1、高层商务楼中的电梯运行管理方案设计高层商务楼中的电梯运行管理方案设计北京理工大学姜 元 钱觐开 胥 帝摘要 本文针对商务大楼中电梯运行方案设计问题，在合理的假设下，根据商务大楼特有的情况和参数，对现实中电梯常见的运行方式进行分析，建立了双目标最优化模型，利用蒙特卡罗模拟算法，并分步优化得到电梯运行方案。并根据实际参数进行了模拟，结果令人满意。首先，我们决定以“ 能否最大化满足用户 ”和“能否最小化电梯消耗”两个指标来评价电梯运行方案的好坏。继而分别以“用户平均等待时间” 与“电梯做功的有效度”两个参数来量化上述两个指标，从而方便对不同方案的直观比较。其次，根据商务大楼电梯乘客流量在时间上的分布
2、特点，我们将电梯运行时间分为：上班高峰期，下班高峰期，闲时三种。将每一个运行模型都分别在这三种时间上分析模拟，从而得到不同方案各自在整体上的优劣势。第三，针对现有的电梯运行模式，我们以目前最优秀、常见的群控式电梯高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 1为前提，抽象出了被最广泛使用的两种模型。第一种为电梯分层次运行，将大楼内所有楼层划分为几个区间，然后分别让电梯负责不同区间的乘客运送工作。第二种是电梯分单双层运行，即半数电梯负责单数层乘客的运送工作，其余的负责双数层。随后代入实际问题中的相应参数，解出上述的评判指标，与实际情况以及 MatLab 根据蒙特卡罗原理模拟出的结果相符合得很好。计算结果显
3、示：电梯分单双层运行比分层次运行更具高效性， “最大化满足用户”程度更大，而在能耗及机械劳损方面也大于后者， “最小化电梯消耗”性能相对较弱。至此，仍无法判断两种方案的优劣性，所以我们定义了综合目标函数，根据决策者心中上述两个评定指标的重要性权值，可计算出唯一的评价参数，最直观地鉴别两种方案的优劣性。最后，根据题目中所指出的关于地下停车场的问题，我们结合实际情况，理性的给出分析，对两种运行模式均给出了相应的优化改动。一、问题的重述现代高层商务大楼中均配备有多台电梯。为了在保证大楼内各公司员工的正常工作与出行，尽力满足用户需求的同时能降低能耗，节约运行与维护成本，现有的运行方式常见有分层次运行、
4、单双层运行或者某部电梯直达某高层以上的运行模式。需解决以下问题：（1）模型建立：试根据此类运行模式，从节约能源与尽力满足用户需求两个角度分析，评价这些方案的优劣。（2）实际问题：某商务楼高 25 层，每层有员工 220260 人，员工上班时间均为上午 9 时至下午 17：30 分。楼内共有客用电梯 6 台以及消防电梯一台。电梯运行速度约为 1.7m/s，层高为装修前 4.1m，装修后 3.2m。（3）问题扩展：若大楼另有两层地下车库，方案应该作如何调整？二、模型假设及符号说明2.1 为简化模型便于分析，作如下假设：1、 每层工作人员人数大致相等；22、 每台电梯的最大运载人数相同；3、 根据电
5、梯控制原理，当乘客按下召唤钮，需等待直到出现空闲或者同向运行的电梯时，才能乘坐；4、 电梯在各层的相应的停留时间内（t 秒）乘客均能完成出入电梯。5、 忙时：1）上班前高峰期间人员流量满足均匀分布，且等可能地工作在大楼各层。此期间所有员工均从一层上行，回到自己办公室。2）下班后高峰期间人员流量满足均匀分布，且等电梯人员等可能地出现在大楼各层。此期间所有员工均由所在楼层下行前往底层。3）忙时所有人只有（1） （2）所描述行为，不会存在人员蹿层现象。4）由于人流量较大，空电梯在等待时间（s 秒）内均能达到电梯的最大容量。6、闲时：1）不存在电梯满员情况；2）任意时刻均存在空电梯或者同向电梯；3）除
6、去无任务的情况，电梯在任意层停留时间相同。2.2 符号设定说明：a 表示楼高（层数） ；h 表示每层的高度；m 表示每层员工数量；k 表示大楼内客运电梯的数量；n 表示每台电梯的最大运载量；v 表示电梯的运行速度；s 表示电梯在上班时在底层装满人，以及下班时在某一层装满人所需时间t 表示出去上述情况，电梯在某一层的停留时间（包括加减速，开关门，进出人的时间） ；T 表示电梯的运行周期。三、问题分析3.1 商务大楼情况分析此类商务大楼有以下特点：1)每层人员分布比较均匀，并且基本上各层人员数相差不大。2)楼内人员组织分布在各层，几乎不存在跨层组织，所以层与层之间人员流动极少。3)上下班期间是电梯
