( )xf1cs)(0A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减3已知 ，则必有( )25lim2yaxA. B. C. D.0,b5b0,2ba2,1ba4设 ，则 ( )nnxxf2li)1( fA. B. C. D.ee1xexe5若 ，则必有( )2lim2xbaxA. B. C. D. 8,5, 8,0ba8,2ba6 ，则 ( )0)(sinl30xfx 206limxfA. 0 B.6 C.36 D.7设对任意 点有 ，且 ，则 ( )()(gp0)(lixgx)limxfA.存在且一定为 0 B.存在且一定不为 0 C.一定不存在 D.不一定存在8当 时，变量 是( )xx1s
3、in2A.无穷小 B.无穷大 C.有界，但不是无穷小 D.无界的，但不是无穷大9 ( )21sin)(1limnA. B. C.1 D.ee 2e10. ( )xxtan)(rc1li20A.0 B.1 C. D.212111. ,则当 时， 是 的( )xgdtxf sin)(,an)(si02 0)(xfgA.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1) ； (2) ；)xcos(in2lm2x 1x2lim0x(3) ； (4) ；1li21x 320x)()(li(5) ，(n，m 为自然数) ；lin1x(6) ;23li4x(7)
4、 ；)0a(,ali0x(8) ； (9) ；coslim4xsinlm2(10) .)1x5(863li907x2设 ，mn，试求,0a,bxbaa)(f n11n0 mm ).x(fli3求下列极限(其中 n 为自然数 )：(1) ； (2) ；20x1li20xli(3) ；nlim1x(4) ;lin0x(5) ; (6) .x1lim0x1li4求下列函数在 处的左右极限或极限。(1) ；(2) ；x)(fx)(f(3) .0,1,2)(f5求下列极限：(1) ; (2) ;x2sinlm0230x)(sinl(3) ； (4) ；2colixtgl0x(5) ; (6) ;30xs
5、intgliarctli0x(7) ; (8) ；1ilmxasinli22ax(9) ; (10)14sinl0xcos1lim20x6求下列极限：(1) ; (2) ；(n 为整数)xx)2(limx10xn(li(3) ； (4) ；ctgx0x)1(lix10x)(lim(5) ; (6) ；(k、m 为整数 )1x2x3lixkli7利用归结原则计算下列极限：(1) ； (2)n2n)(li.nsilin8运用定理 3.13 求下列极限：(1) ； (2) .xcos1artglimxxcos1lim20x9试确定 的值，使下列函数与 ，当 时是同阶无穷小量：a(1)sin2x-2s
6、inx； (2) ；x1(3) ；(4) .xsin1tg532410试确定 的值，使下列函数与 当 时是同阶无穷大量：aa(1) ； (2) ；52x)xsin2(3) .)x1()(1n211试问：当 时，下列等式哪些成立，哪些不成立？0(1) ； (2) ；)(ox2)x(o2(3) ； (4) ；32(5) ； (6)x(o2).1(oxcs四、证明题1证明： ).(lim)(li00hxffhx2证明 的充分必要条件是A0.A)x(fli)(fli00x3证明： ).1(fli)x(fli04证明：对黎曼函数 R( )有 (当 ).1,Rlim0x00时 考 虑 单 侧 极 限或 1
7、5证明 若极限 与 都存在，则 ， 在 时极限也存在，(fli0x)(g0 gf0x且(i) ；)x(li)(fli)(gflim000 xx (ii) ；gm000 x(iii)若 ，则 在 时极限存在，且有)x(gli0f.)(li)(flim00xx6设 ，证明：若 ，0)x(fA)x(flim0则 .linnx07证明： 又问是否也有 ？)(fli)(f30x )x(flim)(fli200x8叙述 类型的函数极限的归结原则，并用它证明( 局部有界性定理)：若)flimx存在，则存在 ，使得 在 上有界(li )u)x(fu9设 为定义在a，+ ) 上的递增函数，证明 存在的充要条件是
8、 在a，+)上f )(flimxf有上界。10.(1)叙述 存在的柯西准则；)x(flim(2)正面陈述极限 不存在的概念；并用它证明 不存在。lix xsinlx11证明：若 为周期函数且 ，则 .f0)x(fli)(f12设 为狄利克雷函数， ，证明： 不存在。)(D1,0Dlim0x13证明 设函数 在点 的某个右领域 有定义，则极限 的充要f )(u0 A)x(fli0条件是对任何以 为极限且含于 的递减数列 有0x)x(0nA)(flimn14证明： .12cos2cosxli nn0x 15证明下列各题：(1) ；)0(),2(2) x,osinx23(3) ；)()1(4) ，(
9、 ，n 为自然数)1(n0(5) ，)x(o2x33 (6) ,(g)(g)x0(7) ，)x(g(o)xg()(02121 )016证明(i) 若 为 时的无穷小量，且在 内 不等于零，则 为f0 )x(u0ff1时的无穷大量。0x(ii)若 为 时的无穷大量，则 是 时的无穷小量。g0xg10x17证明：若 s 为无上界数集，则存在一个递增数列 ，使得 .sn)n(,xn18证明：若 为 时的无穷大量，而在 上 ，则 为 时frx)r(u0kgfr的无穷大量。五、考研复习题1.求下列极限：(1) ; (2) ；)x(lim3x11x)(lim(3) ，(n 、m 为自然数) ；n1(4)
10、；b(a)b(alix(5) ； (6) ；2xlim2xli(7) ；(8) .330xx1licos1)3in(lm22.分别求出满足下述条件的常数 与 ：ab(1) ;0)1x(lim2(2) ;baxli2(3) .0)(x.a1lim23.试举出符合下列条件的 ：)x(f(1) ； (2) 不存在；2)x(fli2lim2(3) .)2(fxlim4.试举一个函数，使 恒成立，但在某一点 处 ，这同极限的局部00x0flim2保号性有矛盾吗？5设 ，能否由此推出 ？Bxgli,AxfliaBfgliax6设 f（x）=xcosx，试作数列（1） ；0f,nnn时使 当（2） ；yy时
11、使 当（3） .zf,znnn 时使 当7证明：若数列 满足下列条件之一，则它是无穷大数列：a（1） ；1rxlimn（2） .2,1n0aSalin 8设 ，证明：nli（1） ；nalim21n（2）若 ，则,0ann21li9求下列极限：（1） ； （2） ；n!limn!lim（3） ； （4） 。2n1li2n1li10设 f 为 内递增函数，证明：若存在数列 且 ，,xU0 ,xU0n nx0使的 ，则 且 。Alimn,xU,f0Af011设 f 为定义在 上的函数，且在每一有限区间（a，b）内有限并满足,，证明；x1lix.Axflimx12设函数 f 在 上满足方程 且 ，证明：,0xf2Aflim。,Af13设函数 f 在 上满足方程 且 ，f2 1fxlifli0x
