《度规的意义》第5稿new.doc

1、度规的意义第 5 稿王小舟齐齐哈尔广播电视大学 黑龙江齐齐哈尔 （161005）E-mail : 摘 要：本文以数轴为工具定义了度规和度规积分的概念，同时证明了在一定条件下度规积分与黎曼积分等价。度规微积分的理论是重新严格定义了的“十七世纪的微积分” ，它解决了困扰了莱布尼兹一生的“无穷小量”问题莱布尼兹猜想。微分和积分运算是除法和乘法运算的拓展，微积分是人类历史上继掌握了数数、加减法、乘除法之后的第四次关于度量的里程碑式的重大进步。在人类的教育中，微积分作为关于度量的运算应当与四则运算一样被普及。将来，微积分会下放到中学去讲授，度规微积分会因为它的直观和简洁而成为教材中定义的主流形式。关键词

2、：度规；微积分；度规积分；无穷小量；莱布尼兹猜想；柯西方案；宇宙大爆炸中图分类号：o172； 文献标识码：A1. 引言一个理论的完美，重要的要素是对理论解释的简洁。我认为目前的微积分理论很美，但是还不够完美。在现代数学分析教科书中，定积分的几何解释是曲边梯形的面积，导数是切线的斜率，如果把求定积分的运算称为积分运算，把求导数的运算称为微分运算，这个解释看不出求积分和求微分作为互逆运算有什么明显的联系。微积分的理论在人类认知大自然过程中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论不可能把人送上月球，也不可能把探测器送上火星。微积分的理论在数学结构中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论许多数学分支将失去基

3、础。一个事物可以从多个角度去观察和研究，本文将从不同于现代数学分析教科书的另一个角度去定义微分和定积分，在给出微积分理论简洁解释的同时也完成了莱布尼兹(Leibniz)终身都在思考的“无穷小量”问题（莱布尼兹猜想） 。2. 实数轴我们承认实数轴的存在，并认为实数轴是对直线度量的结果。实数轴上的点与实数是一一对应的。在一条直线上定义了原点、度量方向和单位长度以后，由欧几里得几何的尺规概念可以确定实数轴上所有的有理点，由实数理论则可以定义实数轴上的所有无理点。1p8283p84916p1124在一条直线上定义了不同的原点、度量方向和单位长度会定义出不同的实数轴。所有的实数轴组成一个集合 QR。QR

4、 中的实数轴 y 简称为数轴 y 或 y 轴。定义 1：把一个已知数轴上的点所对应的实数称为这个点在这个数轴上的名称。实数是实数集合的一个元素也表示数轴上的一个点，一个连续的实数的集合也表示数轴上连续的点的集合。数轴上连续的点的集合是一个有方向的直线、射线或线段。以后我们可以用实数集合的区间符号表示数轴上点的集合。定义 2：y 轴上的点的集合 称为 y 轴上的一个向量，记做 。上面向量符号可以表示点的集合也可以表示向量的大小和方向。为了节约篇幅和便于读者理解，暂时不讨论负向量。3. 度规 度规微分 度规积分 度规导数 变度规实数轴定义 3：度量 y 轴时所用的单位长度和方向称为 y 轴的度规，

5、记做 Dy。于是 。在度量 y 轴时 Dy 不变，称 Dy 为常度规，y 轴为常度规数轴。对 y 轴的度量可以表述为 。在 y 轴上可以推出(1) (常度规实数轴的积分公式 )于是有(2) (常度规实数轴的微分公式 )公式（1）和公式（2）揭示了实数轴上度规和向量关系的本质。公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。公式(1)称为常度规实数轴的积分公式。公式（2）是已知向量求度规的问题，我们称作常度规实数轴的微分问题。公式(2)称为常度规实数轴的微分公式。我们把积分公式和微分公式合在一起统称为微积分基本公式。积分公式（1）是一个乘法运算，微分公式（2）是一个除法运算。下

6、面有两个例子。例 1：已知 y 轴上 Dy1cm 则 （53）1cm2cm例 2：已知 2 光年 则 Dz2 光年/(3.0013) 2000 光年数轴上一个很小的向量就可以求出度规，或者说知道一个点 a 与邻近点的向量就可以求出度规，这被称为度规的微分性质。用数学语言描述就是：对任意的 0 有(2) ( 常度规实数轴的微分公式)定义 4：有无穷个度规供我们选择，我们选定其中的一个称为单位度规，它的向量定义为1。记做 Dx，即 Dx=1。由单位度规确定的数轴我们称为单位数轴或 x 轴。在欧几里得几何学上通常用英文字母为点命名，同时认为点是没有大小和方向的，这样的点我们称为欧几里得点或欧氏点。数