7、运作的高峰，而下班后或者上班时间内电梯较空闲。4)商务大楼内电梯多为群控式，即当一楼有外召唤时，群控系统只分配一台电梯响应该召唤，而其它电梯停在其它楼层等待召唤。所有模型的建立应以上述特点为基础。另外：大楼装修前后并未改变电梯运行的位移，所以上述实际问题中应该以装修前的层高 4.1m 为计算值。3.2 方案评定因素高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 3对于商务大楼的电梯，首先要考虑的是高效性和经济性，即对电梯运行模式需从“能否最大化满足用户”以及“是否最小化电梯消耗”两个角度来对电梯运行方案进行评价。1) 关于能否最大化满足用户从满足客户需求角度考虑，用户对电梯运行的满意度包括生理和心理两方面
8、的满意。生理满意一般包括电梯在启动和暂停时的加速度不致让人感到不适，在电梯运行途中尽量少的停顿次数。心理满意包括：尽量短的等待时间，尽量短的乘电梯的时间。经讨论，我们决定以用户满意度指标 P 来作为“能否最大化满足用户”的定量评价标准。P 定义为用户最为满意的平均等待时间 b 与用户实际的平均等待时间 EX 的比值，即 P=b/EX。在实际操作中，b 可以通过随机抽样调查得到。2) 关于能否最小化电梯消耗对于电梯消耗，主要分能量（电能）消耗以及机械磨损两部分。如果忽略待机时间内所消耗的能量以及机械磨损，那么电梯的消耗总和因该是与电梯运行时间成正相关。我们以电梯做功的效率 Q 为电梯耗能的度量标
9、准。若电梯以额定功率运行，根据模型假设，这一时期每个电梯都达到满载，则几种方案中所做的有用功 W1 相同（即把员工运到目的楼层） ，则只需比较额外功 W2。即效率 Q 与额外功直接相关。定义 122!1WQW2 可假定为只与电梯运行时间 T 成正相关，即W2=ct(c 为常数) 因此，当 W1 一定时， （a 为常数）1cT1Q前面已经说到，楼内电梯在非上下班高峰期间相对空闲基本上都有空闲电梯或者同向电梯供乘坐，故闲时的平均等待时间主要由电梯本身的运作参数决定（运行速度，加速度等） ，而运作模式对之影响甚小。我们主要讨论的是对电梯运作模式的评价比较，因此在闲时以“能否最小化电梯的消耗”作为主要
10、评定因素。但对于忙时，首先需要解决的问题应该是员工乘电梯上下班的效率问题，我们把主视角放在尽力减少用户在忙时的平均等待时间方面，电梯消耗问题则相对次要。3.3 电梯召唤方式选择当 k1 时，电梯召唤按钮对电梯的控制就有如下分类：单控和群控。群控电梯就是多台电梯集中排列，共有厅外召唤按钮，按规定程序集中调度和控制的电梯。单控电梯即每台电梯各自接受召唤，而不是系统地受统一调度。当使用单控电梯时，乘客召唤电梯一般都会同时按亮所有电梯4的外召唤，哪台先到就乘座哪台，这样势必会造成其它电梯的空运行，从而大大降低了电梯的运行效率，增加了电梯的能耗。另外，文献1中也有详细地说明，群控电梯是效率较高的一种控制
11、方式，被广泛采用。因此我们建立的电梯运行模型都是群控式。3.4 常见运行模式分析电梯在运行过程中，每一次停下（包括减速，开门，关门，加速等过程）都会消耗一定的时间以及能耗，也伴随着一定的机械磨损，所以说让电梯变得高效，节能的方法主要就是尽可能的减少停的次数。对于电梯的运行模式，我们只比较最为常用常见的两种模式：分层次运行以及单双层分运行。前者指的是将楼层分为多个区间，不同的电梯分别负责不同的区间段乘客的运送，这样有效减少了电梯中途停下的次数，增加了运行效率；后者指的是将电梯分为只在单数层运行和只在双数层以及底层运行两种，这样可以避免电梯在相邻层之间的运送，避免了刚启动就要停下导致耗时耗能的情况
12、发生。3.5 关于消防电梯消防电梯是指在发生火灾的情况下，供消防人员进行灭火和救援工作的具有一定功能的电梯，平时也可以当作客运电梯使用。但是由于其火灾时期的特殊作用，消防电梯必须能够到达每一层，因此对于分层次或者单双层分运行等运行模式，消防电梯必须在客运电梯运行系统之外，是独立的，单控的。在比较不同运行方式的优劣时，由于乘客选择电梯的随机性，只需将消防电梯视作对乘客流量的一种分流。我们只需简单地将这种分流作用算作闲时 K1 忙时 K2 两个常量，因此在上述两种方案的比较过程中并无太大影响，予以忽略。四、模型建立4.1 上班高峰期方案一：电梯分层次运行设楼共有 a 层，k 台电梯，这 k 台电梯
