1、3.3 随机数的含义与应用【入门向导】数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！现举一例：我们每天都与公交车打交道！每个人都可能会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是多么好的事件那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个概率问题，但是用古典概型无法解决本节，我们共同研究几何概型就可以解决这个问题几何概型有两个主要特点，即基本事件的无限性和发生的等可能性，由它们可判断一个概型是不是几何概型几何概型的概率计算公式为 P(A)构 成 事 件 A的 区 域 的 几
2、何 度 量 长 度 、面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 区 域 的 几 何 度 量 长 度 、面 积 或 体 积 求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量例 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC1，以 A 为圆心，1 为半径作圆弧 DE 交 AB 于3点 E.(1)向矩形内随机投掷一点，求该点落在扇形 DAE 内的概率；(2)在圆弧 DE 上任取一点 P，求直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率解 (1)S 扇形 12 ，S 矩形 1 ，14 4
3、3 3该点落在扇形 DAE 内( 设为事件 A)的概率P(A) .43 312(2)如题干图，若使直线 AP 与线段 BC 有公共点，须使点 P 在直线 AC 的下方，tan BAC ，13 33BAC30，所以直线 AP 与线段 BC 有公共点( 设为事件 B)的概率 P(B) .QEDE 3090 13几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题(
4、如时间问题)转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件 A 包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算例 2 从甲地到乙地有一班车在 930 到 1000 到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘 945 到 1015 出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解 到达乙地的时间是 930 到 1000 之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是 945到 1015 之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用 x 轴表示班车到达乙地的时间，y轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为 0.5 的正方形设“他能赶上车”为事件 A
5、，则事件 A 的条件是xy，构成事件 A 的区域为图中的阴影部分由几何概型公式，得 P(A) 0.875，0.52 0.252120.52即他能赶上车的概率为 0.875.利用随机模拟试验，可以估计几何概型的概率，也可以估算不规则图形的面积例 3 甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率分析 甲、乙两辆班车停在同一停车位的时刻都是一天 24 小时中的任何时刻，可以分别用两组0,24 区间上的均匀随机数 x，y 表示，两辆车在同一个小时内到达停车场的条件为|x y |1，可以用随机模拟方法求概率
6、解 记事件 A有一辆班车停车时必须等待一段时间 S1 用计数器 N 记录所做试验的次数，用计数器 N1统计满足|xy|1 的点的个数首先置 N 0，N 10.S2 用变换 rand( )*24 产生两个 024 之间的随机数 x 和 y，用它们来表示班车的横坐标和纵坐标S3 统计 N 和 N1的值S4 计算频率 ，即有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率N1N例 4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y2 x与 x 轴、x1 所围成的部分)的面积分析 在坐标系中画出正方形，可以用随机模拟的方法求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而求得阴影部分的面积解 S1 用计数器 N 记录所做试验
7、的次数，用计数器 N1统计满足 b2a的点的个数，首先置 N0，N 10.S2 用变换 rand( )*2 1 产生两个11 之间的随机数 a 和 b，用它们表示点的横坐标和纵坐标S3 统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b2a的点( a，b)的个数)；S4 计算频率 ，即落在阴影部分的概率的近似值；N1NS5 设阴影面积为 S，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为 P .S4所以 ，所以 S 即为阴影部分面积的近似值N1N S4 4N1N注 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式求得几何概率，然后通过解方程求阴影部分面积的近似值选错几何度量例 在等腰直角三角形
8、 ABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AMAC 的概率错解 设“AMAC”为事件 A.在 AB 边上取 ACAC ，在ACB 内任作射线 CM 可看作是在线段 AC上任取一点 M，过 C，M 作射线 CM，则概率为 P(A) .ACAB ACAB 22正解 设“AMAC”为事件 A，在ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM 在任何位置都是等可能的，在 AB 上取 ACAC，则ACC 67.5，故满足条件的概率为 P(A) 0.75.67.5901数形结合思想例 1 小王在公共汽车站等车上班，可乘坐 6 路车和 4 路车，6
9、路车 10 分钟一班，4路车 15 分钟一班，求小王等车不超过 8 分钟的概率解 如图，设 x 轴表示 4 路车的到站时间，y 轴表示 6 路车的到站时间记“8 分钟内乘坐 6 路或 4 路车”为事件 A，则构成事件 A 的区域为图中阴影部分，面积为 81078136，整个区域的面积为 1015150，那么 P(A) .136150 6875故小王等车不超过 8 分钟的概率为 .6875点评 本题中两路公共汽车到站时间恰好是两个变量，抓住两车到站时间的间隔，即可化为“约会型”概率问题几何概型是最典型的应用数形结合思想解决问题的数学模型求解符合几何概型事件的概率时，关键是正确构造出随机事件对应的
10、几何图形，利用图形的测度之比求随机事件的概率2转化思想例 2 在1,1上任取两个实数 a、b，求二次方程 x22axb 20 有两个非负实数根的概率分析 方程 x22ax b 20 有实根时，应有 4a24b 20 即|a| b|，且事件 A 应使方程 x22axb 20 有两个非负实根，所以1a0.所以 a、b 满足Error!还需满足1b1，因此事件 A 要同时受到 a、b 的制约，所以构成事件 A 的区域应为二维空间，所求概率应为在平面直角坐标系中，满足Error!的区域面积和 a1，b1 四条直线围成的区域面积的比值解 在平面直角坐标系中，点(a，b) 所在的区域为如右图所示的正方形及
11、其内部若使方程 x22ax b 20 有两个非负实根，则必须满足Error!设 x22ax b 20 有两个非负实根为事件 A，则 AError!所在的区域为图中阴影部分(包括边界) ，阴影部分的面积为 1，所以事件 A 发生的概率为 P(A) .S阴 影S正 方 形 122 14点评 在了解几何概型的基础上，解决实际几何概型问题与古典概型一样，都属于比例型解法，本题图中的 a、b 也可以交换位置，得出的结果将会是相同的；几何概型有长度型、面积型、体积型等类型1(2009辽宁)四边形 ABCD 为长方形，AB 2，BC 1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到 O
12、的距离大于 1 的概率为 ( )A. B14 4C. D18 8解析 如图，要使图中点到 O 的距离大于 1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为 P1 .2 22 4答案 B2(2011福州模拟)为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为 6 的正方形将其色包含在内，并向正方形内随机投掷 800 个点已知恰有 200 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是_解析 由题意得正方形面积为 S 正 36.点落在阴影部分的概率为P 200800 14阴影部分的面积为S 阴 36 9.14答案 93(2011湖南)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ，则 P(A)_.解析 由题意可得，事件 A 发生的概率P(A) .S正 方 形 EFGHS圆 O 2212 2答案 2