7、轴上的点我们称为数轴点。由于数轴点生成的特殊性，数轴点又与欧氏点有不同的性质。数轴点是由度规度量直线生成的，因此，度规也决定了数轴点的性质。我们认为数轴点是有大小和方向的。给定数轴上一点 a，对任意一点 b 由度规方向就能知道它在 a 点的哪一侧，这个性质称作数轴点的方向。给定点的集合 ，在不同的数轴上 线段占有空间的情况也不同，度规长数轴上的线段也长，这个性质称作数轴点的大小。定义 5：把 y 轴上的点和点的性质（大小和方向）称为 y 轴上点的度规微分，记做 dy，并且 ，dx1。定义 6：用符号 表示 ，称为 y 轴上 a 到 b 的度规定积分，于是（1）(常度规实数轴的积分公式 )定义

8、7：称 为度规导数,记做 。于是 。就有 （3） （4）下面我们用到的函数 f(x) x(-,+)单调增加、处处可导并且导函数连续。定义 8：将 x 轴上 f(x)点的名称改称为 x，就得到一个新的实数轴，称作 f(x)轴。这一类的实数轴称为变度规数轴。于是 。定理 1：在 轴上 证明： 在常度规数轴上引入的度规微分和度规定积分的概念和符号也可以延伸到变度规数轴，f(x)轴上 a 点到 b 点的度规定积分记做 ，于是 （1” ）类似公式（2）可以定义变度规数轴 f(x)上点度规的概念。定义 9：在变度规数轴 上，x 点的度规 （2” ）我们依然把公式（1” ）和（2” ）合在一起统称为微积分基

9、本公式。其中公式（1” ）称为变度规实数轴的积分公式，公式（2” ）称为变度规实数轴的微分公式。定理 2 ： (3） （变度规实数轴的微分公式）证明： 是数学分析中函数 f(x)在 x 点的右导数，f(x) 处处可导，于是 时，由公式（3）和公式（3）可知 ，度规导数与导数等价，以后可以把度规导数称作导数。由公式（4）可知在变度规数轴 f(x)上，x 点的度规微分 （4） （变度规实数轴的微分公式）公式（3）是公式（2” ）的一个等价形式，因此我们把公式(3）称为变度规实数轴的微分公式。在后面的讨论中将介绍我们的一个观点，微分 dy 是度量 y 轴时刻的度规 Dy，因此我们把公式(4）称为变度

10、规实数轴的微分公式。公式（1” ）和（4）合在一起是微积分基本公式。如果写出 ， 应当理解作 的任意一个原函数。定理 3：如果 是 的任意一个原函数,则 (5)（微积分基本公式） （度规微积分的牛顿 莱布尼兹公式）证明： 公式（5）是公式（1” ）和公式（4）的统一表达形式。我们称公式（5）为微积分基本公式，或称公式（5）为度规微积分的牛顿莱布尼兹公式。我们称定理 3 为微积分基本定理。4. 度规积分与黎曼积分的等价性定义 10：称函数 f(x)c (c 为常数)为函数 f(x)的位移函数,称f(x)c轴为 f(x)轴的位移数轴。由数学分析的理论知道，位移函数具有很好的性质，他们有共同的导数，

11、同样的，一个函数的原函数互为位移函数。位移数轴同样有很好的性质。定理 4：位移数轴的同名向量相等,即 证明： 现代数学分析教科书中，黎曼积分7p252（其它如 Lebesgue 积分和 Stieltjes 积分）的定义是用一个和式的极限完成的，而度规积分是用数轴定义的，两者使用的工具和定义方式完全不同。那么度规积分与黎曼积分是什么关系呢？我们是用变度规数轴 上一个向量定义度规积分 的，由定理 4 知 我们可以把 看作度规积分的另一个等价定义。按照上面关于 的约定， 是连续的，因此 的黎曼积分 存在。而且黎曼积分的牛莱公式 与公式（6）的结果完全一致。在上面关于 的约定条件下两个积分是等价的。以

12、后我们也可以把度规积分称为积分，也可以把度规积分符号前面的（D）去掉。注意到在定义黎曼积分时用的是闭区间，度规积分用的是半开半闭区间。只要在相关的点补充定义，不影响结论的正确性。5. 微积分在变度规直角坐标系下的几何解释定义 11：平面上两个正交的变度规数轴构成了一个坐标系，称为变度规直角坐标系。其中一个变度规数轴称为横轴，另一个称为纵轴。平面上的任意一点可以表示为数组（a，b） ，称数组为坐标。其中 a 为这一点在横轴上投影的名称，b 为这一点在纵轴上投影的名称。平面上的点与坐标是一一对应的。满足（x，x）的点构成了一条曲线，称为同名曲线。当横轴为 x 轴，纵轴为 f(x)轴时：同名曲线上（

