1、2.1.1 指数与指数幂的运算班级:_姓名:_设计人_日期_课前预习 预习案【温馨寄语】废铁之所以能成为有用的钢材，是因为它经得起痛苦的磨练。愿你是永远奔腾的千里马。【学习目标】1理解 次方根的定义及性质.2理解根式的概念、性质，并能利用根式的性质对根式进行化简与求值.3理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.4掌握有理数指数幂的运算性质.5了解无理数指数幂的含义及运算性质.【学习重点】1指数函数的概念和性质2指数函数性质的应用【学习难点】1用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质2指数函数性质的应用【自主学习】1 次方根定义表示 两个结论2根式的概念及性质(1)概念：
2、式子 叫做根式，其中根指数为： ；被开方数为： .(2)性质： ( 且 )；3分数指数幂的概念分数指数幂4无理数指数幂(1)无理数指数幂 ， 是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5有理数指数幂的运算性质(1) ( ， ， ).(2) ( ， ， ).(3) ( ， ， ).【预习评价】19 的平方根为A.3 B.9 C.3 D.92 是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B. C. D.3 化为分数指数幂为A. B. C. D.4已知 ，则 .5计算： .6计算： .知识拓展 探究案【合作探究】1 次方根的定义 定义中 的取值范围是 .2 次方根的
3、定义 当 为奇数时，在“ 且 )”中， 的实数值有几个？3 次方根的定义 当 为偶数时，在“ 且 ， )”中，的实数值有几个？4根式的性质求值与化简中常用到 与 ，那么它们的含义是什么？5根式的性质成立吗？ 呢？6根式的性质成立的条件是什么？7根式与分数指数幂的互化根据公式 ， ， 且 )观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8根式与分数指数幂的互化根据公式 ， ， 且 )请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于 或 ?9根式与分数指数幂的互化根据公式 ， ， 且 )任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于
4、 或 ?11有理数指数幂的运算性质公式 ， ， )成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制 ?【教师点拨】1对 与 的两点说明(1) 已暗含 有意义，根据 是奇数还是偶数可知 的取值范围.(2) 中的 可以是全体实数， 的值取决于 是奇数还是偶数.2对 次方根的两点说明(l) 次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2) 次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的 次方根只有一个零.3对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质
5、计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1已知 ，则 的四次方根可表示为 .5=32 2-2013 的五次方根是 .3若 ，则化简 的结果是 .0 32 6下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1) . (2) .632 (0) 7化简 的结果是(2312)(31213)(131656) A.6 B. C. 9 D
6、.928化简： .(23141)(1343)13=【学习小结】1求解 次方根的注意事项(l)当 为大于 1 的奇数时， 对任意 有意义，它表示 在实数范围内唯一的一个 次方根.(2)当 为大于 1 的偶数时，只有当 时有意义，当 时无意义，表示 在实数范围内的一个 次方根，另一个是 .2根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据： 且 )；(2)遵循原则：被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.被开方数是带分数的要化成假分数.被开方数中不能含有分母；使用 化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代
7、数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式， ， ， ).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数
8、.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1设 ， , ，则 ， ， 的大小关系是=20.3 =0.32=(12)2.5 A. B. C. D.2若 ，则 是 .6=2014 3计算下列各式：(1) .(2) .5(3)5= 6(3)6=(3) .2014333830.216=4下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1) .(2) .(3) .(4) .36 13 35 12235已知 ，求 的值.12+12=5 32321212答案课前预习 预习
9、案【自主学习】1 x (1) R(2) a0(1)负数 (2)0 2（1） n a (2) a a | a|3(2) (3)0 负4(1)实数5(1) ar+s (2) ars (3) arbr【预习评价】1A2C3A4561知识拓展 探究案【合作探究】1定义中的 n 必须是大于 1 的正整数，即 n1 且 nN*.答案 n1 且 nN*2因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，故 x 的实数值只有一个.3因为两个相反数的偶次方相等，所以当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两
10、个，故 x 的实数值有两个.4(1) 表示实数 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 是奇数还是偶数的限制， aR.(2) 表示实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中 a 的取值范围由 n 是奇数还是偶数来定.5 不一定成立，如 ，而 成立.6等式成立的条件是 n 为奇数，或 n 为偶数且 a0.7根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8均不适用，原因如下：(1)若 a0，0 的正分数指数幂恒等于 0，即 无研究的价值.(2)若 a0， 不一定成立.如 意义，故为了避免上述情况规定了 a0.9引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a0，
11、m， nN*且 n1).10(1)若 a0，因为 0 的负数指数幂无意义，所以 a0.(2)若 a0，( ar)s ars，也不一定成立，如 ，所以 a0 不成立.因此不适用于 a0 或 a0 的情况.11成立，且不需要限制 m n.证明如下：.【交流展示】1 422 52 013312 a4 5+26+743=(3)2+232+(2)2+22223+(3)2=(3+2)2+(23)2=| 3+2|+|23|=3+2+232+ .25 166(1) .623=1623=163 166=636(2) . 32=347C8 xz2【当堂检测】1D2 62 0143(1)3 (2)3 (3)2.44(1) .36=63=2(2) .13=132=32(3) .35=135=153(4)1223=123= 325因为 ，3232=(12)3(12)3所以32321212=(1212)(+1212+1)1212=+1+1=(12+12)22 1 52 1 24
