1、,二次函数的三种解析式,二次函数的三种解析式,1.一般式y=ax2+bx+c(a0）,2.双根式y=a(x-x1)(x-x2),3.顶点式y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(a0）一般式,a , b同号,a , b异号,C0,C0,C=0 经过原点,顶点坐标,对 称 轴,与y轴正半轴相交,与y轴负半轴相交,对称轴在y轴的左侧,对称轴在y轴的右侧,与x轴交点的求法： 令y=0,得到ax2+bx+c=0,与x轴交点情况：,当b2-4ac0时有两个交点,当b2-4ac=0时有一个交点,当b2-4ac0时没有交点,顶点在y轴上,顶点在x轴上,顶点在原点b=c=0,与y轴交点的求法：令x=0,
2、得到y=c 即（0，c）,与y轴始终有一个交点（0，c）,如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0); 那么AB=|x1-x2|=,双根式y=a(x-x1)(x-x2),对称轴,二次函数图象与x轴的交点为 A(x1,0), B(x2,0);,AB=|x1-x2|,顶点横坐标=,P,A,B,x1x20, 点A,点B在原点同侧,x1x20,点A,点B在原点两侧,顶点式 y=a(x-h)2+k,顶点坐标(h , k),对称轴 x=h,当a0, x=h时,y有最小值为k,xh表示在对称轴的左侧,当k=0时顶点在x轴上,当a0, x=h时,y有最大值为k,xh表示在对称轴
3、的右侧,当h=0时,顶点在y轴上；,h,-h,k,-k,(h, k),若a0, h0, k0,把y=ax2的图象向右平移h个单位得到,向左平移h个单位得到,向上平移k个单位得到,向下平移k个单位得到,向右平移h个单位并向上平移k个单位得到,y=a(x+h)2,y=ax2+k,y=ax2-k,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点,一: 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.,（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点,y= -2x2+3x+1
4、,解：A(1，0)，对称轴为x=2,抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）,设其解析式为y=a(x-1)(x-3),B（0，-3）,-3=a（0-1）（0-3）,a= -1,y= -(x-1)(x-3),（2）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2,1,A,B,-3,C,3,（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）,解：图象顶点是（-2，3）,设其解析式为y=a（x+2）2+3,经过点（-1，5）,5=a（-1+2）2+3,a=2,y=2（x+2）2+3,（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶点为（1，-9/2）,解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐
5、标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用双根式又可以用顶点式来设其解析式,设双根式为：y=a(x+2)(x-4),-9/2=a(1+2)(1-4),顶点为（1，-9/2）,a= -1/2,y= -1/2(x+2)(x-4),（5）图象顶点是M（1，16）且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位。,解： 顶点M坐标为（1，16），对称轴为x=1，又交点A、B关于直线x=1对称，AB=8,A（-3，0）、B（5，0）,此函数解析式可设为y=a（x-1）2+16或y=a（x+3）（x-5）,1,16,A,B,- 3,5,二:求满足下列条件的抛物线的解析式,(1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上
6、截得的线段长为2,解： B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C（1，0）,设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）,当抛物线经过B、C三点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）,又抛物线经过A（2，4）,4=a（2+1）（2+3）,当抛物线经过B、C 三点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）,B,-1,- 3,1,C,C,a=,y= （x+1）（x+3）,(2)交x轴于A（x1，0），B（x2，0），顶点为P（1，-4），且x12+x22=10,解： =1, =2, x12+x22=10,x1= -1 ; x2=3, A（-1，
7、0），B（3，0）,抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（x- 3）,又抛物线的顶点为P （1，-4）,-4=a（1+1）（1- 3）,a=1,y = （x+ 1）（x- 3）,1,-4,A,B,-1,3,P,三: 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴x=_,顶点坐标:_,当x=_时,y有最_值是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y=0时,对应x的取值范围是_,当x_时,y随x的增大而增大.,-1,(-1,-2),-1,小,-2,-3x1,x1,-3或1,-1,四 :已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的 个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,m,n,D,课堂小结：,1. 抛物线的三种解析式？,3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？,2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？,4. 二次函数的最值的求法？,5. 抛物线的平移规律？,6. 抛物线与x轴两交点距离的求法？,