13、 x，x）点的切线斜率是 ，f(x)轴上 x 点的微分 ，x 点的度规 。对于 x 轴的向量 有 f(x)轴的向量 与之对应。如果把 x 轴看作时间，把 f(x)轴看作物体运动的位移过程， 就是速度。当时间由 x 轴的时刻 a 流逝到时刻 b，物体就由 f(x)轴上的 a 点按速度 移动到 b 点，移动的向量是 f(b)f(a) 。这个解释告诉我们这样一个事实，在 f(x)轴上包含了更多的信息：点的名称是时间（自变量） 、函数值的变化是位移（定积分） 、点的度规是速度（导数） 。图中的 n 是整数 n+7 (b,b) n+6 bn+5 xn+4n+3 an+2 （a,a）n+1 a bn n

14、n+1 n+2 n+3 n+4 x n+5 n+6 n+7图 1 微积分在变度规直角坐标系下的几何解释6. 莱布尼兹猜想很久远的从前，人们就开始了对微积分的探讨。中国古代三国时期魏人刘徽的割圆术是人类关于微积分思想的早期萌芽。他用计算圆内接正多边形的面积的方法得到圆周率 3.1416。11p5713p33不可分素方法（不可分法）或称“原子论”方法是人类关于微积分的思想火花，它可以回溯到遥远的古代公元前三世纪的亚几默德的时代。亚几默德在亚几默德致依拉托斯芬书中含有了由线组成平面图形、由平面组成立体的思想。8p443444十七世纪常被数学史家称为英雄世纪。3p160 这个时期微积分得到极大的发展。

15、牛顿(Newton)和莱布尼兹做了微积分理论的最重要的工作，这就是被称作微积分基本定理的牛顿莱布尼兹公式。此前人们把微分和积分分别作为独立的问题研究，而牛顿莱布尼兹公式揭示了微分运算和积分运算之间的互逆关系。人们把这件事情作为微积分创建的标志。微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。位于他们全部贡献的顶峰是 Newton 和 Leibniz 的成就。10p51十七世纪微积分的基础并不牢固，它的基础建立在一个叫做“无穷小量”的概念之上。不妨摘录一些数学家的有关十七世纪的“无穷小量”的论述。函数的微分在历史上乃起源于“不可分量”概念。这一个由现代观点看来远远不够清晰

16、的概念在那时（在十七世纪）正是数学分析的基础。关于这一概念的说法在几世纪中已经发生了实质上的变化。不可分量，以及后来函数的微分，都曾经被当作真实无穷小量不知道怎样的好像是极微小的常量而同时并不是零。14p136微分和积分的理论被称为无穷小演算，它的意思就是对于无穷小量进行计算。它由十七世纪开始发展，近代数学就是在那时诞生的。在一段时期里，希腊人的严格证明已被舍弃，这促进了直观推断的思想方式。数学家大胆地开辟新的道路，大大超过了前人作过的所有工作。3p160在希腊人那里，哲学和逻辑方面以及数学的严格性占统治地位，几乎没有为直观推断论证留下余地。在原始思想和精雕细刻的加工润色的证明之间，存在着很大

17、的距离，这对于富有独创性的数学家必定起着妨碍他们发展的作用。十七世纪的进步，在很大程度上由于对数学的严格性的忽略而有利于直观推断思想的发展。?他们讨论“无穷小量”和“无穷小量的和” 。3p165用无数个同维的无穷小元素之和来确定曲边形面积和体积，是 Kepler 方法的精华。把圆看作是无数个三角形的和，在他的思想中是用连续性原则证明的。他看到两种图像本质上没有区别。由同样的理由，一条直线和一个无穷小面积实际上是一样的，而且，在一些问题中，他的确认为面积就是直线的和。10p56Bonaventura Cavalieri(1598-1647)是 Galileo 的学生，波罗葛那(Bologna)

18、学府的教授。他在Kepler 和 Galileo 的影响下，并在后者的督促下，考查了微积分问题。Cavalieri 把 Galileo和其他人在不可分法方面的思想发展成几何方法，并出版了这方面的著作用新的方法推进连续体的不可分量的几何学 。他认为面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面面积构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量。Cavalieri 承认组成面积或体积的不可分量的数目一定是无穷大的，?Cavalieri 在他的六道几何练习题中指出，不可分法认为线是由点构成的，就象链是由珠子穿成的一样；面是由直线构成的，就像布是由线织成的一样；立体是由平面构成的，就像书是由

