1、用定积分巧求面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧用积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.例 1 求抛物线 与直线 围成的平面图形的面积2yx4yx解析：如图 1，解方程组 得两曲线的变点为 2，(2)84，方法一：选取横坐标 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即x3328 28202024() 41Sxddxx|方法二：选取纵坐标 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即y24234221186yy |点评：从上述两种解法可以看出，
2、对 y 积分比对 x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对 y 积分时，积分函数应是 ，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为 的形式，然后()xy 214x，求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例 2 求由三条曲线 所围图形的面积.2241yxy，解析：如图 2，因为 是偶函数，根据对称性，只算出 轴右边的图形的面积再两倍即可y解方程组 和 得交点坐21x，24y
3、x，标 ()()，方法一：选择 为积分变量，x则 221 312320101 4444xSddxx |方法二：可以选择 y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、巧用分割计算例 3 求由抛物线 及其在点 和点 处两条切线所围成的243yx(03)M，(0)N，图形的面积解析：由 ，得 ，2 4yx，过 点的切线方程为 ；04xy |M3，过 点的切线方程为 32x|N26yx又可求得两切线交点的横坐标为 ，故所求面积 3 32 220 2 9(4)(4)(6)(43)Sxxdxxd点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作 x 轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.