13、分区运行，即第 1 台分管1、2、3 层，第 2 台从第 1 层直接进入第（ +1）层，并仅在第（ ka+1）层到第（2* ）层运行，到达第（ 2* ）层后即返回第 1 层。kaka其余电梯以此类推，共同完成运输任务。设第 i（1=i=k）台电梯从由底层出发将员工送到目的层并返回底层记为电梯的运行周期 ti，根据模型假设， ti 由三部分组成，一是电梯从底层载满员工到达运载所需最高层的运行时间，二是电梯到达目的层时由减速到电梯门打开乘客出去再到电梯关门加速上升所耗费时间总和，三是电梯空高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 5载下降到底层所用时间。考虑下述情形：电梯在自己分管的楼层内每层都停，则该
14、种情况下所求运行周期最大，此时有 VhkaitkaVhkaST iiVhitkaS2第 i 台电梯:在一个运行周期内停的次数 ni=1+ ,ka在该高峰时段内电梯运行总次数为 nm总时间 ii tkanmT停的总次数为 kanmNi1第 j 层员工进入办公楼等电梯到乘电梯回办公室所用时间记为 Xj,Xj 由两部分组成，一是在底层等到电梯的时间 Xj1，二是乘坐电梯的时间 Xj2。由于第 j 层员工乘坐的电梯为第 台，则 Xj1 的期望1ikajjdtTiEXijs01因为 EXjjj 21 tkajjVdtTsii )1(h1-j0）（6节约能源方面，额外功 aiiaiiNkTW2212k用户
15、满意度方面， 1122aEXmaEXjajajj方案二：电梯分单双层运行k 台电梯分单双层运行，通常情况下，k 为偶数，则每个用户在底层可选择k/2 台电梯。可近似认为单层和双层的电梯运行周期 T 相等，仍然考虑下述情形：电梯在自己分管的楼层内每层都停，则该种情况下所求运行周期最大。即 vahtsT2每台电梯在一个运行周期内停的次数为 a/2;在该高峰时段内所有电梯运行总次数为 ，总时间 T*=NTnkamN)1(第 j 层用户等待电梯的时间 sTj dtkX012在电梯里的时间 vhjtjj )(2总时间 ；1jjj XX节约能源方面， NkTkW2*12vahtsnkamk 2)1(1高层
16、商务楼中的电梯运行管理方案设计 7用户满意度方面， 11EX222 aEXaajjajjajj对两种方案的简单评价：从节约能源角度考虑，由于方案一采用分层运行，每台电梯停的楼层数较少，相应的运行周期较短，因此电梯耗能较小；而方案二采用分单双层运行，每台电梯停的楼层数只减少了一半，相应的运行周期较长，因此耗能比前者大。从用户满意度考虑，方案一（分层运行）中，因为每层用户只有一个电梯可以选择，虽然用户在电梯内的时间较短，但用户在底层等待时间较长；而方案二（单双层运行）用户在底层等待时间较短（每层用户有 k/2 个电梯可乘坐）但在电梯内等待时间较长（电梯停的次数较多） 。因此在不知道具体数据的情况下
17、，不能断定两个模型哪个更符合用户需求。4.2 下班高峰期：在模型假设条件下，即空载的电梯在收到某层呼号后直接到达该层，根据模型假设，由于该层工作人员数 m 远远大于电梯满载量 n，所以可近似认为电梯直接在该层达到满载量 n，并返回底层，在返回过程中可以接收到某层呼号电梯在该层暂停，但无法多载人。因此，模型一与模型二中电梯工作模式在本质上是相同的，即由底层的空载到达某一目标层载满人后返回底层，又由于返回途中电梯收到某层呼号是随机事件，可认为该情况对模型一和模型二中电梯的影响是等可能的。综上，无论从节约能源还是用户需求角度，下班高峰期对两种方案优劣性的比较影响不大，无需细化讨论。结合实际情况，由于