19、页组成的一样。不过它们是对于无穷多个组成部分来说的。10p57Cavalieri 的不可分法遭到了同时代人的批评。他企图回答他们，但没有严密的理由。有些时候他宣称他的方法只是一个避免穷竭法的实用方法。尽管方法受到批评，但许多数学家还是广泛地利用了它。另外，象 Fermat，Pascal 和 Roberval 都用了这个方法甚至用了“纵坐标的和”那样的语言，但是它们把面积想成是无数无穷小长方形的和，而不是线的和。10p58Newtou 对微积分的探讨，用了可以说是无穷小的方法。瞬是无限小的量，不可分的量，或者是微元。当然 Newtou 这样做在逻辑上是不清楚的。在这本书（ 分析学 ）中他说他的方

20、法“与其说是精确的证明，不如说是简短的说明。 ” 10p71由于莱布尼兹使用的微积分的符号一直沿用至今，有必要详细叙述莱布尼兹的微积分和莱布尼兹的“无穷小量” 。莱布尼兹以完全正确的方法试图从函数的差商出发来“解释”导数。函数 yf(x)的差商是。它的极限我们称之为导数 （沿用后来拉格朗日引用的符号） ，而莱布尼兹的写法是，用“微分符号” 代替了差的符号 。只要我们把这符号理解为只是指 导致 的极限过程，那就不存在什么困难也没有什么玄妙了。在取极限以前，商 的分母 已被消去或已变成使极限过程能顺利完成的形式。这一点是微分的实际过程中的关键所在。我们如果试图不预先作这样这样的简化而取极限的话，得

21、到的将是毫无意义的关系式 = ，而对此我们是根本不感兴趣的。只有当我们如同莱布尼兹及其许多后继者一样说出如下的话来时，才会引起神秘感和混乱： “ 没有达到零， 的最终值不是零而是一个无穷小量 ，即被称为微分的 ；并且类似地 也有最终无穷小值 。然而这两个无穷小微分的真正的商又是一个普通的数， = ”。莱布尼兹相应地称导数为 “微商” 。这样的无穷小量被看作是新型的数，它不是零，然而小于实数系中的任意正数。?同样的，积分被看成无穷多个“无穷小量” 的和，这个和，人们仿佛觉得就是积分或面积，而它的数值的计算，即有限个普通的数的和的极限，多少像是附加上去的。今天，我们已经放弃了“直接”解释的愿望，而

22、把积分定义为有限和的极限。通过这样的途径，我们就克服了困难，并使微积分得以建立在坚实的基础上。1p564尽管如此，莱布尼兹的记法，即用 表示 ，用表示积分，仍然被保留下来了，并且证明是非常有用的。如果我们把符号 看作只是取极限的记号，它并没有什么害处。?由于这种记号富有启发性，它历来诱使人们赋予这些符号以非数学的意义。?事实上，莱布尼兹的记号在较高等的微积分理论中几乎是不可缺少的。1p566十七世纪的“无穷小量”曾经被众多数学家使用过，虽然十七世纪的“无穷小量”在逻辑上是不清楚的，可是十七世纪的“无穷小量”在微积分的创建过程中起过关键的作用，十七世纪的“无穷小量”是那个时期微积分的基础。莱布尼

23、兹在使用无穷小量的同时也意识到无穷小量的逻辑问题并希望解决这个问题。“实有”无穷小不但成为微分学的基础，同样也成了积分学的基础。对于微分学莱卜尼兹还试图将无穷小差代之以与其成比例的有限数量；和无穷小（“不可表明的” ）特征三角形一道他同时也考虑了与它相似的（“可表明的” ）有限三角形。但推导其公式时他仍不能避开无穷小及利用忽略高阶无穷小原理。8p466在答复对新计算法的批评攻击中，莱卜尼兹提出以“无比小”数量代替“无穷小”数量，微尘对地球而言或地球对天空而言就是这样的量。此外，莱卜尼兹在他的其他发言里曾强调说，他完全没有把无穷小量理解为“事实上很小的而总是确定的常数” ；这种量应该只是充分地小

24、而使误差小于任何指定的数。在此，如果乐意的话，可以看出接近于“潜在”无穷小观点的暗示。8p466莱卜尼兹甚至认为这情形的可能出路是：把无穷小看作“虚构的”或“理想的”概念，只用来以便于发现并简化论证，就好象寻常解析中的虚根一样。最后，他还拟定了一类观念，试图以此来论证他的推论的合法性这就是他的“连续性原理” ，与极限过程有些联系。但莱卜尼兹想给自己的计算法找到根据的一切尝试，似乎对他自己也不是完全有说服力的。莱卜尼兹在一种手稿里曾提出这样的问题：无穷小是不是真的存在？它们有没有严格的根据？莱卜尼兹声称：“我想这可能仍是疑问” 。8p466在这方面莱卜尼兹经历到很严重的困难并且终身未停止寻求其计

