1、章末检测一、填空题1 已知平面 和平面 的法向量分别为 m(3,1 ，5)，n( 6，2,10)，则平面 、的位置关系为_2 已知向量 a(0,2,1)，b( 1,1，2)，则 a 与 b 的夹角为_3 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，已知 a， b， c，则用向量AB AD AA1 a，b，c 可表示向量 _.BD1 4 已知 P 和不共线三点 A，B，C 四点共面且对于空间任一点 O，都有 2 OP OA OB ，则 _.OC 5 已知 A(2,1,0)，点 B 在平面 xOz 内，若直线 AB 的方向向量是(3，1,2) ，则点 B 的坐标是_6 平面 的法向量为 m(
2、1,0 ，1)，平面 的法向量为 n(0 ，1,1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为_7 若平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是_(填序号)cos cos na|n|a| |na|n|a|sin sin na|n|a| |na|n|a|8 设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则AB AC AC AD AB AD BCD 是_三角形(填“锐角” 、 “直角” 、 “钝角”)9 在以下命题中，不正确的个数为_|a |b| a b|是 a，b 共线的充要条件；对 ab，则存在唯一的实数 ，使 a b；对
3、空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 2 2 ，则OP OA OB OC P，A，B，C 四点共面；|( ab)c| a|b|c|.10法向量为 n(1，1,1)的平面 过点 M(1,2，1)，则平面 上任意一点 P 的坐标(x，y ，z)满足的方程为_11设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面A1ECF 成 60角的对角线的数目是_12如图，ABAC BD 1，AB 面 M，AC 面 M，BDAB，BD 与面 M 成 30角，则C、D 间的距离为_13已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，
4、F 分别是 BC、AD 的中点，则 的值为_AE AF 14如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC， ABBC AA 1，ABC90，点 E、F 分别是棱 AB、BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角为_二、解答题15已知四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是 PC 的中点，问向量 、PA 、 是否可以组成一个基底，并说明理由MB MD 16如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1D1，AB 的中点，E在 AA1 上且 AE2EA 1，F 在 CC1 上且 CF FC1，试证明 MENF .1217如图，在
5、棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上一点，CPm.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60.18已知长方体 ABCDA1B1C1D1，AB2，AA 11，直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为30， F 为 A1B1 的中点求二面角 ABFD 的余弦值19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，BAD 120 ，且 PA平面3ABCD，PA2 ，M ，N 分别为 PB，PD 的中点6(1)证明：MN平面 ABCD；(2)过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMNQ 的平面角的余弦值20如图所示，在
6、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值；(2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论答案1 290 3abc 42 5(5,0,2) 660 或 120 7 8锐角94 10xy z20 114 12 13 a2 14 6021415.解 、 、 不可以组成一个基底，理由如下：PA MB MD 连结 AC、BD 相交于点 O，ABCD 是平行四边形，O 是 AC、BD 的中点，在BDM 中， ( )，MO 12MD MB 在PAC 中，M 是 PC 的中点，O 是 AC 的中点
7、，则 ，即 ，即MO 12PA PA MD MB 与 、 共面PA MD MB 、 、 不可以组成一个基底PA MB MD 16证明 由平行六面体的性质 ME MD1 D1A1 A1E 12C1D1 AD 13A1A ，12AB AD 13AA1 NF NB BC CF 12AB AD 13CC1 ，12AB AD 13AA1 ，又 M，E，N，F 不共线，ME NF MENF.17解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)则 ( 1，1,0) ， (0,0,1)，