18、员工下班乘电梯在时间要求上并不像上班时那么严格，因此可认为下班高峰期对评价方案的影响权重较小。4.3 闲时：前面已经假设：在闲时，所有时刻均存在空闲或者同向运行的电梯。所以用户呼叫后将由最近的电梯到达该层并运送用户到指定层。用于用户所在层和用户要到达的层的距离与运行方式无关 ，所以作如下简化：最近的电梯所在层离用户所在层越近，则能耗和总的花费时间越短。设楼的总层数为 a，电梯数量为 k。用户所在楼层为随机的，在每一层的几率相等，设为 d。方案一：电梯分层次运行8共 k 台电梯，这 k 台电梯分区运行，即第 1 台分管 1、2、3 层，ka第 2 台从第 1 层直接进入第（ +1）层，并仅在第（
19、 +1）层到第（2*aa）层运行，到达第（2* ）层后即返回第 1 层。其余电梯以此类推，kak共同完成运输任务。第 i 台电梯可能处在的楼层为底层、 +1 层. 层，且kai ka+i（在每一层的概率相等。因为每一台电梯负责一个区间，所以用户只能呼叫负责要到达的楼层所在区间的那一台电梯。并且由于用户要去的楼层和响应呼叫的电梯所在的楼层是随机分布的，所以，电梯距离用户所在楼层的距离层数的期望值是： )1/(1-d kakadj+i+=E=j （其中，i 和 d 等概率地随机分布。方案二：电梯分单双层运行k 台电梯分单双层运行，通常情况下，k 为偶数，则每个用户在底层可选择k/2 台电梯。分管单
20、层的电梯在所有单层都停，并且响应底层的呼号，分管双层的电梯类似。此时，响应呼号的是离用户所在楼层最近的电梯。则所有可被呼叫的电梯所处的楼层随机分布。假设其中任意一台电梯所在楼层为 j, 则电梯距离用户楼层数为|d-j|。最近电梯距离用户所在楼层的层数期望值（Min ， ）1EX22kE可直接根据蒙特卡罗算法使用 MatLab 软件方真求得。4.4 模型总结由上述计算过程可求出电梯总耗时 T 及用户平均等待时间 EX。因此，我们建立双目标规划模型：（a 为常数） T1Q高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 9（b 为常数）EXP要选择最优方案，则需要同时满足 P、Q 都尽可能地大。即我们建立了一个
21、双目标的非线性规划模型，决策变量为 T、EX，P、Q 越大，则方案越好。a、b 两个参数具体到实际问题可进行求解， 。在不同的情形下可建立相关的约束条件，在满足约束条件的情况下求得最优解。五、实际问题及模型求解5.1 实际问题分析及计算在该实际问题中，该商务楼层数为a=25层，大楼内有客用电梯k=6台， 另有一台消防电梯，电梯运行速度大约为v=1.7m/s，大楼的层高为h=4.1,假定每层工作人员数都为m=240人,又根据资料，商务楼电梯最大运载量一般为n=15人,在模型一下，六台电梯分区运行，第一台15层，第二台1、69层，第三台1013层，第四台1417层，第五台1821层，第六台2225
22、层，5.1.1 忙时在上班高峰，六台电梯都从底层出发，载满人后直接到往目的层，估算得电梯在底层停留时间为s=15秒，在其他楼层停留时间为t=7秒，在假设条件下，可求出第i台电梯完成一次运输任务并返回底层用时（s） iii 29.143172843Ti=1,2,3,4,5,6。要到达第j层的员工平均等待时间EXj表达式如下： i2,57)1(174)(52T1 jji6,9)5()(2 jjEXj= i10,137)9(174)(5T3 jji14,17)13()(24 jj10i18,217)1(174)(52T5 jji22,25)20()(6 jj则六台电梯在一次上班高峰中完成运输任务总共
23、消耗时间 sTii76.42315420T61所有层员工等待的平均时间 sEXii0.8241在模型二下，六台电梯分两组，第一组三台在单层停，第二组三台在双层停。在上班高峰，六台电梯从底层出发，在假设条件下，则除了底层外，每台电梯只可能在单数或者双数共12层停。由于每台电梯中的15个人等可能地在该12层中的任一层出电梯，因此电梯在一次运输任务中停的次数及到达的最高层都是不确定的。为求出电梯的平均停靠次数及到达的最高层，下用蒙特卡罗算法，使用MatLab软件对该随机事件进行模拟。电梯停靠次数分布如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12运行100次的分布 0 0 0 7 16 3
