1、2.3.1 平面向量基本定理难易度及题号考查知识点及角度基础 中档 稍难基底及用基底表示向量 1、3 6、8、9向量夹角问题 2、4综合问题 5 7、10 111已知 e1和 e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A e1和 e1 e2 B e12 e2和 e22 e1C e12 e2和 4e22 e1 D e1 e2和 e1 e2解析： e12 e2 (4e22 e1)，12 e12 e2与 4e22 e1共线故不能作为基底，其余三组均为不共线答案：C2在等腰直角 ABC 中， AB AC，则 与 的夹角是( )AB BC A135 B90C60 D
2、45解析：作线段 AB 的延长线 AD，则 DBC 是 与 的夹角，又 DBC180AB BC ABC18045135.答案：A3.在如图所示的平行四边形 ABCD 中， a， b， AN3 NC， M 为 BC 的中点，则AB AD _.(用 a， b 表示)MN 解析： MN MC CN 12AD 14AC b (a b) a b.12 14 14 14答案： a b14 144已知向量 a， b， c 满足| a|1，| b|2， c a b， c a，则a 与 b 的夹角等于_解析：作 a， b，则 c a b (如图所示)，则 a 与 b 的夹角为 180 C.BC CA BA |
3、a|1，| b|2， c a， C60. a 与 b 的夹角为 120.答案：1205已知向量 a， b 的夹角为 60，试求下列向量的夹角：(1) a， b；(2)2a， b.23解：由向量夹角的定义，如图6在平行四边形 ABCD 中， a， b.AB AD (1)如图 1，如果 E， F 分别是 BC， DC 的中点，试用 a， b 分别表示 ， .BF DE (2)如图 2，如果 O 是 AC 与 BD 的交点， G 是 DO 的中点，试用 a， b 表示 .AG 解：(1) BF BC CF AD 12CD a b.AD 12AB 12 a b.DE DC CE AB 12AD 12(
4、2) b a，BD AD AB O 是 BD 的中点， G 是 DO 的中点， (b a)BG 34BD 34 a (b a)AG AB BG 34 a b.14 347.如图，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的夹角为 120，OA OB OC OA OB 与 的夹角为 30，且| | |1，| |2 ，若OA OC OA OB OC 3 ( 、 R)，求 的值OC OA OB 解：如图，利用向量加法的平行四边形法则， 4 2 ，OC OD OE OA OB 4， 2. 6.8.如图所示，已知 E、 F 分别是矩形 ABCD 的边 BC、 CD 的中点， EF 与 AC 交于点 G，若
5、a， b，用 a， b 表示 _.AB AD AG 解析： AG AE GE AB BE GE a b12 12FE a b 12 12 12DB a b (a b) a b.12 14 34 34答案： a b34 349在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ，其AC AE AF 中 、 R，则 _.解析：设 a， b，AB AD 则 a b，AE 12 a b.AF 12又 a b，AC ( )即 ，AC 23AE AF 23 .43答案：4310如图，在 OACB 中， a， b， BC， OD 与 BA 相交于 E，求证： BE BA.OA O
6、B BD 13 14证明：设 .BE BA 则 OE OB BE OB BA ( )OB OA OB (1 ) a(1 )b.OA OB a b.OD OB BD 13 O、 E、 D 三点共线， 与 共线OE OD . .即 BE BA. 13 1 1 14 1411.如图，已知 ABC 的面积为 14 cm2， D、 E 分别为边 AB、 BC 上的点，且AD DB BE EC21，求 APC 的面积解：设 a， b 为一组基底，AB BC 则 a b， a b.AE 23 DC 13点 A、 P、 E 与 D、 P、 C 分别共线，存在 和 ，使 a b，AP AE 23 a b.DP DC 13又 a b，AP AD DP (23 13 )Error! Error! S PAB S ABC14 8(cm 2)47 47 S PBC14 2(cm 2)(167)故 S APC14824(cm 2)1平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的2平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决3求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是0，