8、(1,1，m)， (1,1,0) BD BB1 AP AC 又由 0 ， 0 知，AC BD AC BB1 为平面 BB1D1D 的一个法向量AC 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 ，则 sin |cos ， | AP AC |AP AC |AP |AC |22 m2 2依题意得 sin 60 ，解得 m .22 m2 2 32 63故当 m 时，直线 AP 与平面 BDD1B1所成角为 60.6318解 以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知 AB2，AA 11，可得A(0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)又 AD平面 AA1B1B，从而直线 BD
9、 与平面 AA1B1B 所成的角为DBA30，又 AB2，AD ，233从而易得 D .(0，233，0)易知平面 AA1B1B 的一个法向量为 m(0,1,0)，设 n(x，y，z)是平面 BDF 的一个法向量，( 1,0,1)， ，BF BD ( 2，233，0)则Error!，即Error!，令 z1，可得 n(1 ， ，1) ，3cosm，n .mn|m|n| 155即二面角 ABFD 的余弦值为 .15519(1)证明 连结 BD，因为 M，N 分别是 PB，PD 的中点，所以 MN 是PBD 的中位线，所以 MNBD.又因为 MN平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 MN平面
10、ABCD.(2)解 方法一 连结 AC 交 BD 于 O，以 O 为原点，OC，OD 所在直线为 x，y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示在菱形 ABCD 中，BAD 120，得 ACAB2 ，BD AB6.3 3又因为 PA平面 ABCD，所以 PAAC.在直角 PAC 中，AC2 ，PA 2 ，AQPC ，3 6得 QC2，PQ4.由此知各点坐标如下：A( ， 0,0)， B(0，3,0)，C( ，0,0)，D (0,3,0)，3 3P( ， 0,2 )，M ，N ，Q .3 6 ( 32， 32，6) ( 32，32，6) ( 33，0，263)设 m(x，y，z)为平面 AM
11、N 的法向量，由 ，AM ( 32， 32，6) 知AN ( 32，32，6)Error!取 z1，得 m(2 ，0，1)2设 n(x，y，z )为平面 QMN 的法向量，由 ，QM ( 536， 32，63) 知QN ( 536，32，63)Error!取 z5，得 n (2 ，0,5) 2于是 cosm，n .mn|m|n| 3333所以二面角 AMNQ 的平面角的余弦值为 .3333方法二 如图所示，在菱形 ABCD 中，BAD120，得 ACABBCCDDA，BD AB.3又因为 PA平面 ABCD，所以 PAAB，PAAC，PA AD.所以 PBPC PD.所以PBCPDC.而 M，
12、N 分别是 PB，PD 的中点，所以 MQNQ，且 AM PB PDAN .12 12取线段 MN 的中点 E，连结 AE，EQ，则 AEMN，QEMN，所以AEQ 为二面角 AMNQ 的平面角由 AB2 ，PA 2 ，3 6故在AMN 中，AM AN3，MN BD3，得 AE .12 332在 Rt PAC 中，AQPC，得 AQ2 ，QC2，PQ4.2在PBC 中，cosBPC ，PB2 PC2 BC22PBPC 56得 MQPM2 PQ2 2PMPQcos BPC .5在等腰MQN 中，MQNQ ，5MN3，得 QE .MQ2 ME2112在AEQ 中，AE ，QE ，332 112AQ
13、2 ，2得 cosAEQAE2 QE2 AQ22AEQE .3333所以二面角 AMNQ 的平面角的余弦值为 .333320解 (1)设正方体的棱长为 1.如图所示，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系AB AD AA1 Oxyz.依题意，得 B(1,0,0)，E ，A (0,0,0)，D(0,1,0)，(0，1，12)所以 ，BE ( 1，1，12)(0,1,0) AD 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为 AD平面 ABB1A1，所以 是平面 ABB1A1的一个法向量AD 设直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角为 ，则 sin .|BE AD |BE |AD |1321
14、23故直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角的正弦值为 .23(2)在棱 C1D1上存在点 F，使 B1F平面 A1BE.证明如下：依题意，得 A1(0,0,1)， (1,0,1) ， .BA1 BE ( 1，1，12)设 n(x，y，z )是平面 A1BE 的一个法向量，则由 n 0，n 0，BA1 BE 得Error!所以 xz，y z.取 z2，得 n(2,1,2)12设 F 是棱 C1D1上的点，则 F(t,1,1) (0t1)又 B1(1,0,1)，所以 (t1,1,0)B1F 而 B1F平面 A1BE，于是 B1F平面 A1BE n0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)B1F 10t F 为棱 C1D1的中点这说明在棱 C1D1上存在点 F(C1D1的中点)，使12B1F平面 A1BE.