25、算法的根据的途径。8p466有一种颇不正确的习惯说法，说莱布尼兹相信实在无限小量。其实，莱布尼兹自己在临终前两个月左右写的一封信中，曾强调说他“根本不相信真有什么无限大或无限小的量” 。19p232不妨把莱布尼兹终身都在思考的十七世纪的“无穷小量”问题称为莱布尼兹猜想。莱布尼兹去世后的许多年里，人们一直没有找到无穷小量的合乎逻辑的解释。有学者提出“数学历史上三次危机”的说法，其中第二次危机就是十七世纪的“无穷小量”作为微积分基础的问题，也就是我们这里提出的莱布尼兹猜想。为了解决这个危机，人们最终采用了柯西(Cauchy)的方案：这就是现代数学分析教科书中的把微积分的基础建立在极限的概念之上。在

26、柯西方案中，把无穷小量定义为是一个以 0 为极限的变量（定义见文献12p55） ，把定积分定义作一个和式的极限（现代数学分析教科书中的黎曼积分） 。现代数学分析教科书中的无穷小量和定积分已经不是莱布尼兹的无穷小量和定积分了。柯西方案解决了“第二次数学危机” ，它给微积分建立了坚实的基础，但是没有解决而是绕开了“莱布尼兹猜想” 。特别需要说明的是，就像莱布尼兹猜想不是莱布尼兹一个人在思考一样，柯西方案的工作也不是柯西一个人做的。R.柯朗和 H.罗宾在数学名著数学是什么中有过一段叙述：.牛顿和莱布尼兹已经懂得如何把积分和导数作为极限来求。但是由于不愿意承认只有极限概念才是这个新方法的根源，致使微积

27、分的真正基础长期被弄得含糊不清。如今极限概念已搞得十分清楚，我们现在看来当然很简单，然而不论是牛顿还是莱布尼兹都未能有如此明确的认识。他们的方法支配了一百多年的数学发展，在此期间，问题被“无穷小量” “微分” “最终比”等等说法掩盖着。这些概念的最终放弃是很勉强的，因为它们在当时的哲学观点以及人们天性中是根深蒂固的。1p564微积分是一点点进步过来的，没有无穷小量的直观，不会有十七世纪的微积分，当然也不会知道我们现在的微积分会是什么样子。虽然人们在教科书中抛弃了莱布尼兹的无穷小量，可是至今仍然有数学家们在思考无穷小量问题。45 上个世纪 60 年代鲁滨逊（Abraham Robinson）提出

28、非标准分析理论。17 它是把实数集合扩大，把无穷小纳入其中，使之成为新的超实数集合。这里鲁滨逊用了数理逻辑的方法。这是一次试图把无穷小量回归微积分理论的尝试。鲁滨逊的无穷小是柯西方案意义下的无穷小量，而不是莱布尼兹的无穷小量。M?克莱因在数学：确定性的丧失 20 的第六章、第八章、第十二章中对莱布尼兹猜想、柯西方案、非标准分析都有论述。现代的数学分析理论中，微分概念并不是必需的。这是因为：导数概念先于微分并且独立于微分定义，定积分运算的牛顿莱布尼兹公式中的原函数概念也仅与导数有关。莱布尼兹的微积分记号极富想象力，有人称莱布尼兹为符号大师，莱布尼兹使用的微积分的记号一直沿用至今。为了使用莱布尼兹

29、的微分的记号就必须去重新定义微分的概念（现代数学分析教科书中的微分定义见文献7p10213p178） 。度规微分是借助度规概念定义的，度规微分是度规微积分理论本身必需被定义的概念。度规微分表示数轴上的点和点的性质。它是一个量，可以被度量，我们称之为无穷小量。定义 11：把 y 轴上点的度规微分 dy 称为 y 轴上的无穷小量（或称关于 y 轴的无穷小量） 。有必要向读者介绍度规意义下的无穷小量的几个观点：1.实数可以看作是特殊的量，1 就是实数的度规。2.直线先于数轴存在。在直线上取定一个线段作为单位长度，单位长度加上度量方向我们称为度规。度量 y 轴的度规我们记做 Dy。此时度规 Dy 是直

30、线上的一个有方向的线段。3.用度规 Dy 度量 y 轴时 DyDy/1。等号左边表示这个时候的度规，等号右边的分子表示开始进行度量前的度规，等号右边的分母 1 是实数的度规。如果把实数看作量，等号左边的度规 Dy 与等号右边的度规 Dy 就不是同一性质的量。这样，我们的度规概念可以表示两个不同性质的量。这样的定义不会引起我们的困难，数学上类似的事情还有，例如，导数也可以表示导函数。4.数轴存在之后，度规决定了数轴点的性质（大小和方向） ，我们将 y 轴上的点和点的性质定义为微分 dy， （dx1 Dx1） 。令 dyDy/1，微分 dy 就是度量数轴时刻的度规Dy。5.我们把实数看作量，微分

