1、用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.例 1 求抛物线 2yx与直线 4yx围成的平面图形的面积解析：如图 1，解方程组2，得两曲线的变点为 (2)84，方法一：选取横坐标 x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即3328 28202024() 41Sddxx|方法二：选取纵坐标 y为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24234221186Syd |点评：从上述两种解法可以看出
2、，对 y 积分比对 x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是 ()xy，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为214xy，的形式，然后求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例 2 求由三条曲线 2241yxy，所围图形的面积.解析：如图 2，因为 224yx，是偶函数，根据对称性，只算出 轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组21yx，和2yx，
3、得交点坐标(1)()，方法一：选择 x为积分变量，则221 312320101 4444xSddxx |方法二：可以选择 y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算例 3 求由抛物线 243yx及其在点 (03)M，和点 (0)N，处两条切线所围成的图形的面积解析：由 2yx，得 2yx，04x |，过 M点的切线方程为 43；32xy|，过 N点的切线方程为 26yx又可求得两切线交点的横坐标为 ，故所求面积3 32 220 2 9(4)(4)(6)(43)Sxxdxxd点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作 x 轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解. 同学们应注意掌握这种分割的处理方法.
