1、1,第二单元 函 数 3,求函数的解析式,2,掌握求函数解析式的常用方法. （1）换元法或配凑法； （2）待定系数法； （3）构造方程法。,3,本节题型 函数的解析式问题,求下列函数的解析式： (1)已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x); (2)已知2f(x)+f(-x)=3x+2，求f(x).,例1,根据条件可灵活运用不同的方法求解.,4,(1)(方法一)待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. 又f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以9ax2+(6a+3b
2、)x+a+b+c=9x2-6x+5,5,比较两端的系数， 得 9a=96a+3b=-6 ，a+b+c=5 所以f(x)=x2-4x+8. (方法二)换元法. 令t=3x+1,则x= , 代入f(3x+1)=9x2-6x+5中， 得f(t)=9( )2-6 +5=t2-4t+8,所以f(x)=x2-4x+8.,a=1 b=-4 , c=8,解得,6,（方法三）配凑法. 因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8， 所以f(x)=x2-4x+8. (2)直接列方程组求解. 由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的x, 得2f(-x)+f(x)=-3x+2, 解方程组 2f
3、(x)+f(-x)=3x+22f(-x)+f(x)=-3x+2, 得f(x)=3x+ .,7,练一练： (1)已知f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）； （2）已知 （3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x).问题（1）由题设知f（x）为一次函数，故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用构造方程组法求解.,思维启迪,8,函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型
4、活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：如果已知函数ff(x)的表达时，可用换元法或配凑法求解；如果已知函数的结构时，可用待定系数法求解；如果所给式子含有f(x)、f( )或f(x)、f(-x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解.,9,解 （1）设f（x）=ax+b（a0）， 则3f（x+1）-2f（x-1） =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7.,(1)已知f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）；,10,（2）已知,11,（3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x
5、,求f(x).,12,题型三 分段函数问题,(1)已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1)2x+2 (-1x1)2x-4 (x1)， 则f f(-2008)= ； (2) f(x)= -x+1(x0)x-1(x0), 则不等式x+(x+1)f(x+1)1的解集是 .,13,(1)已知函数 f(x)= f (x+2)(x-1)2x+2 (-1x1)2x-4 (x1)， 则f f(-2008)= ；,0,(1)ff(-2008)=ff(-2006)= ff(-2)=ff(0)=f(2)=22-4=0.,14,15,(3) 设 则fg(3)=_, =_.,7,解析 g(3)=2,fg(3)=f
6、(2)=32+1=7，,16,分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； 分段函数求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定解析式； 分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集.,17,已知函数对任意的实数a、b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值；(2)求证：f( )+f(x)=0(x0);(3)若f(2)=m,f(3)=n(m、n均为常数)，求f(36)的值.,本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，需通过取特殊值来解决.,18,(1)不妨设a=b=0. 由f(ab)=f(a)+f(b),得
7、f(0)=0. 设a=b=1,得f(1)=0. (2)证明：当x0时，因为x ， 于是f(1)=f(x )=f(x)+f( )=0, 所以f( )+f(x)=0.,(3)因为f(2)=m,f(3)=n, 所以f(36)=f(22)+f(32)=f(22)+f(33)=2f(2)+2f(3)=2(m+n).,19,1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零且底数大于零而不等于等等.,20,2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配方法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配凑法，抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法.3.分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的并集.,21,抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道函数的具体解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法.,