31、dy 与作为 y 轴上向量的度规 Dy 不是同一性质的量。dy 用 Dy度量是 0，dy 用 dx 度量是一个实数，我们称 dy 是 y 轴上的无穷小量，或称 dy 是关于 y 轴的无穷小量。同样的，f(x)轴上 x 点的微分 df(x)是 f(x)轴上的无穷小量。于是，我们完成了无穷小量的新的符合逻辑的定义，度规积分是一个无穷小量的集合。在莱布尼兹看来，微分 dx 是一个无穷小量，而积分则是无穷多个无穷小量 f(x)dx 的和。这个重新定义了的无穷小量正是莱布尼兹孜孜以求的。公式（4）与现代数学分析教科书中定义的微分7p10213p178 有共同的表达形式 两个微分在哲学意义上是等价的。以后

32、可以把度规微分称为微分。微积分是许许多多代人智慧的结晶，人类为此付出重大的代价，包括数千年的时间和众多数学家们艰苦卓绝的努力。我们可以列出很长很长一串为微积分作出过贡献的数学家们的名单。7. 关于度量的哲学思考1. 关于度规的哲学思考度规的概念是由实数轴引入的，实数轴是由对直线度量得到的，度规就是对直线度量的“规” 。不同的物理量可以理解作 QR 中的不同的实数轴。对物理量的度量等价于对实数轴的度量。度规是基于度量的概念，就像度量不是纯数学问题一样，度规也不是纯数学概念，度规也可以是对其它物理量度量的“规” 。确定一个物理量大小和方向的过程我们称为度量。这是一个由已知量通过函数关系找到未知量的

33、过程。这个函数关系我们称为度量函数。在人类以往的度量概念中，度规是必须存在的，也就是度量函数必须可导。度量过程有两个要素，一个是已知量（包括实数） ，一个是度量函数。在数学的研究中，实数对实数进行度量。一种情况是通过已知的度量函数由已知量求未知量，量的性质由定义域和值域决定。这种情况导数就是度规。求导数是微分问题。另一种情况是由已知量和已知导数找到度量函数从而求出未知量。这是积分问题。微分和积分是度量过程中的互逆问题。在物理学的研究中，物理量对物理量进行度量。如果用时间去度量路程，速度就是度规。用电流去度量电压，电阻就是度规（负电阻是存在的，例如放大电路里的电子管和晶体管） 。如果用实数去度量

34、物理量，量纲就是度规（实数是特殊的量） 。这个观念给定积分运算带来了好处，只要分清楚那个量是已知量，那个量是度规，就可以通过积分运算来求未知量。在经济学的研究中，价格也是一种量，价格是用商品的一个性质（例如重量）去度量货币（例如美元）的度规。在人类的实践过程中可以定义广义的度量概念，由已知量通过函数关系找到未知量的过程中不要求函数可导，此时度规可能不存在。为了区别这两种情况，我们把度规存在的度量称为度量或度规度量，而度规不存在的度量则必须在度量的前边加上度量的性质例如概率度量以示区别。人们应当注意这两种不同性质的度量。度量是人类认知大自然的过程中重要的和基础的概念，在使用量和度量的概念时，人们

35、应当注意度规的存在，否则可能引起逻辑上的错误。数学史上的一个故事或许会对我们有所启发，那就是人们曾经不注意级数的收敛而随意使用过级数。2p192p32我们现在用的时间量是一个度规度量的概念。时间是描述事物发展过程先后顺序的量，我们用一个可以观察到的事件来定义时间的度规。我们用的事件是，地球的自转或公转、原子的震动。按照宇宙大爆炸的理论：大爆炸后的 1 秒钟，温度降低到约为 100 亿度，这大约是太阳中心温度的 1 千倍，亦即氢弹爆炸达到的温度。此刻宇宙主要包含光子、电子和中微子（极轻的粒子，它只受弱力和引力的作用）和它们的反粒子，还有一些质子和中子。9在宇宙大爆炸的理论中，宇宙大爆炸的初始我们

36、现在定义的时间秒的度规并不存在。如果要定量描述时间而又不出现逻辑上的错误，那么，那个时刻时间量的度规应当由光子、电子、中微子、质子、中子的一个性质或其它的那个时刻存在的事件来定义。我们无意于对宇宙大爆炸理论本身进行评价，我们举的这个例子仅仅是要说明：人们现在对什么是量和度量还没有认真地去进行研究。度规是人类认知大自然过程中的重要和基础的概念，这一点与集合的概念是十分相似的。2. 关于微积分的哲学思考人们常说导数（微分运算）是一个差商的极限，把差提高到了与商平等的位置，这样就掩盖了微分运算的本质。为了说清楚我的观点，有必要重新回顾一下本文中的定理 4。定理4 是为了证明度规积分的另一个等价形式而