24、3 33 7 4 0 0 0运行1000次的分布 0 0 2 45 217 349 277 93 16 1 0 0运行10000次的分布 0 0 36 450 2002 3549 2749 1013 187 14 0 0运行10000次的分布图形如下：高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 11电梯停靠最高层的分布：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12运行100次的分布 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 17 78运行1000次的分布 0 0 0 0 0 0 0 0 13 48 205 734运行10000次的分布 0 0 0 0 0 1 5 10 97 534 2059 7
25、294运行10000次的分布图形如下：12得出结论，模型二中的电梯在一次运行周期中停的次数以 83%的概率落入5、6、7 次当中，期望值为 6.23，即电梯每个周期平均停 6.23 次。且电梯停的最高层以 93%的概率落入最后两层，其中停在最后一层的概率高达 73%。由上述数据，我们可以对方案二进行如下估算：只到双层的电梯运行一个周期用时=154.55s723.67.1423T1只到单层的电梯运行一个周期用时=159.37s2要到达第 j 层的员工平均等待时间 EXj 表达式为：（j 为偶数）7.14)(23.64j0.1jEXj=（j为奇数）.)(.2-j8.j所有层员工等待的平均时间 sE
26、Xii17.52415六台电梯在一次上班高峰中完成运输任务总共消耗时间 sTii64.02150T61我们定量地计算出了模型一和模型二中的重要参数EX和T。计算结果表明，6台电梯分层运行模式中，员工平均等待时间为88.70s，多于分单双层运行模式中的平均等待时间75.17s。但从能耗角度看，分层运行模式中6台电梯在一次高峰期中总共耗费时间42437.76s，少于单双层模式中的耗时60272.64s。因此，在忙时，从节约能源角度看，6台电梯分层运行模式更优；而从用户满意度角度看，6台电梯分单双层运行更符合需求。因此两种方案各有优劣，这与我们在前面建立的抽象模型中得到的结论是一致的。5.1.2 闲
27、时以下是闲时MatLab仿真模拟数据：电梯分层运行：运行100次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：0 0 1 1 10 15 15 15 9 7 2 55 7 3 1 2 2 0 0 0 0 0 0E = 0.8885层高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 13运行1000次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：0 2 12 38 103 131 158 145 106 72 54 4642 29 24 12 16 2 6 2 0 0 0 0E = 8.4172层运行10000次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：0 32 157 425 9
28、36 14201454 1384 947 701 583 456402 351 267 190 159 7542 17 2 0 0 0 E = 8.5311运行1000次的分布图形如下：电梯分单双层运行：运行100次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：6 15 16 13 22 12 3 6 0 1 4 00 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0E = 3.7100运行1000次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：117 189 175 124 103 71 66 37 33 28 19 146 8 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0E = 3.5