37、推出的。它的表达和证明极为简单，但却阐述了一个深刻的道理：一个量的变化过程与度量起始点无关。举个实际的例子，一列火车从南京到上海的运动情况（速度、路程）与火车是从北京还是从济南始发无关。x 轴上 a 点到 b 点的向量也是一个与度量的起始点（原点）无关的量，它的大小是 ba。这个 ba虽然是一个差，但是它表达的是一个量，差只是为了解决度量起始点而作的一个处理，如果 a 点是度量的起始点（a 0） ，这个差就消失了。这样我们就明白了，微分运算中的差表示的是一个量，而商是两个量的除法运算。微分运算的本质是商的极限。在常度规数轴上，微分运算是一个除法运算，在变度规数轴上微分运算是除法运算的极限。除法

38、运算是微分运算的特例。反过来说就是微分运算是除法运算的拓展。定积分是什么？定积分是一个数学运算。对于定积分 来说，这个运算是一个二元实数组 a和 b 通过函数 到一个实数 的变换，莱布尼兹的积分、现代数学分析教科书中的黎曼积分和度规积分表示的是同一个运算。在这个意义上说，三个积分是等价的。黎曼积分和度规积分都是为了解决莱布尼兹积分的逻辑问题而定义的。我们已经证明了黎曼积分和度规积分的等价性。对于一个乘法 ABC 可以有两个不同的几何解释，如果把实数 A 和 B 看作矩形两个边，此时 C 是面积，如果把实数 A 和 B 中的一个看作数轴的度规，此时 C 是数轴上的向量。这个观念对于我们理解黎曼积

39、分和度规积分的等价性很有好处。如果我们把问题简化，被积函数 c，此时积分 。这是一个实数 ba 和一个实数 c 的乘法运算。黎曼积分是用一个和式的极限定义的，此时黎曼积分表示的是一个底边长为 ba 高为 c 的一个矩形的面积。度规积分是用常度规实数轴定义的，而后拓展到变度规实数轴，此时度规积分是度规为 c 的常度规数轴上两个端点分别为 a 和 b 的一个向量。和微分情况一样，乘法运算是积分运算的特例，积分运算是乘法运算的拓展。微积分运算是除乘法运算由常量情况向变量情况转化后的拓展。已知最早的把一个积看作是一个线段而不仅仅是面积的人是笛卡尔（R.Descartes） 。11p2073. 数数 加

40、减法 乘除法 微积分现在学龄前的儿童就可以进行简单的加减法的运算。但是我相信，从类人猿进步到人类掌握自然数 1、再进步到可以进行简单的加法运算、再进步到可以进行简单的乘法运算，每一步都经历了一个漫长而艰苦的过程。在数东西时，我们数出（出声地或无声地）一、二、三、四?等字。这就是自然数的名称。16 p1实际上人类在开始使用自然数的时候，自然数就表示事物集合的一种性质。14p8 例如三块石头，五个绳结，八只羊等等。数数是人类最原始的度量形式，这时人们使用的是自然数。后来人类认识到加减法的运算。加减法是数学运算同时也是关于度量的运算，运算结果只是量的数量进行了改变。例如，两只羊加上一只羊是三只羊。我

41、们称加减法为量变运算。加减法是人类度量方式关于数数的进步，这个时候人们使用的是整数。再后来人类认识到乘除法的运算。乘除法是数学运算同时也是关于度量的运算，乘除法的运算结果是量的性质发生了改变。例如，时间和速度相乘等于路程。我们称乘除法为质变运算。这个时候人们使用的是有理数（比数6p12） 。我们已经知道乘除法运算是加减法运算的拓展，上面讨论中我们又知道了微积分运算是除乘法运算的拓展。微积分是数学运算同时也是关于度量的运算。微积分是质变运算。微积分运算中人们使用的是实数。还有许多运算例如三角函数、乘方、对数等等是数学运算但不是关于度量的运算。建立无理数的严格理论的工作是由三个数学家戴德金（Ded

42、ekind ） 、康托（Cantor ）和维尔斯特拉斯（Weierstrass）完成的。1p8515p12 15 戴德金的分割1p1012p493p13712p213p146 和康托的基本序列3p1412p47 在现代数学分析教科书中经常可以见到。微积分是十七世纪创建的，作为微积分基础的实数概念却延迟了近 200 年才被定义。数学史上最使人惊奇的事实之一，是实数系的逻辑基础竟迟至十九世纪后叶才建立起来。?鉴于代数与分析的广泛发展都用到实数，而实数的精确结构和性质却没有人考虑过，这一事实说明数学的进展是怎样地不合逻辑。2p41从这些不同的处理，可以明显地看出，无理数的逻辑定义是颇有些不自然的。从

43、逻辑上看，一个无理数不是简单的一个符号，或一对符号，象两个整数的比那样，而是一个无穷的集合，如 Cantor 的基本序列或 Dedekind 的分割。逻辑地定义出来的无理数是一个智慧的怪物。我们可以理解，为什么希腊人和许多后继的数学家都觉得，这样的数难以掌握。2p50我认为：微积分是人类历史上继掌握了数数、加减法、乘除法之后的第四次关于度量的里程碑式的重大进步。8. 关于微积分教学的预言度量作为一种手段在人类认知大自然的过程中具有特殊的重要意义。度量不仅仅在物理学和化学中被应用，而且事实上度量的应用领域遍布经济学、生物学、社会学、军事学，甚至我们的日常生活中。微积分作为关于度量的运算应当与四则

44、运算一样被普及。可以把加减法、乘除法和微积分统称为六则运算。在中国，现在大多数的人没有学习过微积分。将来，微积分会作为普及教育下放到中学去讲授。在讲授中，我们要告诉学生微积分的定义、微积分的运算规则、微分表和积分表。那个时候，度规微积分会因为它的直观和简洁而成为中学微积分教材中定义表述的主流形式。数学分析作为大学数学系的主要课程，把度规微积分的理论增加补充进去是有好处的。度规微积分的理论对大学数学系的学生理解微积分和了解微积分的历史的好处毋庸置疑。一个好的教材一定要注重内容的直观和简洁。注重内容的直观和简洁的教材会更加有利于组织合作学习和创设教学情境。189. 后记本文是度规的意义第 5 稿,

45、度规的意义第 1 稿是 1981 年我递交的同名大学毕业论文， 度规的意义第 2 稿发表在活力21， 度规的意义 第 4 稿发表在中国科技论文在线22。本文第 4 节的度规积分与黎曼积分等价问题是齐齐哈尔大学的崔伟业教授首先提出来的。已经有概念在使用“度规”这个词语。本文发表前，我和我的大学同学崔伟业教授、张玉民教授在一起专门讨论了本文度规概念的用词问题。最后我们一致认为在中文中没有比“度规”更恰当的词语，决定用词不变，相信读者不会混淆。感谢天津大学的李小宝和高宏阁将本文的提名、摘要、关键词翻译成英文。感谢活力和中国科技论文在线的编辑们，由于他（她）们的工作，我的观点可以被更多的人所了解。参考

46、文献1 R?柯朗， H?罗宾. 数学是什么？M. 左平 张怡慈 译. 北京：科学出版社，1985:2 M?克莱因. 古今数学思想（第 4 册）M. 北京大学数学系数学史翻译组 译 申又枨，冷生明 校. 上海：上海科学技术出版社，1981:3 L?戈丁. 数学概观M. 胡作玄 译. 北京：科学出版社，1984:4 吴文俊院士作夏季学期讲座 强调数学教学 . 新闻网讯 杨文国 5 张奠宙. 微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考J. 高等教育研究 2006，9(2):2-4。6 项武义. 微积分大意M. 北京：人民教育出版社，1978:7 江泽坚，吴智泉，周光亚. 数学分析（上册）M. 北京：人民教

47、育出版社， 1978:8 格?马?菲赫金哥尔茨. 数学分析原理（第一卷第二分册）M. 丁寿田 译. 北京：人民教育出版社，1979:9 史蒂芬?霍金 . 时间简史从大爆炸到黑洞M. 许明贤 吴忠超 译. 长沙：湖南科学技术出版社，2001:(参考 第八章 宇宙的起源和命运 )。10 M?克莱因. 古今数学思想（第 2 册）M. 北京大学数学系数学史翻译组 译 申又枨，江泽函，冷生明 等校. 上海：上海科学技术出版社，1979:11 潘永祥 主编. 自然科学发展简史M. 北京：北京大学出版社， 1984:12 格 ?马? 菲赫金哥尔茨. 数学分析原理（第一卷第一分册）M. 吴亲仁，陆秀丽 译. 北京：人民教育出版社，1979:13 陈傅璋，金福临，胡家赣，朱学炎，欧阳光中 . 数学分析（上册）M. 上海：上海科学出版社，1978:14 ?亚历山大洛夫 等 . 数学它的内容、方法和意义（第一卷）M. 孙小礼，赵孟养，裘光明，严士健 译 关肇直，秦元勋 校. 北京：科学出版社，1984:15 ?亚历山大洛夫 等. 数学它的内容、方法和意义（第三卷）M. 王元，万哲先，裘光明，孙以丰，田方增，刘绍学，吴品三，王隽骧 译 沈信耀，李培信，江嘉禾，秦元勋 校. 北京：科学出版社，1984:16 M?K?格列本卡. 算数M. 张禾瑞，孙永生 译. 上海：商务印书馆，1953:17 鲁滨逊