29、16014运行10000次，离用户层数为n层（n = 0、1、2.24）的分布：1163 1889 1546 1302 984 811628 476 351 258 188 153104 49 49 18 14 86 2 1 0 0 0E = 3.6038运行1000次的分布图形如下：5.1.3 综合考虑忙时与闲时建立双目标优化函数。设忙时的目标函数为：（a 为常数） （b 为常数）T1QEX1P设闲时的目标函数为：（a 为常数） （b 为常数）*2T1*2P高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 15上式中 a，b 的值取决于决策者心中减小损耗和满足用户所占的权重。同时，在考虑实际方案的时候，忙
30、时与闲时的权重不一定相同，为此，设参数 为忙时在方案考虑中所占的权重，（1-）为闲时在方案中所占的权重，得到综合目标函数：= +21)(QQaT1（*aT121P)(P *EXbEb（决策变量为 T、EX 。将两种方案中计算出的电梯运行总时间、用户平均等待时间代入函数，由参数 a，b 的值及权重 的值即可得到最优方案。六、问题的扩展讨论下面讨论当大楼有两层地下车库的情况：当有两层地下停车场时，用户开车到达地下停车场。用户直接从地下停车场乘坐电梯上楼。此时，首先 应该考虑到开车上班的人数占所有员工的人数的比例，并且按此比例给地下停车场分配电梯。根据本问题的实际情况，大楼共有 25 层，每层平均有
31、 240 人，假设底层没有办公人员，则全楼共有约 5760 人。地下停车场共两层，假设每层停车场最大容量为 250，则共有 500 停车位。即使全部停满，从地下室上楼的用户也只占了全楼用户的 8.68%。首先，消防电梯每层都能到达，基本上就能满足地下室的闲时运载需求。但考虑到忙时，需作如下调整：1. 若为单双层运行的模式，则需让其中一台单数层电梯同时增加地下一层的运载任务，一台双数层电梯增加地下二层的运载任务。这样分配不仅解决了忙时地下层客流的问题，同时最小化了电梯在相邻两层停靠的次数，减少了消耗。2. 若为分层次运行的模式，则只需让负责 15 层的电梯同时负责地下客运的分流即可。一方面来说，
32、该电梯为最低层次电梯，本身运行周期就很短，增加分流任务对全楼整体运行周期影响不大；另一方面，对于高层用户需要换乘电梯的问题，根据前面的估算，地下室客流中高层用户只占=7.23%，属于小部分人群，满意度的小幅度下降对整体的满意度并无%68.5太大影响。16七、模型的评价与改进方向7.1 模型的评价7.1.1 模型的优点（1）从节约能源与满足用户需求两个方面，建立双目标整数规划模型，将耗能与用户满意的指标进行无量纲化处理，并赋予权值进行叠加，整个过程合理、客观，同时结果直观，便于直接比较。（2）从实际出发建立模型，淡化次要因素的影响，从而使模型简洁有效，便于求解，实际操作性强。（3）根据商务大楼现
33、有特点，将时间分段，从而得到的一般化结论与实际符合程度很高。（4）针对规划模型中存在的随机因素，利用蒙特卡罗方法使用 MatLab 进行仿真试验，得到的结果比较可靠。7.1.2 模型的缺点由于实际问题中的数据掌握不够充分，造成对于模型中的一部分参量估计不足，与客观值存在误差，同时蒙特卡罗仿真求解得到的只是近似最优解，与最优化方案的实际运行结果仍有一定差距。7.2 模型的改进方向在模型中只考虑了电梯分区运行和单双层运行的方案，这两种方案对于在商务楼高层工作的人员来说，等待时间必然大于在低层的员工。而实际中，也存在一部电梯直达高层的运行方式，若能将此种方式采用综合进来，制定合理的分配方案，则模型性能更优。考虑到实际情况，电梯的运行模式一般是固定不变的。若电梯的运行模式可随闲时、忙时进行调整，从而利用规划模型得到更优化的解决方案。参考文献1 佚名， 提高电梯运行效率、降低电梯能耗的措施 ，http:/ 姜启源， 数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社，2003。3 韩中庚， 数学建模竞赛获奖论文精选与点评 ，北京：科学出版社，2007。高层商务楼中的电梯运行管理方案设计 174 裴鹿成等， 蒙特卡罗方法及其应用 ，北京：海洋出版社，1998。
